Ars longa, vita brevis.分享 http://blog.sciencenet.cn/u/zhilinyang 天下之至柔驰骋天下之至坚. Omnia vincit amor.

博文

分析与代数相合则利

已有 4116 次阅读 2013-11-18 12:02 |个人分类:教学与科研|系统分类:教学心得

黎景辉、冯绪宁《拓扑群引论》P17有如下结果:

 

设$\mathbb H$为$\mathbb R$的非零加法子群, 则$\mathbb H$离散或$\mathbb H$在$\mathbb R$中稠密.

 

我对第二种情形感兴趣. 仔细检查它的证明, 发现加法子群这个条件可以减弱, 从而得到如下推广:

 


设$S\subset \mathbb R$, $0$是$S$的一个聚点, 且存在$p\in (0,1]$, 使对任何整数$n$和任何$x\in S$, 有$|n|^{p-1}nx\in S$, 则$S$在$\mathbb R$中稠密, 即$\overline S=\mathbb R$.


. 对任意$\varepsilon>0$, 根据条件, 存在$x\in S$, 使得$0<x<\varepsilon$或$-\varepsilon<x<0$. 不妨设前者成立. 由
\[\mathbb R=\bigcup_{n\in\mathbb Z}\left[|n|^{p-1}nx,|n+1|^{p-1}(n+1)x\right]\]
知$\overline S=\mathbb R$.

 

由以上结果可知:

 

1) $S_1=\{n+m\alpha: m,n\in\mathbb Z\}$在$\mathbb R$中稠密, 其中$\alpha$是无理数. 事实上, 它的子集$\{n\alpha-[n\alpha]: n\in\mathbb Z\}$有聚点, 进一步可证0是$S_1$的一个聚点.

 


2) $S_2=\{m^p-n^p:m,n\in\mathbb Z^+\}$在$\mathbb R$中稠密, 其中$p\in (0,1)$.

 

以上说明, 分析和代数结合, 说不定能得到有趣的结果.

 



https://blog.sciencenet.cn/blog-116820-742728.html

上一篇:Hilbert先生旅馆的故事
下一篇:下载数学文献的一个好去处
收藏 IP: 221.0.168.*| 热度|

1 王世喜

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (0 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2024-5-25 04:54

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部