离开计算器可以走多远：1006^(1/5)

2010年秋季研究生课程《高等应用数学》期末测验中有一道估算题：估算1006^(1/5)，要求不使用计算器。此后，该估算题被作为该课程的课后练习题，目的是藉此巩固泰勒展开的知识。实际上，该题目的前身是2010年11月给大一学生出的一道期中测验题：估算1005^(1/5)。有多种思路可以解答此类估算题。以下记Q = 1006^(1/5)。

方式一：从形式上最容易联想到牛顿二项式展开：

(1+x)^a= 1 + ax + a(a-1)x²/2! + a(a-1)(a-2)x³/3! + ...

想要通过计算前几项获得有效的近似解，必须要求 |ax| << 1。然而，居然有同学在考试中将 1006^(1/5) 改写为(1+1005)^(1/5)，试图运用牛顿二项式展开。好吧，我竟无言以对。实际上，在这个时代我们已经很熟悉 1GB = 1024MB，因为 2^10 = 1024。那么，很容易可以将 Q 改写为：

Q = 4*(1006/1024)^(1/5) = 4*(1-18/1024)^(1/5)

利用牛顿二项式展开，原则上是可以手工计算的，而且收敛速度很快，如取前2项，可得 Q = 3.9859…，容易判断已有四位有效数学。但如果想要达到更高的精度，比较麻烦的是做除法，特别是除以 1024。如果除以 1000  就简单了，这启发我们将 1024 写出 1000 + 24，于是就有了另一种计算方式。

方式二：将 Q 改写为：

Q = 4*[(1000+6)/(1000+24)]^(1/5)= 4*[(1+0.006)/(1+0.024)]^(1/5)

记 x = 0.006，则 Q = 4y(x)，其中 y(x) = [(1+x)/(1+4x)]^(1/5)。可以利用麦克劳林展开得到

y(x) = 1 - 3/5*x + 42/25*x²- 642/125*x³ + 10419/625*x⁴- ...,

然后很容易就可以得到高精度的解。然而，上式并不是那么容易可以导出的，因为 y(x) 中包含了分式和分数次幂，求高阶导数很困难，所以实际上直接做麦克劳林展开是困难的。可以将 y(x) 改写为 (1+x)^(1/5)*(1+4x)^(-1/5)，然后利用牛顿二项展开式，这就比较简单了。也还可以将式子改写为 (1+4x)*y^5= 1+x，然后对方程两边求导，重复地求导，易得y 的各阶导数在 x = 0 的取值，即可得到麦克劳林展开式中所需要的系数，从而可以得到上述的麦克劳林展开式。还可以采用级数法来确定。实际上，2010年的期末测验题中的前一个题目就是要求求函数 y(x) = [(1+x)/(1+4x)]^(1/5) 的麦克劳林展开式，两题是相关联的。

方式三：自从2014年起在大学数学复习课中增加了周玮的那个例子，许多学生采用了类似的方式来解答 Q，也算是一种计算方式。可以将 Q 改写为：

Q = exp(1/5*ln 1006) = exp{1/5*[3*ln 10 + ln(1+0.006)]}

然后运用 ln(1+x) 的麦克劳林展开式和 ln 10 = 2.30...，有 Q ~= exp(1.38)，然后再利用 exp(x) 的麦克劳林展开式即可计算，但收敛速度较慢。受上一种方式启发，可以有

Q = 4*exp[1/5*ln(1006/1024)] = 4*exp(1/5*ln 1006-2*ln 2) ~= 4*exp(1.38-2*0.693) ~= 4*exp(-0.006) = 4*(1 - 0.006 +...) = 3.97...

原则上，利用 ln(1+x) 和 exp(x) 的麦克劳林展开式（见附A）以及 ln 2 的计算式（见附B），可以得到任何想要得到的精度。

郑志军

2016年1月8日

附A：麦克劳林展开

ln(1 + x) = x-x²/2 + x³/3 -x⁴/4 + x⁵/5-x⁶/6 + ...

= Sum[(-1)^(n-1)x^n/n,{n, 1, Infinity}]

exp(x) = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + x⁵/5!+ x⁶/6! + ...

= Sum[x^n/n!, {n,0, Infinity}]

附B：估算 ln 2

可以用下式来估算 ln 2，推导过程将在以后给出。

ln 2 = Sum[1/n*0.1^n*(4-3*(-0.8)^n+0.4^n), {n,1, Infinity}]

求和中取1项给出0.68，取2项给出0.6912，取3项给出0.693067，取4项给出0.693137，取5项给出0.693147，取的项越多越逼近于精确解0.69314718...