众所周知,量子Hilbert空间具有与量子相空间相同的构造。由此,一个量子系统可以表示为一个经典系统而不损失任何物理特性。尤其Weinberg引入了一个普适的框架来检测非线性量子力学。在这一普适理论中,量子力学的元素,诸如波函数、可观测量、对称性以及含时演化,都可以做经典化处理。在这一具有启发性的工作基础上,物理工作者们对非线性量子系统以及量子-经典混合系统做出了一些有趣的尝试。至此,问题出现了:既然量子力学可以在经典力学的框架中表示,那么是否Berry相能以Hannay角的形式表现?
在量子理论中,可观测量是由Hermitian矩阵$F$或者实双线性函数
表示。Weinberg将这一表述推广到实非双线性函数
来包含不确定性。令
为Hilbert空间中的一组正交完备基,则Schr
dinger方程可改写为:
其中
,
,
是系统的总能量。如果我们将
分解为实部和虚部两部分:
,schr
dinger方程及其复共轭恰恰可以写为Hamilton正则方程:
于是Hamiltonian函数
可以变换为
.而奇妙的是量子Hermitian构造变为了经典力学的Symplectic构造:
.
现在我们来考虑提出问题。考虑一个具有N个能级的量子体系,其Hamiltonian函数
依赖于一组缓慢变化的参数
以及其量子态
. 由上述过程,即将
按基矢
做展开:
,并设
,我们可将Hamiltonian写成"坐标q"和"动量p$"的形式:
。同时,态矢
也可以选择Hamiltonian本征态
为基矢:
。由绝热定理可知,在绝热极限下,每个能量本征态上的占据数
是不变的。于是,我们可以引入一对新的正则变量
:
并将Hamiltonian函数写为
其中
是Hamiltonian
在能量本征态
上的本征值。可以证明,这对新正则变量
与经典力学中的作用量-角变量满足相同的正则方程,
至此,量子Hamiltonian
变为经典Hamiltonian函数
,而量子幺正变换
则成为经典正则变换
:
由Berry的理论,系统的Hannay角可表示为
其中
是Hanny角的角度一形式(angle one-form)ccite{Gozzi}角括号
表示对所有角度
求平均。于是我们得到
注意到
恰恰是与Berry相对应的一形式(one-form),这意味着Hannay角正好等于原先量子系统中的Berry相的相反数:
负号的出现是由于我们定义的有效经典系统中的角变量对应于相应相位的相反数。
这样的结果很好的说明了量子与经典经典力学的对应不仅仅表现在半经典联系上,在几何结构上更是有着完美的对应。
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