离开计算器可以走多远：1391237759766345^(1/14)

2014年一档电视节目《最强大脑》的第3期中有一道估算题：1391237759766345^(1/14)。“中国雨人”周玮给出的结果为12.0…，震撼全场。如果手头有个科学计算器，那是相当轻松可以算出结果12.0690…。这是一个16位的数要开14次方的问题，普通计算器可不行。

如果没有计算器，不是周玮的我们该怎么算呢？2014年秋季，这个例子走进了研究生课程《高等应用数学》的课堂，也是震撼全场。实际上，这个问题对于本科生来讲就该是小菜一碟了的。这或许反映出数学的工具性教育所带来的盲目吧？！在大学数学复习课上讲这个例子，一方面是复习泰勒展开，因为泰勒展开是整个学期里需要信手拈来的最主要的工具，没有之一；另一方面是突出级数法，当年牛顿就是从级数起家，进而一步步奠定他作为应用数学鼻祖的地位。若熟悉函数 ln(1+x) 和 exp(x) 在 x = 0 附近的泰勒展开（见附A），可轻松解答该开方问题。

牛刀小试。粗略算算 P = 14^(1/14)。利用指数和对数函数的性质，将 P 改写为：

P = exp[(ln 14)/14] = exp [(ln 10+ln 1.4)/14]

其中，ln 10 ~= 2.30 是较为熟知的结果。取 ln(1+x) ~= x，有 ln 1.4 ~= 0.4，则

P ~= exp(2.7/14) ~= exp(0.2)

取 exp(x) ~= 1 + x，有

P ~= 1 + 0.2 = 1.2

与周玮的结果仅相差10倍？！对的，因为原式可以写成 10*13.91237759766345^(1/14) 嘛。若只要得到结果的整数部分，后面十几位数数字根本就是无用的，而且冥想一下应该就可以得到结果。不过，实际上周玮还精确到了小数点后一位。但如果仔细算算 10P，将可以给出12.07，也精确到了小数点后一位。

若取 Q = 13.9^(1/14)，来算算 10Q，看看精度能提高多少。Q 可以写作：

Q = exp(1/14*ln 13.9) = exp{1/14*[4*ln 2 + ln(1-2.1/16)]}

其中，ln 2= 0.693...也是较熟知的结果，也可以参见附B进行计算。而

ln(1-2.1/16) = ln(1-0.13125) = -0.13125 - 1/2*0.13125^2 +... ~= -0.140

Q 可以进一步写作：

Q ~= exp(2.632/14) = exp(0.188) = 1 + 0.188 + 1/2!*0.188^2 + 1/3!*0.188^3 ~= 1.20678

即结果 10Q ~= 12.0678，精确到小数点后2位。

显然，有纸和笔，还有耐心，想要精确到小数点后多少位都是可以的。

郑志军

2016年1月8日

附A：麦克劳林展开

ln(1 + x) = x-x²/2 + x³/3 -x⁴/4 + x⁵/5-x⁶/6 + ...

= Sum[(-1)^(n-1)x^n/n,{n, 1, Infinity}]

exp(x) = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + x⁵/5!+ x⁶/6! + ...

= Sum[x^n/n!, {n,0, Infinity}]

附B：估算 ln 2

可以用下式来估算 ln 2，推导过程将在以后给出。

ln 2 = Sum[1/n*0.1^n*(4-3*(-0.8)^n+0.4^n), {n,1, Infinity}]

求和中取1项给出0.68，取2项给出0.6912，取3项给出0.693067，取4项给出0.693137，取5项给出0.693147，取的项越多越逼近于精确解0.69314718...