近日我在给工程硕士讲《高等工程数学》，在讲授微分方程数值解这一节课的时候。

遇到一个一阶非线性微分方程初值问题，如下：

$\begin{cases} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=y-\dfrac{2x}{\,y\,}\\ y(0)=1 \end{cases}$

解析解为 $y = \sqrt{1+2x}$，学生问怎么求出来的？

现解答如下：

两边同时乘以 $2y$，可得 $2 y'y = 2y^2 -4x$, 令 $u=y^2, \text{d}u = 2y'y\text{d}x$，

原方程变为 $u' - 2u = -4x$ ,这是一个一阶线性非其次常微分方程，可以用变易系数法求解，

先求解对应的齐次线性微分方程  $u' - 2u =0$, 用分离变量法易得

$$\dfrac{\text{d}u}{\text{d}u} = 2\text{d}x,$$

两边积分得，

$$\int\dfrac{\text{d}u}{\text{d}u}=\int 2\text{d}x,$$

即

$$\ln|u| = 2x+\ln|C|,$$

亦即

$$u= C\text{e}^{2x},$$

变易常数 $C$ 为 $C(x)$, 得到 $u= C(x)\text{e}^{2x},$

求导  $u'= C(x)'\text{e}^{2x}+2C(x)'\text{e}^{2x},$

代入 $u' - 2u = -4x$，得

$$ C(x)'\text{e}^{2x}+2C(x)\text{e}^{2x} -2\, C(x)\text{e}^{2x} = -4x,$$

整理得 $$C'(x) = -4x\text{e}^{-2x},$$

解得 $$C(x) = 2\int x\text{d}(\text{e}^{-2x}) = 2x\text{e}^{-2x}-\int \text{e}^{-2x}\text{d}(2x)=2x\text{e}^{-2x}+\text{e}^{-2x}+C_1,$$

即$$C(x) = (1+2x)\text{e}^{-2x}+C_1,$$

代入 $u= C(x)\text{e}^{2x}$，得到

$$u= （(1+2x)\text{e}^{-2x}+C_1)\text{e}^{2x}=1+2x+C_1\text{e}^{2x},$$

又因为 $u(0) = y(0)^2=1$, 代入上式得 $C_1=0$, 故 $u = 1+2x,$ 又 $y(0)=1>0$, 所以解析解为 $y = \sqrt{1+2x}.$

解法二：套公式

原方程乘以 $2y$ 得 $ 2yy' = 2y^2-4x$, 令$u = y^2$, 则变为 $\dfrac{\text{d}u}{\text{d}x} = 2u -4x$,即$u'-2u = -4x$, 由$y'+P(x)y = Q(x)$ 的通解公式

$y = \text{e}^{-\int P(x)\text{d}x}(\int Q(x)\text{e}^{\int P(x) \text{d}x}\text{d} x +C)$, 得 $$u(x) = \text{e}^{2x}(\int (-4x)\text{e}^{-2x}\text{d} x +C ) = \text{e}^{2x}(2x\text{e}^{-2x}+\text{e}^{-2x}+C)=(1+2x)+C\text{e}^{2x}$$, 由于 $u(0)=y^2(0)=1$, 故 $C=0$ , 于是 $u = 1+2x$, 又 $y(0)=1>0$, 得 $y=\sqrt{1+2x}.$