【爱因斯坦方程】

这天，小雨早早得来到办公室，冲了一杯咖啡，就坐在桌前算起了东西。不久，草稿纸上就被密密麻麻得写了一大堆式子。

“在算什么呢？”也不知道司马弦什么时候出现在了自己背后。

 张小雨：“哦，我在把FRW度规带入到爱因斯坦场方程呢。好麻烦，好复杂。师兄你有什么好办法吗？”

<公式：爱因斯坦引力场方程>

$G_{\mu\nu} = 8\pi G \, T_{\mu\nu}$

司马弦：“这个……，倒是真没什么特别好的方法。你是第一次学，一定得过这个关，以后就不怕了。”司马弦继续说道：“虽然不能避免繁琐的计算，但还是有点小技巧可以借鉴的。比如，计算方程左边的爱因斯坦张量，有以下几个步骤：

第一步：计算联络，

<公式：联络 >

$\Gamma^\mu_{\nu\rho}=\frac{1}{2}g^{\mu\alpha}(\partial_\nu g_{\rho\alpha} +\partial_\rho g_{\nu\alpha} -\partial_\alpha g_{\nu\rho} )$

第二步：计算曲率张量，

<公式：曲率张量>

$R^\sigma_{\mu\nu\rho} = \partial_\nu \Gamma^\sigma_{\mu\rho} - \partial_\mu\Gamma^\sigma_{\nu\rho} + \Gamma^\alpha_{\mu\rho}\Gamma^\sigma_{\alpha\nu} - \Gamma^\alpha_{\nu\rho}\Gamma^\sigma_{\alpha\mu}$

第三步：计算里奇（Ricci）张量和里奇（Ricci）标量，

<公式：Ricci 张量>

$R_{\mu\nu} = R^\alpha_{\mu\alpha\nu}$

<公式：Ricci 标量>

$R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$

第四步：计算爱因斯坦张量

<公式：爱因斯坦张量>

$G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R$

在计算的时候可以按时间、空间分量分类，充分利用指标的对称性，这样即可以省力一些，又可以避免遗漏。举例子吧，假如现在要计算联络，可以遵照以下顺序：

第一步：计算上指标的时间分量

$\Gamma^0_{00}\,, \Gamma^0_{i0} = \Gamma^0_{0i} \,, \Gamma^0_{ij}$

第二步：计算上指标的空间分量

注意，联络的下指标是对称的。”

【关于指标】

张小雨：“好像比我之前胡乱算一通要好的多了，可是这里那么多指标，有的在上，有的在下，具体是什么意思呢？”

司马弦：“在相对论中，矢量有协变、逆变之分，所有有指标在上和在下的区别。不过，暂时你可以不去理会什么叫协变或逆变矢量，只要记住指标有上下之分就可以了。”司马弦接着说道，“如果一个张量，有相同的一组上下指标，则这组指标称为赝指标，它的意思是要求对指标的所有取值进行求和，这叫爱因斯坦求和约定，举个例子吧：

$A^\mu = g^{\mu\nu}B_\nu = g^{\mu 0}B_0 + g^{\mu 1}B_1 + g^{\mu 2}B_2+g^{\mu 3}B_3$

$A_\mu = g_{\mu\nu}B^\nu = g_{\mu 0}B^0 +g_{\mu 1}B^1+g_{\mu 2}B^2+g_{\mu 3}B^3$

可见，度规 $g_{\mu\nu}$ 可以用来升降指标。在宇宙学中，我们用的是FRW度规，它的分量分别是

$g_{00}=-1\,,g_{11}=\frac{a^2}{1-kr^2}\,, g_{22} = a^2r^2 \,, g_{33} = a^2r^2\sin^2\theta$

以及

$g^{00}=-1\,,g^{11}=a^{-2}(1-kr^2)\,, g^{22} = a^{-2}r^{-2} \,, g^{33} = a^{-2}r^{-2}\sin^{-2}\theta$

注意哦，度规满足：

$g_{\mu\rho}g^{\rho\nu} = \delta^\nu_\rho$

这里的记号 $\delta^\nu_\rho$ 是克罗内克函数。”

经过一番紧张的计算后，小雨兴奋得冲着司马弦嚷着：“师兄，我终于算出了爱因斯坦张量了，你看，你看。”

司马弦：“哟，还是挺快的嘛。现在回过头看看，是不是觉得这种计算也就这样了，没什么了不起的？”

张小雨：“是呀，不过，真不敢相信我也能做这么复杂的计算了。”

司马弦：“人的潜力真是无穷的。当年做超引力研究的前辈们真是厉害，十维的度规，不仅要算出相关的张量，还要试图去找解。要知道，那时候基本都是靠手算。”司马弦停顿了一下，接着说道：“想象一下那时的情形吧：摊开一叠厚厚的草稿纸，削尖铅笔，从左到右，从上至下开始计算，一会就密密麻麻写满了一张纸，翻一页，又继续写呀、算呀，一天下来，一叠白纸就变成了一堆公式，第二天又是这样……。”

张小雨：“哇塞，那么厉害，换成我肯定坚持不下来。”

司马弦：“现在你知道了吧，做研究其实真的是挺辛苦的。虽然现在有了计算机的帮助，可以减少一些理论推导的工作量，但计算机却不是万能的。还有就是，你得学怎么编程，怎么调试程序，怎么合理解释计算机得到的结果吧。以前给我们上微分几何的老师就曾说过，‘大家能在教室里坚持听到最后，就已经很不容易了’。不过，通过这样的训练，至少可以培养出你的一股韧劲。引用我们老师的一句话，‘物理是一门手艺，不好好练，怎么才能出师’。”

张小雨：“恩，今天我也体验了一把，感觉还好，似乎还有点小小的成就感，嘻嘻。”张小雨翻开她的草稿纸，指着上面长长的式子说道，“师兄，我觉得只要会微积分，仔细一点都能算下来。不过，可惜我的微积分知识大部分都还给老师了，现在我也就还记得一些简单函数的导数和积分了。”

司马弦：“就今天的计算来说，你掌握的微积分知识就足够了。在以后具体的研究工作中，你可能需要掌握一些特殊的积分技巧。不过，这些都是熟能生巧的事。当然了，事先复习一下微积分知识也没什么坏处，我就和你一起回忆一下吧。”（博主按：熟悉微积分的同学可以略过这段）

【微积分，微分方程】

司马弦：“我接下来讲的内容可能没有数学书上的那样严谨，也没有给出严格的证明，但是，从实用的角度上讲，还是值得参考的。”司马弦接着说道，“ 首先，我们不要去纠结导数，微分的严格定义。虽然数学家用了一套严密的极限语言定义了导数，也很漂亮，但对于初学者来说，就不那么友好了。我们先来看看，物理上为什么需要导数。”

司马弦拿过一张纸，一边写一边说道：“假如，我们想知道物理量A是怎样随着另一个物理量B的变化而变化的，那么只需要计算：

$\frac{A_2-A_1}{B_2-B_1} = \frac{\Delta A}{\Delta B}$

也就是A相对于B的变化率。比如：在某一段时间内的位移变化，就是这段时间内的平均速度：

$\bar v = \frac{\Delta S}{\Delta t}$

现在，我们想进一步知道,假如时间间隔非常短，物体的速度是多少。换句话说，把上式分母中的 $\Delta t$ 就取得非常小，甚至接近于零这个极限的时候，它的值是多少。通常我们把非常小的变化称为微元，记作 $dt$ ，而所对应的分母记作 $dS$ 。这样，你就得到了：

$v=\frac{dS}{dt}$

如果上式的计算结果是个有限值，则称为位移S的导数，物理上就是我们想要得到的瞬时速度；如果计算结果是个无穷大,在数学上就称为不可求导。”

司马弦继续说道：“再推广一下，如果现在想知道速度关于时间的变化率，即瞬时加速度a（博主按：不要混同与之前讲的尺度因子a），那该怎么算呢，其实很简单：

$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2S}{dt^2}$

可见，加速度就是速度关于时间的一阶导数，或者是位移的二阶导数。此外，以后我们会看到，求一个量的微分也就是一个求导数的过程。”

司马弦喝了一大口水，又接着说道：“接下来，我来说说积分。简单的说，积分是求导的逆运算，比如对速度的积分结果就是位移：

$\int v dt = \int \frac{dS}{dt}dt = S + C$

积分分为两大类，一类叫不定积分，它是没有给定积分限的，比如上面这个积分就是一个不定积分，因此会有一个积分常数C；另外一类叫定积分，就是给定积分上下限：

$\int_0^1 v dt = \int_0^1 \frac{dS}{dt}dt = S(t=1)-S(t=0)$

从图形上看，对函数v(t)从a到b的定积分，就是计算由v(t)这条函数曲线、时间t坐标轴，t=a和t=b所围成的面的面积。这个面积怎么算呢？通常，我们可以把a到b的这个区间分割成n个小段，并用一个小矩形的面积来近似某一段中的面积，然后把所有的小矩形面积都加起来就可以近似看成这个面的面积。

$\int_a^b v(t) dt=\lim_{n\rightarrow\infty} \sum _{i=0}^n v(t_i)\frac{b-a}{n}$

当区间被分割的足够细，趋向于无穷，所得到的梯形面积总和就趋向于这个定积分的值了。由此可见，积分是求和的极限。当然，如果最终所得到的面积是无穷大，则这个称积分是发散的。在物理上，一个发散的结果通常是没有意义的，有时是因为理论本身有局限，有时是因为坐标的选取等人为的因素造成的。对于后一种情形，人们发明了许多方法，把其中真正的物理结果提取出来。”

司马弦：“好了，关于微积分就暂时复习到这里。记住一些基本函数的导数和积分，对你是有好处的。这就好比你用word写文章的时候，记住ctrl+c 是复制命令一样，可以大大提高工作效率。当然，就像普通的加减乘除法一样，还得记住一些基本的微积分运算法则。”

张小雨：“师兄，你不觉得积分号很奇怪吗？”

司马弦：“关于积分的这个符合，初看起来是挺奇怪的。我知道的一个解释是这样的，有人在计算的时候，把求和符合号写得很潦草，写着写着就成了今天的积分符号了。”

张小雨：“哈哈，这个解释有意思。师兄，既然讲了微积分就讲讲微分方程吧。”

司马弦：“微分方程，其实就是方程中出现了函数的导数或者积分的项，根据导数的最高次数，可以把微分方程分为几阶方程。你刚才写的爱因斯坦方程，就是一个二阶的偏微分方程组，为什么要加个偏字呢，因为有好几个自变量（ $t\,,x_1\,,x_2 \,,x_3$ ），对其中一个的求导不就偏了嘛，当然偏微分一般记成( $\partial_t\,,\partial_{x_1}\,,\cdots$ )；为什么加个组呢，因为有好几个方程，得到的解需应该同时满足这些方程。”

司马弦继续解释道：“再说说微分方程的求解吧。在实际工作中，想找到解析解，基本靠运气，一般能有数值解就很不错了。另外，微分方程的求解其实本质上是一个积分过程，那么积分的上下限该如何取就涉及到初始条件或者边界条件，从而来定积分常数。举个例子，比如，牛二定律是个二阶运动方程，它的解就是位移关于时间的函数。但是这样的函数往往有一组，聪明的你就会问那真实的运动轨迹究竟是哪个函数呢？这是微分方程无法回答的问题。只有当你告诉它物体的初始位置和速度，它才能告诉你物体将来会在什么时刻，以什么速度到达哪里。请记住，微分方程无法给出初始条件或者边界条件，因为它们是需要具体的物理过程来确定的。”

【理想流体的能量-动量张量】

张小雨：“师兄，爱因斯坦方程的左边我会算了，那么右边怎么算呢？”

司马弦：“右边的张量，我们称为能量-动量张量，而在宇宙学中，我们考虑的是理想流体的能量-动量张量：

<公式：能量-动量张量>

$T_{\mu\nu} = pg_{\mu\nu} + (\rho+p)U_\mu U_\nu$

公式中的分别称为能量密度和压强，它们都只是时间t的函数。四维共动速度矢量

$U^0 = 1\,, U^i = 0$

所谓理想流体，简单的理解就是组成流体的‘微小颗粒’之间没有相互作用，或者相互作用可以被忽略。理想流体是一种物理抽象，这与力学中的质点概念是一样的，真实的世界并不存在质点或者理想流体，只是在研究的时候，我们把一些不重要的因素暂时忽略而已。之所以能量-动量张量的形式要取成理想流体的形式，还是因为宇宙在大尺度上是均匀和各向同性的。通常，能量-动量张量也可以写成矩阵的形式：

$T^\mu_\nu = \begin{bmatrix} -\rho & 0 & 0 & 0\\ 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0\\ 0 & 0 & 0 & p \end{bmatrix}$

可见，能量-动量张量的（00）分量描述了该流体的能量密度，（ii）分量虽然代表压强，但我们知道压强和速度或者动量有关，比如，玻璃杯中气体对杯壁的压强，主要是由于气体分子的运动不断撞击杯壁所致，所以（ii）分量其实也描述了流体的动量，并且它在各个方向上的大小都一样。”

张小雨：“嗯，现在有点明白了，那我继续努力算吧，争取早点把宇宙动力学演化方程算出来。”

司马弦：“好，加油！最后友情提示一点：通常，希腊字符，比如 $\mu,\nu,\alpha,\beta\cdots$ ，取值是0，1，2，3，代表1+3维时空分量；而罗马字符，比如 $i,j,k,l\cdots,$ 取值是1，2，3，仅仅代表3维空间分量。”

（未完待续……，预告：下次将会讲到宇宙动力学方程了。）