对“卷积卷不卷”的回答：

                                                                                        邹谋炎

“卷积卷不卷”的博主对我的博文“卷积不‘卷’”进行了多次重复评论，评论中包含重要的不明之处，我希望博友给以澄清而不得，不得已要求博友用独立博文的形式提出完整的看法，便于讨论。这个讨论对正在学习的学生们正确理解卷积、富氏变换会有好处。我们讨论的卷积具有形式

               ∫-∞ ∞h(t-τ )f(τ)dτ = g(t)

（1）我的博文“卷积不‘卷’”中完整地描述了理解卷积的两种视角和计算方法：

         1）“卷积”的视角和计算方法，两个因子 h(t) 和 f(t) 中有一个要“卷摺”。

         2）“叠加积分”的视角和计算方法，两个因子 h(t) 和 f(t) 中没有一个要“卷摺”。

由于“卷积”的视角和计算方法是传统，博文强调了还有“不卷”的视角和计算方法，用例子具体说明了“不卷”的计算格式，可以由读者检验其正确性。进一步地，在博文“让卷积回归它的物理本源”中用了直观的系统模型，表明了“叠加积分”“不卷”的真实性。

建议“卷积卷不卷”的博主认真检查这些结果，是不是能够指出，这些不卷方法计算的例子到底对不对。博友既对“不卷”持否定意见，就有责任正面回答这些问题。

（2）必须指出的是，“卷积”中的“卷”是一个中文译词，它的原文含义是“卷摺”而没有“循环”的含义。具体地说，一个时间函数 h(t) 被卷摺，是指它的波形在时间上要反过来。那么

 将t作为时间变量，h(t – τ ) 是将 h(t) 往前平移了τ 时间，波形没有卷摺。

 而当 τ 作为时间变量，h(t – τ ) 是 h(τ) 翻转为 h(- τ) ，再移动到τ = t 的位置上，波形要卷摺。

这就是两种视角，不同理解。这些简单概念许多学生很容易理解。建议在纸上画一画，什么都明白了。

（3）“卷积卷不卷”的博文称：

“任何卷积都可表达为：含有傅里叶函数（函数傅里叶变换）为因子的。

人们熟知：傅里叶函数是由正弦函数与余弦函数组成的级数，而正弦函数与余弦函数都是周期函数，因而傅里叶函数也有相应的周期性。

因而，卷积就必有周期循环或周期衰减循环的特性。

这也就更具体的从时空都表明：卷积必有卷的特性！卷积不会不卷。”

这段博文有基本概念上的大问题，值得详细评说。

1）“人们熟知：傅里叶函数是由正弦函数与余弦函数组成的级数，而正弦函数与余弦函数都是周期函数，因而傅里叶函数也有相应的周期性。”

恰恰是人们熟知，在一般情况下，傅里叶变换给出的函数（傅里叶函数）是连续、非周期函数，而不是级数。当然也没有周期性可说。

2）Riemann-Lebesgue引理表明，如果h(t，τ ) 是一个可积函数，那么当ω → ∞时，积分

             Lim ∫ab h(t,τ) sinωτ dτ = 0

这适合于所有的可积核。这意味着，傅里叶变换给出的函数随着频率升高，必定要衰减，不可能具有周期性。

“因此，卷积就必有周期循环或周期衰减循环的特性。”这既无理论依据，也不符合物理事实。

3）利用谱分解研究卷积的性质和应用是很有效和有意义的方法。但谱分解不限于基于调和基的分解。如果引导学生只认识傅里叶分析，那可能耽误学生的前程。

坦率地说，本希望博友认真读一读相关博文，无需争论。但事与愿违。由于这里包含了很基本的常识性错误，可能对学生造成误导，不得不答，请谅解。