【由度规引发的问题】 

司马弦：“小雨，怎么了，上课第一天，看上去情绪不高嘛？”

张小雨：“别提了，今天老师讲了度规，黑板上写了一堆公式，我还没完全消化理解呢。”

司马弦：“研究生的课程感觉不太一样吧。很多时候，老师没有时间在课堂上仔细推导公式，一是因为知识内容确实比较多，二是由于计算量大，甚至有的公式是前辈们花了几个月才得到的结果。因此，对初学者来说，你可以试试我的办法：简单的公式一定仔细推导，花功夫掌握，复杂的公式大致了解一下推导过程，掌握其物理含义就可以了。”

张小雨：“哦，原来师兄你还藏了一手，但不知道你的方法灵不灵，等我试了之后再告诉你。”张小雨做了个鬼脸道：“师兄，你能讲讲度规究竟是一个什么量吗？”

司马弦：“好，那就给你讲讲吧。下面是师兄的走秀时间（Show time）”

司马弦：“度规，简单的说就是定义了一个距离。比如，北京到上海的距离大概是1300公里，就是一个空间上的距离。回想一下，我们是如何定义这个距离的呢？你会说，这还不简单，两点坐标差的平方和，再开根号不就是了吗。恭喜你，答对了，就是这么简单。那么，如果是球面上的两点该怎么算？”

张小雨插嘴到：“那就用球坐标来算，对吧？”

司马弦：“对。其实，数学家可以任意空间上定义不同的距离。在广义相对论中，由于时间处和空间具有相同的地位，因此，我们需要在时空（时间和空间）中定义一种距离，这就是你经常能看到的度规了。在宇宙学中，最常用的就是四维的Friedmann -Robertson-Walker（FRW）度规了。”

<公式：Friedmann-Robertson-Walker 度规，球坐标>

$ds^{2}=-dt^{2}+a^2(t)\left(\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\right)$

张小雨：“为什么是四维的呢？难道有更高的维吗？”

司马弦：“想的还挺多，不过你的确问了一个很好的问题。我们常说宇宙是由三维空间和一维时间所组成的四维时空，但是谁也不敢肯定有没有更高的维度。这其实是大家一直在讨论和苦苦追寻解答的问题。纵观天下之文献，大家对于高维问题的讨论主要集中在两个方面，一是我们为什么需要一个高维的时空，二是如果真的存在更高维的空间，如何才能证实它的存在。当真正需要从理论上构造一个自洽的高维时空模型时，那可真是百家争鸣，各有各的道理，各有各的神通。”

张小雨：“那怎么才算是自洽的理论呢？”

司马弦：“呵呵，你怎么总是可以问道到关键之所在呢？如何才能号称你的理论是自洽的呢？竖起一杆大旗，上书‘替天行道’，看起来是行不通的，否则梁山好汉的结局也不会是这样。要想做到自洽，并被大家接受，你提出的理论至少要能够自圆其说吧，要能够解释实验观测所发现的结果吧，要能够做出一些观测预言来指导实验吧，但是，它绝对不能预言那些在现有实验条件下就可以发现，却没有发现的结果。难吧，纠结吧，这就是一个理论工作者的痛。可是，一旦你真的在恰当的时间，抓住了正确的规律，实现了成功的理论模型，那种感觉真是比中了彩票还开心。”

张小雨：“在那以前，我还是觉得中了彩票开心，哈哈哈……”

司马弦：“真是个小财迷，呵呵。如果即发现了成功的理论，又中了彩票，那就更开心了。”

张小雨：“还说我呢，师兄才是贪心的大财迷。”张小雨接着问道，“师兄，这个度规里的a和k又是什么意思呢？

司马弦：“刚才说了，度规定义了时空的距离，那么它自然应该反映出时空的性质，比如，整个时空是平坦的还是弯曲的，时空的各个局部所定义的距离有区别吗等等。还记得我们的宇宙有什么特点吗？”

张小雨：“在大尺度上，宇宙是均匀和各向同性的。”

司马弦：“对。年轻人记忆力就是好。”司马弦继续解释道，“FRW 度规就是这样一种能够反映均匀和各向同性的度规。因此，它特别适合用来描述宇宙的时空。你看，这里的a只是时间t的函数，它不依赖于空间坐标xyz，因此，不论你在哪里，在哪个方向上计算两点间的距离，结果都是一样的。换句话说，在地球上生产的尺子，在牛郎星、织女星上照样可以用。”

司马弦停下来，慢慢得咽了一口咖啡，继续说到：“度规中的k描述了三维空间的几何性质。这个三维的超曲面可以是平直的，球面的，也可能是伪球面的。我们把这三种情况分别称为平直宇宙，闭宇宙和开宇宙。注意哦，无论三维空间的几何如何，四维的宇宙总是不平坦的，而是一个弯曲的时空。”

【联络、测地线方程】

张小雨：“师兄，今天老师讲了一大堆术语，比如联络呀，曲率，测地线呀，我都不太明白。”小雨委屈得说，“我都还还没学过广义相对论呢。”

司马弦：“瞧你委屈的，呵呵，你没学过的东西还多着呢。怎么办呢，那就现学呗。老师曾说起过，他们那时正赶上超弦理论的快速发展时代，大家就是从每天的论文预印本（arXiv）中学习、研究，直到完成自己的研究工作。所以说，高效率地自学是每一个物理人应该不断修炼的内功。”司马弦笑了笑，“至于专业术语嘛，说白了就是行话，在‘江湖’中混，不懂几句黑话怎么行呢，哈哈哈……”

司马弦“好了，不开玩笑了，回到你的问题吧。联络，顾名思义，就是要形成联系。在四维时空中，物理量一般是定义在某个时空点的。比如，某个物体在时空p点处具有一个速度，它就是定义在p点的，行话叫定义在p点的切空间；这时，假设物体在q点也有一个速度，如果要计算这两个速度差怎么办？注意，速度是一个具有大小和方向的量，称为矢量。”

张小雨：“是不是做矢量减法，计算相对应的分量差就可以了？”

司马弦：“你说对了一半。在做矢量的运算之前，首先得把他们移动到一块，比如把p点的速度矢量平行移动到q点，然后再做矢量减法。在平坦时空中，平移一个矢量很简单，实在不行拿把尺平行移动就可以了。可是，在一般的弯曲时空中，就需要先做一番工作了，否则很有可能矢量之差不再是矢量喽。”

张小雨：“师兄的意思是说，联络就是用来定义如何来平移一个矢量的？”

司马弦：“你又说对了，看起来领悟力不错。联络就好比是一把尺，帮助我们平行移动矢量，移动的时候，要保证矢量的方向垂直于移动的方向。”司马弦继续道，“其实，不仅仅矢量如此，更一般的张量也是如此。自从有了联络，时空中的点才可以相互串门了。”

张小雨：“等等，师兄，张量是什么？”

司马弦：“张量就是……，晕……。”司马弦指着书上的一个巨复杂的式子说，“这不就是吗？不过，这个式子你看和不看都一样。我还是先举个例子吧：众所周知，速度是一个三维矢量，有方向，有大小，有三个分量。假设速度是依赖坐标的，那么速度在各个方向上的变化就需要九个分量来描述，即每个速度分量都有三个方向的变化（梯度）。数学上，我们就可以用一个张量来表示这九个分量。而且，如果参考系变了，它还能准确得计算出在新参考系中，速度的梯度值。实际上，根据坐标变换关系，你可以定义不同类型的张量，通常称它为几阶张量。比如矢量是1阶张量，速度的梯度是一个2阶张量。”

张小雨：“哦，听上去还挺复杂，那张量的平移也可以用联络来定义喽？”

司马弦：“是的，所以你会发现联络的本事还是很大的。”司马弦思索了一下，接着问道，“你应该知道牛顿第二定律吧？”

张小雨：“力=质量×加速度，地球人都知道。哈哈。”

司马弦：“牛顿第二定律告诉我们物体运动的变化是因为受到力的作用，比如，苹果落到脑袋上，是因为万有引力的作用。通过求解牛顿定律，我们就可以知道物体在空间中运动的轨迹了。在相对论中，由于时间和空间的地位是相同的，通过求解某个方程，我们就可以知道物体在时空中的运动轨迹。这个方程就是测地线方程，它的表述是：四维速度的变化律=—联络×四维速度的平方。”

<公式：测底线方程>

$\frac{dU^\alpha}{ds} = - \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} U^\beta U^\gamma \,, \quad U^\alpha = \frac{dx^\alpha}{ds}$

张小雨：“可是，为什么叫它测地线呢？测地线方程又该怎么理解呢？”

司马弦：“首先，在平面上两点之间的最短距离，就是连接这两点的直线，但是在球面上，最短的距离是就不再是‘直线’，而是经过这两点之间的大圆弧长，称为测地线。大圆，顾名思义就是最大的圆，这个圆的圆心就是球心。

司马弦：“测地线方程告诉我们，物体在弯曲时空中的运动轨迹，总是一条四维时空中的测地线。如果时空是平直的，联络的分量均为零，测地线方程就简化为：四维速度的变化率=0，在静止参考系中，它就等价于加速度=0。由此可见，在广义相对论中，物体之间的万有引力是由于时空弯曲造成的。”

张小雨：“似乎有点明白了，那曲率又是什么呢？”

司马弦：“这个说起来话就长了，你现在只要知道它表示时空的弯曲程度就行了。当年，爱因斯坦凭着‘直觉’，就把时空的曲率和时空中的物体的能量联系起来了。物体引起了时空的弯曲，而时空的弯曲又使得物体沿着测地线运动。”

司马弦接着说道：“万万没想到吧，相对论中的概念是简单而有力的，就看你想不想得到。当然，这其中的数学计算是有点麻烦的，不过好在计算机的发展非常迅猛，我们可以借助一些数学软件来帮助我们完成部分计算。”

张小雨：“这个很赞哦。师兄，你以后有空的时候教教我吧。”

司马弦：“一定一定。”

【再看尺度因子】

张小雨：“师兄，度规里的a为什么叫尺度因子呢？它有什么物理含义吗？”

司马弦：“尺度因子a太重要了，它随时间的变化过程就是宇宙的历史演化规律。在某一时刻，a的值反映了宇宙在那个时刻的尺度大小，它的相对变化率则反映了宇宙的膨胀或者收缩。通常，将a的相对变化率称为哈勃参数H，它在今天的数值，称为哈勃常数。如果哈勃参数H大于0，则宇宙处于膨胀状态，反之，就不用我说了吧。如果某时H=0，那宇宙在该时处于膨胀与收缩的转变时刻。”

<公式：哈勃参数（Hubble Parameter）>

$H(t) \equiv \frac{da/dt}{a} = \frac{\dot a}{a}$

张小雨：“那我们怎么才能知道a究竟是怎么依赖于时间变化呢？或者说a是时间t的什么函数呢？”

司马弦：“这就要求解爱因斯坦方程了。不过，因为度规里只有a这样一个时间的函数，爱因斯坦方程就会简化很多，最后得到的只是关于a的方程，我们称为Friedmann 方程。宇宙学基本上就是围绕这个方程展开的。以后再慢慢给你讲吧。”

【哈勃参数】

张小雨：“师兄，你刚才说哈勃参数反映了宇宙是膨胀还是收缩。那它的值是多大呢？我们又如何能测量到它的值呢？”

司马弦：“这是一个非常重要的问题，不过，在回答你之前，我先来八卦一下哈勃这个人吧，呵呵。”司马弦接着说道，“哈勃，男，职业天文学家，观测宇宙学的开创者，超级牛人，哈勃空间望远镜就是以他命名的。哈勃在1929年的时候发现了著名的哈勃定律。这个定律告诉我们，遥远的星系在离我们而去，而且越远的星系离开得越快，它们离开的速度几乎是和距离成正比的。这个速度称为退行速度，而哈勃定律的数学表示为：退行速度=哈勃常数×距离。以后你会知道如何从数学上推导出这个关系。不难想象，如果我们知道了星系的退行速度以及它们离我们的距离，那么根据哈勃定律，就可以得到哈勃常数的值了。”

张小雨：“但是，如何得到星系的退行速度和距离呢？”

司马弦：“先说说退行速度吧。实际上，观测中之间测量的并不是速度，而是光谱线的红移。这有点类似于多普勒效应。知道多普勒效应吧？”

张小雨：“好像记得老师曾经讲过，在站台上等火车的时候，进站的火车发出的声音会越来越尖锐，而出站的火车恰恰相反。对了，警察叔叔就是利用这个效应来测车速的，你可千万不要超速哦。”

司马弦：“呵呵，我可是很遵守交通规则的。不错，你说的对，这就是声波的多普勒效应。由于相对运动，声波的波长被拉长或者缩短了。宇宙中光的红移和多普勒效应有些类似，远处的星系离我们而去，从它那传播来的光的波长就被拉长了，或者说看上去光变得红了。但是，产生红移现象的真正原因却是宇宙在膨胀。”司马弦突然问到：“你知道红光的波长比蓝光长吧？”

张小雨得意得说：“嘿嘿，这个我知道，你看彩虹不就是这样排列的嘛。以前老师上课时，还做过三棱镜的实验，就看的更加清楚了。不过，你怎么知道你看到的光是变红的，而不是本来就红的呢？”

司马弦：“这就得靠光谱啦。一束来自远方的光，其实是由很多不同波长的单色光所组成的。我们把各种单色光的强度记录下来，就形成了一个光谱图：横坐标是波长，纵坐标是相对应的强度，即光强。实验还发现，不同的元素所能发射或者吸收的光就只有那么几类波长，在光谱中这些固定波长处所对应的光强会非常大或者非常小。这个性质，在地球上成立，在其它星系中也成立。可是，你会发现，在遥远星系的光谱中，这些非常大或者非常小的光强所对应的波长，整体得变大了，说明光被红移了。”

司马弦继续到，“再说说距离的测量吧。在天文观测中，距离的测量可不是一件容易的事。离我们近的，比如月球，人们可以用激光直接测量；远一点的恒星，利用视差，也能测量，但精度有限；更远一些，就得依靠标准烛光或者标准尺子了。在这里，你只要知道我们有办法测量距离就可以了，至于具体的方法以后再慢慢学吧。”

司马弦低头看了一下手机：“哎呦，到饭点了。好吧，饭前最后一个问题：哈勃常数的大小大概是：”

<公式：哈勃常数，来源：Planck卫星数据>

$H_0 = 67.4\pm1.4 \,\,\text{km/s/Mpc}$

司马弦：“这比哈勃最初测定的值 500 km/s/Mpc要小的多了。”

（未完待续……）