黎景辉、冯绪宁《拓扑群引论》P17有如下结果:

设$\mathbb H$为$\mathbb R$的非零加法子群, 则$\mathbb H$离散或$\mathbb H$在$\mathbb R$中稠密.

我对第二种情形感兴趣. 仔细检查它的证明, 发现加法子群这个条件可以减弱, 从而得到如下推广:

设$S\subset \mathbb R$, $0$是$S$的一个聚点, 且存在$p\in (0,1]$, 使对任何整数$n$和任何$x\in S$, 有$|n|^{p-1}nx\in S$, 则$S$在$\mathbb R$中稠密, 即$\overline S=\mathbb R$.

证. 对任意$\varepsilon>0$, 根据条件, 存在$x\in S$, 使得$0<x<\varepsilon$或$-\varepsilon<x<0$. 不妨设前者成立. 由
\[\mathbb R=\bigcup_{n\in\mathbb Z}\left[|n|^{p-1}nx,|n+1|^{p-1}(n+1)x\right]\]
知$\overline S=\mathbb R$.

由以上结果可知:

1) $S_1=\{n+m\alpha: m,n\in\mathbb Z\}$在$\mathbb R$中稠密, 其中$\alpha$是无理数. 事实上, 它的子集$\{n\alpha-[n\alpha]: n\in\mathbb Z\}$有聚点, 进一步可证0是$S_1$的一个聚点.

2) $S_2=\{m^p-n^p:m,n\in\mathbb Z^+\}$在$\mathbb R$中稠密, 其中$p\in (0,1)$.

以上说明, 分析和代数结合, 说不定能得到有趣的结果.