定理  调和级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$发散.

证明 若不然, 令$S=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}<+\infty$, 则

\[\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}=S-2\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{2n}=S-S=0,\]

但这与

\[\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots>0\]

矛盾. 于是$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$发散得证.

类似可证： 若$0<\alpha<1$, 则级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^\alpha}$发散.