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研究快讯 | 变分角转移矩阵重正化群方法及其在经典统计模型中的应用

已有 78 次阅读 2022-7-5 01:14 |系统分类:论文交流

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原文已发表在CPL Express Letters栏目

Received 31 March 2022; 

online 11 May 2022


EXPRESS LETTER

Variational Corner Transfer Matrix Renormalization Group Method for Classical Statistical Models

X. F. Liu (刘雪飞), Y. F. Fu (付阳峰), W. Q. Yu (于伟强), J. F. Yu (余继锋), and Z. Y. Xie (谢志远)

Chin. Phys. Lett. 2022 39 (6): 067502

DOI: 10.1088/0256-307X/39/6/067502


文章亮点

作者基于Baxter的角转移矩阵思想,将二维张量网络的近似求和等效地表述为二级变分优化问题的求解,提出了变分的角转移矩阵重正化群方法。该方法原则上满足变分原理,并可直接推广到三维张量网络的求和,为精确研究高维系统提供了新思路。


变分角转移矩阵重正化群方法及其在经典统计模型中的应用


研究背景

发展精确的数值计算方法,是量子多体物理的一个重要研究方向。近年来,由量子信息领域的纠缠熵标度研究而发展起来的张量网络方法,逐渐成为处理量子多体系统的重要工具。其中,角转移矩阵重正化群(CTMRG)是求和二维张量网络最精确的张量网络方法之一,其来源于Baxter的角转移矩阵概念,形式上对具平移对称性的无限大张量网络的求和,近似表示为局域张量及其环境的求和。


内容简介

简单起见,考虑具有反射和旋转对称性的单子格系统,记局域张量为T。图(a)中的无穷大网络求和可近似化为图(b)中的局域求和,其中四个角矩阵与四个边张量用来近似的环境。CTMRG的目的在于设计一种基于局域变换的迭代算法,用该算法的不动点来近似环境信息{C}。但传统的CTMRG算法不直接涉及自由能,不满足变分原理,这在求解二维量子系统期望值时尤其突出。另外,由于缺乏合适的局域近似,CTMRG很难直接应用到三维张量网络的求和。这些问题限制了该方法的应用场景。


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图:(a) 二维张量网络;(b) 局域张量与其环境{C} 模拟二维张量网络(a);(c) vCTMRG方法变分求解环境{C} 。


为弥补这些缺陷,本文提出的变分角转移矩阵重正化群方法(vCTMRG),通过对配分函数的直接研究,将上述环境信息{C} 的求解等效地化为一个二级变分优化问题的求解,如图(c)所示,即

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该优化问题可用非线性优化方式进行求解,也可通过设计合适的步骤迭代求解,其最终解对应于传统CTMRG迭代步骤的不动点。


研究意义和重要性

该方法原则上满足变分原理,可以保证自由能的近似精度随着保留状态数的增加而不断提升,并可使用CTMRG的计算结果进行优化加速。作者据此研究了几种典型的二维经典统计模型,如存在二阶相变的Ising模型、具有广延简并度的dimer模型、存在一阶相变的Potts模型及存在KT相变的clock模型,发现物理量的计算精度都随着保留状态数的增加而单调提升,所得临界行为也与严格解或其他数值解吻合。此外,通过引入对一个额外的面环境张量的优化,该方法可有效推广到三维张量网络,从而借助一个三级优化问题的求解来实现三维的角转移矩阵重正化群,为精确研究高维系统提供了新思路。


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