引用本文

张骄阳, 丛爽, 匡森. n比特随机量子系统实时状态估计及其反馈控制. 自动化学报, 2024, 50(1): 42−53 doi: 10.16383/j.aas.c210916

Zhang Jiao-Yang, Cong Shuang, Kuang Sen. Real-time state estimation and feedback control for n-qubit stochastic quantum systems. Acta Automatica Sinica, 2024, 50(1): 42−53 doi: 10.16383/j.aas.c210916

http://www.aas.net.cn/cn/article/doi/10.16383/j.aas.c210916

关键词

随机量子系统，量子反馈控制，在线交替方向乘子法，李雅普诺夫控制方法 

摘要

研究了n比特随机量子系统实时状态估计及其反馈控制的问题. 对于连续弱测量(Continuous weak measurement, CWM)过程存在高斯噪声的情况, 基于在线交替方向乘子法(Online alternating direction multiplier method, OADM)推导出一种适用于n比特随机量子系统的实时量子状态估计算法, 即QSE-OADM (Quantum state estimation based on OADM). 运用李雅普诺夫方法设计控制律, 实现基于实时量子状态估计的反馈控制, 并证明所提控制律的收敛性. 以2比特随机量子系统为例进行数值仿真实验, 通过与基于QST-OADM (Quantum state tomography based on OADM)算法和OPG-ADMM (Online proximal gradient-based alternating direction method of multipliers)算法的量子反馈控制方案的性能对比, 验证了所提控制方案的优越性.

文章导读

自Huang等[1]于20世纪80年代研究双线性量子系统能控性问题以来, 量子控制这一交叉学科取得了快速发展, 并受到了空前的关注, 越来越多的专家学者开始从系统控制的角度审视量子系统控制, 如早期广泛研究的量子门的制备与操作、退相干抑制等都可以归结为典型的开环控制问题[2-6]. 自21世纪以来, 宏观系统控制理论更深入地渗透到量子系统的操纵之中, 两个突出特点是[7-12]: 1) 从建模的角度上, 研究的模型从简单的低维双线性封闭量子系统, 逐渐转变为更符合实际物理系统的开放量子系统, 如马尔科夫(Markovian)开放量子系统、非马尔科夫(Non-Markovian)开放量子系统以及随机量子系统; 2) 从控制任务的角度上, 研究的问题从分析量子系统的能控性、能观性和可逆性以及针对某一特定的控制目标设计开环控制律, 逐渐深化为借助宏观控制理论设计具有普适性的反馈控制律, 以实现量子系统状态的转移、保持或跟踪等复杂的控制目标. 与Markovian和Non-Markovian开放量子系统不同的是, 随机量子系统在建模时还考虑了由连续弱测量(Continuous weak measurement, CWM) 引起的不可忽略的反向效应(Back-action), 这给实时量子状态估计带来了挑战. 作为未来量子科技中不可或缺的基础理论与关键技术, 随机量子系统的实时状态估计和高精度反馈控制逐渐成为了量子系统控制领域新的热点问题.

量子状态估计(Quantum state estimation, QSE)在量子物理领域又称为量子状态层析(Quantum state tomography, QST), 分为测量和状态重构两个主要步骤. 传统意义上的n比特量子系统的状态层析指的是对d×d(d=2ⁿ)密度矩阵ρ的大量全同副本进行至少d²−1次投影测量和多次算法迭代计算出满足单位迹和半正定量子状态约束的厄米(Hermitian) 矩阵ρ^{^}. 基于大量全同副本的量子状态估计只能离线完成, 然而高精度量子反馈控制则要求实时估计随时间变化的量子状态, 这是实现基于测量的量子反馈控制必须解决的一个难点问题. Silberfarb等[13-14]和Ralph等[15]提出的CWM为实时量子状态估计的物理实现提供了可能. 2020年, 唐雅茹等[16]和Harraz等[17]以CWM为基础, 基于MATLAB CVX工具箱中的最小二乘法针对单比特随机量子系统提出了一种密度矩阵实时重构的方案, 并研究了噪声幅值等系统参数对于实时量子状态估计算法性能的影响. Zhang等[18]通过在凸优化问题中引入布雷格曼(Bregman)散度使得不存在解析解的密度矩阵恢复子问题可以被求解, 并提出了一种基于在线交替方向乘子法(Online alternating direction multiplier method, OADM) 的实时量子状态层析算法QST-OADM. 此外, Zhang等[19]将实时量子状态估计描述为一个稀疏促进半定规划问题, 并结合在线邻近梯度法(Online proximal gradient, OPG)和交替方向乘子法(Alternating direction method of multipliers, ADMM)设计出OPG-ADMM算法求解该问题.

在量子系统控制领域, 李雅普诺夫控制方法是一种常用的控制律设计方法, 该方法的一大优势是能够得到解析形式的控制律. Kuang等[20]于2008年总结了非退化的封闭量子系统三种本征态制备方法. Sayrin等[21]于2011年实现了超导腔中微波场中Fock态的全局镇定, 进而逆转了退相干引发的量子跃迁效应. Qi等[22-23]全面地比较了多种形式的量子主方程本征态反馈镇定控制方案的性能, 并指出CWM过程造成的量子状态随机塌缩不仅在一定意义上有利于反馈控制的实现, 还能够完成开环控制理论上无法实现的控制任务. 2019年, Qamar等[24]针对具有马尔科夫退相干的二能级随机量子系统提出了一种基于非线性最优观测器的本征态反馈控制方案, 但该方案难以推广到高维量子系统中. 同年, Harraz等[25]在其提出的实时量子状态估计方案的基础上, 针对一类特殊的n比特随机量子系统设计出一种连续形式的本征态反馈控制律, 不过没有严格地给出关于控制律收敛性的数学证明. 目前, 状态的实时获取仍然是基于李雅普诺夫控制方法的随机量子系统反馈控制中的瓶颈问题. 对于一个d维的随机量子系统, 在线求解其随机主方程就相当于在线求解d²−1个Ito^{^}随机微分方程, 如此庞大的计算量易导致反馈环路中存在延迟从而导致较差的控制效果. 如能通过快速高效的算法进行实时量子状态估计, 则高性能的量子反馈控制就有可能实现.

本文针对CWM过程中存在高斯噪声的n比特随机量子系统, 提出一种基于OADM的实时量子状态估计算法 (简称QSE-OADM算法), 然后基于QSE-OADM算法设计了一种反馈控制 (Feedback control, FC)方案 (简称QSE-OADM-FC方案), 实现了基于实时状态估计的量子反馈控制. 本文的贡献在于: 1) 在实时量子状态估计算法的推导过程中, 将时变的密度矩阵实时重构问题和最小化高斯测量噪声问题分开求解, 进行状态在线更新时无需求解一阶随机梯度信息, 得到比文献[18]中的QST-OADM算法和文献[19]中的OPG-ADMM算法更快的收敛速度和更短的耗时; 2) 借鉴文献[26]的思想, 针对n比特随机量子系统, 运用李雅普诺夫控制方法设计出一种新颖的反馈控制律, 并对控制律的渐近收敛性进行了严格的数学证明; 3) 在2 比特随机量子系统本征态和叠加态的反馈控制数值实验中, 通过与基于QST-OADM算法和OPG-ADMM算法的量子反馈控制方案进行性能对比, 展现所提量子反馈方案的优越性.

本文的结构安排如下: 第1节为在CWM作用下, 本文所提出的测量值序列和采样矩阵的构造方法; 第2节为用于实时量子状态估计的QSE-OADM算法的推导及其性能分析; 第3节为基于实时状态估计的n比特随机量子系统反馈控制律的设计及其性能对比分析; 第4节为结束语.

图 1  不同外部控制场的作用下的实时状态估计性能

图 2  不同初始测量算符作用下的实时状态估计性能

图 3  不同的相互作用强度作用下的实时状态估计性能

本文解决了n比特随机量子系统的实时状态估计及其反馈控制的问题. 针对 CWM 过程中存在高斯噪声的n比特随机量子系统, 通过测量序列和采样矩阵的构造、基于在线交替方向乘子法的实时量子状态估计算法的设计以及借助李雅普诺夫方法的反馈控制律的设计, 提出了一种基于实时状态估计的量子反馈控制方案. 最后, 与基于其他两种不同的实时状态估计算法的量子反馈控制方案进行性能对比, 展现了本文所提方案的优越性.

作者简介

张骄阳

2020年获得中国海洋大学自动化专业学士学位, 2023年获得中国科学技术大学控制科学与工程专业硕士学位. 自2023年9月起为华中科技大学人工智能与自动化学院博士研究生. 主要研究方向为非线性与自适应控制, 随机控制, 量子信息与控制. E-mail: jyzhang_lemon@sina.com

丛爽

中国科学技术大学自动化系教授. 1995年获得意大利罗马大学系统工程博士学位. 主要研究方向为运动控制中的先进控制策略, 模糊逻辑控制, 神经网络设计与应用, 机器人协调控制和量子系统控制. 本文通信作者. E-mail: scong@ustc.edu.cn

匡森

中国科学技术大学自动化系副教授. 2007年获得中国科学技术大学控制理论与控制工程专业博士学位. 主要研究方向为量子信息与控制, 量子人工智能, 智能控制及其应用. E-mail: skuang@ustc.edu.cn