【宇宙的微扰理论——背景和扰动】

这天，司马弦兴奋地来到办公室，一进门就打开了话匣子：“小雨，在忙什么呢？我和导师终于做完了一个工作，结果还挺有意思，没有枉费这么多天的努力，想起来还有点小激动。”

张小雨：“师兄，你好厉害，给我讲讲你们都做了些什么研究？”

司马弦：“嗯，这个一两句话说不完，主要是如何从现有的观测数据来得利宇宙的演化历史，并且在这个过程中不预先引入任何宇宙模型,以后挑个时间仔细给你讲吧。还是先说说你，几天不见，在忙什么呢？”

张小雨：“最近正在学一个非常繁琐的东西——微扰理论，但老师说这部分内容非常有用。”

司马弦：“老师说的没错，如果没有扰动，世界是多么平淡无奇呀……”

张小雨：“师兄你就先别抒发感情了，赶紧跟我讲讲这个东西吧！”

司马弦：“好吧。首先我们要弄清楚一点，什么是扰动？”司马弦拿起粉笔在黑板上画了一条直线，接着说道，“举个例子，我现在画的是一个平静的水面，如果你扔下去一颗石子，水面就不再平静，而是泛起涟漪。通常，我们可以把原来平静的水面看成一个背景，而丢下去的石子则对这个背景产生了作用，作用的结果就是泛起的涟漪，我们把它叫做对背景的一个扰动。现在，如果原来的水面并不平静，而是在匀速流动，我们仍旧可以把这个匀速流动的水面作为一个背景。”

张小雨：“哦，我有点明白了。那么，如果原来的水面就已经被风吹得乱动，我再扔一颗石头进去的话，又会怎么样呢？”

司马弦：“这个问题有点复杂，主要看你研究的问题是什么了。如果你想知道水面被风和石头作用的综合效果是什么，就把它们一起看成对平静水面的扰动；但如果你想知道再扔一个石头的效果是什么，那么则应该把被风吹得乱动的水面作为一个背景了。所以，背景和扰动的选择不是唯一的。”

张小雨：“那在宇宙学中，我们怎么选择呢？”

司马弦：“直观上讲，把均匀和各项同性的宇宙作为背景，其他的都看成是扰动是比较自然的。你之前学的都是在研究宇宙背景的演化和历史。”

张小雨：“哦，微扰又是什么呢？”

司马弦：“从字面上讲，微扰就是微小的扰动。数学上要求某一个物理量的扰动远远小于它的背景。”

张小雨：“那为什么要研究微扰呢？直接研究扰动不就完了？”

司马弦：“呵呵，你以为大家不想吗？说实话，直接研究扰动很困难，而且没有普适的方法，但是微扰就相对简单一些，至少计算上可以做一些有益的近似。”

【宇宙的微扰理论——为什么要研究它】

张小雨：“现在我明白什么是微扰了，可是宇宙学中为什么要研究这么个复杂的东西呢？”

司马弦：“因为它有用。仅仅有个宇宙背景在演化是不行的，必须要有扰动来生成宇宙的大尺度结构。

张小雨：“这一点怎么理解呢？”

司马弦：“我们知道，引力是一种吸引力，并且这种力和质量成正比。假设我们的物质分布一开始是均匀的，比如一片平坦的沙漠。某一时刻，在某个地方出现了一个扰动，使得这个地方的物质多了一点，比如沙漠中鼓出了一个小沙堆，那么这个地方的引力就变得比其他地方强，于是越来越多的物质聚集在一起，比如沙堆变成了沙丘。同样，在宇宙中，这些微小的扰动最终就会形成一个个的结构，比如星系，星体等。想象一下，如果没有扰动，也就没有我们了。当然，这里要注意一点，并不是所有的扰动都会最终保留下来形成结构。”

张小雨：“师兄能再说得仔细一些嘛？”

司马弦：“好吧。我们来看一个方程，虽然这是个简单的情形，但弄懂了以后，复杂的也一样。”司马弦在纸上写下：“

$\ddot \delta + c_s^2 k^2 \delta - 4\pi G\rho_0 \delta = 0$

这里的 $\rho_0$ 是背景的物质密度，整个物质密度被分为两个部分：

$\rho = \rho_0 + \delta\rho = \rho_0(1+\delta)$

即‘背景+扰动’。这里的 $\delta = \delta\rho/\rho_o$ 被称为相对密度扰动，是一个无量纲的量，k是波数，即波长的倒数。上面这个微分方程其实就是牛顿力学框架下，流体微扰理论中的一个方程。方程中的其它量可以暂时看成常数。这个方程有一个波动解：

$\delta \sim e^{-i E t}$

其中，能量E满足爱因斯坦质能关系（或者叫色散关系）：

$E^2 = c_s^2 k^2 - 4\pi G \rho_0$

你看，如果它右边大于零，则的确是个波动解，可是如果右边小于零的话，E是一个虚数，带入波动解后，你会发现e指数上是一个实数。换句话说，扰动要么指数增长要么指数衰减。当然，我们感兴趣的是指数增长的解。现在已经很清楚了，只有波数k小于一定值的扰动才能增长成结构。这个值就是有名的金斯波数

$K_J = \sqrt{\frac{4\pi G\rho_0}{c_s^2}}$

也就是说波长长的扰动才有可能是增长的。”

张小雨：“懂了。感觉扰动和上帝一样重要呀，嘿嘿，否则就没有人类了。可是，扰动是从哪里来的呢？”

司马弦：“有可能是量子扰动，有可能是热扰动，有可能是其他原因，当然，也有可能是这几种情况都有，有兴趣的话可以仔细研究一下。”

【宇宙的微扰理论——牛顿VS爱因斯坦】

司马弦：“讲到这里，你就可以很顺利得看懂牛顿力学框架下的宇宙扰动理论，无非是引入了宇宙背景演化对扰动方程的影响，我就不再详细讲了，相信你完全能自己掌握。”司马弦思索了一番接着说道：“其实，我们所研究的宇宙背景是FRW度规，而扰动则包括度规的扰动和宇宙中物质组分的扰动，因此，严格得说，应该采用爱因斯坦框架下的微扰理论。只是在有些情况下，相对论的效应可以忽略，采用牛顿引力也能得到正确的结果。”

张小雨：“哦，原来如此。可是怎么研究爱因斯坦引力的微扰理论呢？是不是很复杂？”

司马弦：“复杂是肯定的，不过学下来还是很有意思的。”

张小雨：“那什么时候应该用爱因斯坦微扰理论，什么时候用牛顿的呢？”

司马弦：“这是一个好问题。我们先来看看爱因斯坦微扰理论究竟为什么复杂。你知道爱因斯坦方程是联系时空曲率和物质能量的一个方程，如果产生了一个物质密度的扰动，必定会通过这个方程传递给时空，继而引起描述这个时空的度规的扰动，反之也相同。而在牛顿力学中，时空是绝对的，因而也不存在时空本身的扰动，因此只要考虑物质部分的扰动就可以了。所以，一旦我们需要考虑时空本身的扰动情况时，就必须在爱因斯坦引力框架下使用扰动理论。”

张小雨：“我明白了。可是爱因斯坦的理论真的很复杂，公式也有很多，还要考虑规范的选取问题，师兄你有什么好的方法来学习它吗？”

司马弦：“知道卖油翁的故事吧，他可以从铜板的孔中将油注入葫芦里，油从钱孔注入而钱却没有湿，其原因很简单。”

张小雨抢着说道：“这个我知道，手熟嘛！”

司马弦：“是呀，学物理也是一样的，别看公式很多、很繁，一次一次得去接触它、分析它、甚至推导它，你就会觉得它是那么亲切！至于爱因斯坦引力框架下的微扰理论，我下次再和你聊吧。”

张小雨：“嗯。谢谢师兄！”

（未完待续……）

【博主按】

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