仗着相似性可以走多远：从π到Π

今天你吃派了吗？今天是圆周率日(Pi day)，是一个围观π的日子，就来谈谈“从π到Π”。

圆是一种美妙的几何图形，圆周率是一个神奇的超越数，漂亮的形与数引发了人类无尽的思考与驻足。AI啊，你是否会象人类一样，时不时地停下脚步，细细地欣赏这一道道靓丽的风景呢？

1. 圆周率π

线有长有短，圆有大有小，尺度是一个可以定性感知、也可以定量测量的概念。直径长了，圆就大了；直径短了，圆就小了。圆的周长C自然依赖于圆的直径D，记为C = f(D)。事实上我们很熟悉该关系的显式形式，但暂且极度不情愿地假装忘记它。

大圆缩小了变小圆，小圆放大了变大圆，相似也是一个可以定性感知、也可以定量测量的概念。直径和周长都是长度量，用直径作为长度的参考量去度量圆的周长，其值为C/D，而此时圆的直径为D/D= 1。即直径为1的圆，其周长为C/D，代入上述表达式，有C/D= f(1)或者C = Df(1)。与原来的表达式相比，获得了f(D)的显式表达形式，其中f(1)是一个常数，记为π。这就是“世界最美十大公式”之一，圆的周长公式C = πD。

通过相似性的应用把问题简化了，体现在只需要一次测量就可以确定出常数π，然后不管多大的圆，都只需要测直径就可以计算周长，反之亦然。

运用相似性可以走多远呢？再来看一下直角三角形的例子，斜边长度与两个直角边的长度相关，即c = f(a, b)。取一边的长度a作为长度的参考量，有c/a = f(1, b/a)= g(b/a)。结果是，原本两个可变的自变量，变成了一个无量纲的自变量。问题简化了，但函数的形式还是未知，单次测量并不能使问题解决。嗯，运用相似性，只能走这么远！当然，如果进一步运用自相似性，我们将可以走得更远，即证明勾股定理，但此处略去不谈。

嗯，兜了这么大一个圈子讲这么“浅显”的道理！不过，简单的道理升华后就是哲理。

2. 白金汉Π定理

一个问题可能有很多的决定因素，因和果有着千丝万缕的联系。一股脑地列出所有可能的影响因素和目标量，均记为R_i，其中i = 1, 2, ..., N，总个数为N。对于确定性问题，这些量满足隐式关系F(R₁, R₂, ..., R_N) = 0。对于科学问题，R_i的数值与其度量有关。如果只需选取k个无关的量作为参考量（不烦假设为前k个量），其他的N−k个量都可以用参考量作为度量参考，相当于我们得到了N−k个度量的数值，记为π_i，其中i = 1, 2, ..., N−k，它们是没有量纲的量。这N−k个数值和k个1代到问题的隐式关系中是成立的，即有F(1, ..., 1, π₁, π₂,..., π_N−k) = 0或者写作f(π₁, π₂, ..., π_N−k) = 0。这就是著名的白金汉Π定理，它是量纲分析的基础，是模型试验的依据。依据Π定理，即可以少做试验，又可以缩放试验，大大节约试验的成本和时间，甚至提高某些较难测量的量的测量精度。

3. 天天过节

我们知道，圆周率π = 3.1415926535897932384626...是一个无限不循环小数，吸引了广泛而深远的兴趣。每年的今天，即3月14日，被定为国际圆周率日(Pi day)，许多人在这一天下午的1:59过国际数学节，比如吃派。然而，也有人选择在11月10日过圆周率日，因为那是平年的第314天。也有选择在7月22日过圆周率日，因为这一天的欧洲写法记为22/7，是约率。还有12月21日下午1:13，即平年的第355天的下午1:13，它由密率355/113而来。

这还不够！有些人认为半径比直径更有资格作为圆的基本参数，因为只需要一个固定点和一根线就可以在平面中做出圆来，线的长度就是圆的半径R，所以宁愿选择周长比半径作为圆周率，记为τ = C/R= 2π，并在每年的6月28日过圆周率日(Tau day)，据说要吃两倍的派。

好吧，实际上Π定理告诉我们，参考量可以较随意地选，如选D, R, R/2, R/3, ...，想怎么选就怎么选，无量纲参数不唯一，所以我们可以“天天过节”！

郑志军

2016年3月14日（π日）