偶然从书架上看到一本小书，BR Gelbaum和JMH Olmsted的Counterexamples in Analysis（Dover Books on Mathematics, Holden-Day Inc.1964，图书馆应该能找到中译本，《分析中的反例》，上海科学技术出版社，1980），提供了大量反常的例子，通过它们可以更好理解为什么分析的陈述必须那么严密。初学分析的都刚从中学数学出来，而分析从形式看，简直是一门新的语言，那么多的条件，那么多的命题和定理，完全不是初等数学的“自然延伸”，所以必须要换一种脑子来看它……

作者在前言里提出一个有趣的观点：数学大致由两大类组成：证明和反例，数学的目标就是提出证明与构造反例。用反例来解决的数学问题，有着一出好的戏剧所具有的刺激性（pungency of good drama.）

书中的很多例子都很巧妙，有时甚至像脑筋急转弯——所谓反例，其实就是极端情形下的常例，仍然满足寻常的法则；说它反，是我们容易忽略那些极端的条件。例如，不能成为导数的函数（任何有跳跃间断的函数）、有间断点的可微函数、出处有导数的不连续函数、导数几乎处处为零的连续单调函数、能填满一个平面区域的弧线（这个例子极有趣，它说明那条线的点比那个区域还“多”）、没有面积的有界平面区域……

这些例子，根本说来都建立在严格的实数集的基础上。但学过高等数学而没学过实分析的同学，大概分不清有理数与实数到底有什么不同，除了知道“实数比有理数多”——那个“多”是什么意思，可能也不知道；他们也许还会说“有理数比整数多”呢。