迷宫的数学建模

山东省聊城第一中学高二14班 孟庆伦（高中学生，本博主之子）  指导教师 王树清

摘要：提出了迷宫问题的数学建模方法，得到了走迷宫的三步走法。这种方法可以走通任意迷宫。

关键词：迷宫；端点；无效边

迷宫是一种充满复杂通道的建筑物,由于很难找到从入口到出口的通道，因而成为很多人喜欢的有趣和益智游戏。下面以图1所示的简单迷宫为例建立数学模型，分析走迷宫的数学方法。

一、迷宫问题的数学建模

1、数学建模

在迷宫问题中，人们关心的是找出从入口到出口的通道，并不关心通道两侧的建筑物墙壁，这样迷宫问题的实质上就转化为选择从入口到出口通道的问题。通道在数学上可以用线段来描述，因此，从入口到出口的通道在数学上可以用从入口到出口的折线段描述。图2给出了上图中简单迷宫的数学模型。在数学模型中，找出从入口到出口的折线段就成了解决迷宫问题的关键

。

2、数学分析

第一步　查找端点，去除无效边

图中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K等结点都只有一条边相连，是边的端点。与端点直接相连的边LA、LB是无效通道，进入无效通道后只能沿原路返回。为了叙述方便，我们把与端点直接相连的边（如图２中LA、LB）称为无效边。可见，要成功走出迷宫首先要避免进入无效边，所以走迷宫第一步是查找端点，去除无效边，图3为去除无效边后的一次简化模型。

第二步　查找各级新生端点，去除各级新生无效边

图2中L、M、N、O、P、Q、R、S、T、U、V、W等结点有三条以上的边相连，其中有这样一些结点——有n条边相连，但其中有(n-1)条边是无效边。例如，结点Ｌ有三条边，但其中有两条边LA、LB是无效边，去除LA、LB两条无效边后，结点L就变成了新生的端点，为了叙述方便，我们把这种新生的端点简称为新生端点。与结点L连结的第三条边OL也就变成了新生的无效边，为了叙述方便，我们把OL这种新生的无效边简称为新生无效边。进入这种新生无效边后也只能沿原路返回。图2中新生端点除了Ｌ外，还有结点S。

图2中还有这样一些结点——有n条边相连，但无效边和新生无效边的总条数为(n-1)。例如，结点O有四条边，其中有两条边OC、OD是无效边，另一条OL是新生无效边。去除OC、OD、OL三条无效边后，结点Ｏ也变成了新生的端点，为了叙述方便，我们把这种新生的端点也简称为新生端点。与结点Ｏ连结的第四条边ＱＯ也是新生的无效边，为了叙述方便，我们把ＱＯ这种边也称为新生无效边。进入这种新生无效边后也只能沿原路返回。

可见，要成功走出迷宫不仅要避免进入无效边，也要避免进入各级新生无效边，所以成功走迷宫的第二步就是查找各级新生端点，去除上述各级新生无效边，图3为去除无效边和各级新生无效边后的最终简化模型。

第三步　剩余的边就是成功走迷宫的通道

逐步去除无效边和各级新生无效边后，最后就会只剩从入口到出口的有效通道，如图3所示。沿着剩余有效通道就可以成功走通迷宫。按这种迷宫的三步走法，任意复杂迷宫都可以快速走通。