据说用年龄和年龄平方矫正是流行病学研究常用一种的做法。

然而，一位朋友收到审稿人这样的质疑：Why were age and age2 both used to adjust the BMD data?  This seems like an over correction.

质疑大意：年龄（age）和年龄平方（age2）两个高度相关的变量同时放入回归模型会不会引起对骨密度（BMD）的过分矫正（貌似几乎矫了两次）？

该问题背景：用如下线性回归模型研究某遗传因素（SNP）和骨密度（BMD）的相关性：

骨密度（BMD）=遗传因素（SNP）+年龄（AGE）+年龄平方（AGE2）

该问题的关键：年龄和年龄平方是两个高度相关的变量，而常规线性回归最好是这些变量之间不相关。

笔者认为一般是不会有过矫的问题。因为回归计算会拟合一个最佳回归系数，如果年龄和年龄平方效应冗余的话，其中一个变量的回归系数将会接近零，由此冗余效应就会被剔除。

最直接的理解办法可能是计算机模拟实验。以下是模拟步骤和解析。

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#准备相关变量

size<-3000 #样本大小

snp <- sample(0:2,size,replace=T) #遗传因素

age <- rep(1:size) #年龄

age2<-age*age #年龄平方

cor(age,age2) #相关系数，高度相关97%

e <- rnorm(size) #随机噪声

bmi <- 0.5 * snp + 2*age +e #理论模型，假设没有年龄平方的效应

fit <- lm(bmi ~ snp+ age + age2) #线性回归检验模型，包含了年龄平方效应

summary(fit)

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结果：

可以看到在拟合的模型中年龄和年龄平方的效应都被准确估计，只是年龄平方的效应接近零（-7.68E-10）。

但是如果理论模型确实有年龄平方的效应呢？

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bmi <- 0.5 * snp + 2*age +age2 +e #理论模型

fit <- lm(bmi ~ snp+ age+ age2) #再次线性回归检验全模型

summary(fit)

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结果：

可以看到在拟合模型中年龄和年龄平方的效应仍然都被准确估计。

结论：年龄和年龄平方同时放在回归模型中不会对表型过度矫正，拟合出的回归系数可以修正其间的冗余作用效果。