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[转载]杨六省:毕达哥拉斯学派设定√2不是有理数的反论题犯了混淆上位概念与下位概念的逻辑错误

已有 912 次阅读 2022-8-5 07:48 |个人分类:数学研究|系统分类:教学心得|文章来源:转载

因杨六省老师之邀,之前转载过多篇关于数学教学方面的论述,如“杨六省:美国《数学教育研究杂志》的退稿理由让我无语”、“√2=p/qp互质)与√2=p/qpq全是整数)等价吗?等,前天,杨六省老师又寄来一篇新作——“毕达哥拉斯学派设定√2不是有理数的反论题犯了混淆上位概念与下位概念的逻辑错误”,希望借助科学网博客平台,就相关问题进行探讨,下面是杨六省老师的观点阐述,仅仅在此进行转载,欢迎数学行家对此进行点评,也可以直接与杨六省老师联系进行交流探讨。

毕达哥拉斯学派设定√2不是有理数的反论题

犯了混淆上位概念与下位概念的逻辑错误

杨六省

Yangls728@163.com

  这棵树是梨树吗?如果我们面对的就是这棵梨树或就是某棵树,我们会问,它是梨树吗?很显然,后者省略了上位概念(属)树,而只涉及下位概念(种)梨树。“最简分数”是个下位概念,与之相并列的下位概念是“非最简分数”,二者的并集是上位概念“分数”。为了证明2不是有理数,我们本应该就上位概念“分数”进行假设,然而,也许是由于把“分数”化为“最简分数”是自然而然的事,以至于成为人们的一种下意识的惯性思维,于是,人们便就下位概念“最简分数”作假设了,但这是错误的。如果我们能够把“假设2是最简分数”转变为一个问句——“2是最简分数吗?”然后,于这种情境中,审查“最简分数”是不是还有上位概念,如果有上位概念,并且这个上位概念就是我们所要讨论的对象,那我们的假设(反论题)肯定错了。事实上,到了这种情境,我们不难看出,“2是最简分数吗?”就是一个复杂问语,它是以承认√2是分数为真进行提问题的,据此讨论问题是注定不会有结果的。与2是最简分数吗?”相并列的提问是“2是非最简分数吗?”由于“分数”概念与“最简分数”概念之间的关系的确平淡无奇,于是,把“假设√2是分数”换成“假设√2是最简分数”似乎也就成了理所当然的事了。但是,“分数”作为一个上位概念,“最简分数”作为一个下位概念,它们之间的区别在我们所讨论的问题中,就变得不同一般了。简言之,由于毕达哥拉斯学派在设定反论题时,犯了上位概念与下位概念相混淆的逻辑错误,故其关于2不是有理数”的证明是无效的,理由是,纵使你能够魔术般地否定下位概念“√2是最简分数”,但这并不意味着你否定了上位概念,因为还有另一个下位概念“2是非最简分数”你没有考虑呢!

 我们可以提问:√2是分数”与“√2是最简分数”,哪个是“√2不是分数”的反论题?也可以倒着提问题:所谓的反论题√2是最简分数”,其原论题是什么?是“√2是非最简分数”,还是“√2不是分数”?若是前者,能说明√2不是有理数吗?若是后者,能满足“反论题假则原论题真”吗?如果不能满足,由于没有人会怀疑“2不是分数”就是我们所要证明的原论题,这难道不正好表明√2是最简分数不是原论题2不是分数”的反论题吗?简言之,毕达哥拉斯学派为了应用反证法证明2不是分数,把2是最简分数”作为“2不是分数”的反论题,这表明其从一开始就犯了方向性的错误,因为其做法(指反论题的设定)与证明目的是背道而驰的(注:所谓的反论题√2是最简分数为假,表明√2是非最简分数”,即分子与分母有不等于1的公约数,此结论蕴涵分子与分母全是整数,与我们所要证明的2不是分数正好矛盾)。



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