如何推导序参量（order parameter）

序参量在相变理论中扮演着非常重要的角色。它刻画了物理系统的有序化程度和伴随的对称性质。在连续相变中，它主要表现为在相变点从零（无序）到非零（有序）的变化（或反过程）。为了得到一个正确的序参量，在传统的理论方法中，人们通常采用如下方法：1）研究系统的对称性；2）重整化分析；3）物理图像等等。这些方法，或多或少都与研究者的物理直觉有关，也就是有相当的“猜”的成分在里面。

量子信息论的发展为我们研究量子相变提供了新的视角与方法。关于量子纠缠，保真度等量子信息学的概念在量子相变中起的作用，已有数以千计的文章进行了讨论。值得关注的是，结合量子信息的方法和通过数值分析，系统的推导序参量的具体形式也成为了可能。

具体的步骤如下：

1）通过数值计算或其他方法得到有限系统的基态。

2）计算和分析系统的具有相同尺寸的两子系统之单的互熵（这个子系统可以一个格点，两个格点等）；寻找具有长程关联的互熵不为零的最小子系统尺寸——子系统的维度决定了序参量的维数。

3）对角化最小子系统的约化密度矩阵：用p_i和|i>分别表示约化密度矩阵的本征值和本征矢。

4）定义对角序参量的形式为：O=w_i |i><i| （这里对i求和，求和上限是约化密度矩阵的秩）。

5）应用一定的物理条件来确定系数｛w_i｝：比如无迹条件(求和：w_i p_i=0)；w_i的截断条件（设置最大值），这样得到的O就是存在长程序的基态的对角序参量。（非对角序参量有点类似）。

例子：

一维长程铁磁态 |0>=|uuu,...,u>+|ddd,...,d>（这里用u和d来表示自旋向上态和自旋向下态，这里波函数没有归一化）。

通过计算可以发现任意两个自旋之间的互熵为1，所以存在长程关联，相互关联的最小子系统大小是一个自旋。

计算单个自旋的约化密度矩阵为：1/2 |u><u| + 1/2 |d><d|。

定义序参量的具体形式为：O=x |u><u| + y|d><d|。

无迹条件要求：x+y=0；上限截断条件可设置为：x=1。所以最终得到的序参量就是：

O=|u><u| - |d><d|——这就是泡利矩阵的z分量。

参考文献：Construct order parameter from the spectra of mutual information, arXiv:1209.0062