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研学小记:卷积不卷(3)――支持域计算和强制不可约多项式 精选

已有 7631 次阅读 2011-4-4 08:37 |个人分类:研学小记|系统分类:科研笔记| 多项式

研学小记:卷积不卷(3

――支持域计算和强制不可约多项式

                                                                                                                       邹谋炎

二维分配函数支持域估计对盲目反卷积和相位恢复有重要意义。

1示出了支持域计算的一个例子。D1D2是两个图像的支持域。按“不卷”或叠加原理计算两个图像卷积结果的支持域,也就是计算集合运算 D = D1+D2。在D2上任意地选择一个参考点。让这个点带着 D2 扫遍 D1的每个点,扫描覆盖的整个面积就是D = D1+D2,即卷积结果的支持域。可以看出,简单地扫遍 D1 的各个角点就能够得到希望的结果。

这个计算过程直接引导下列结论:

1D1 D2 都能够被嵌入到卷积结果的支持域中。例如移动D1可以完全覆盖D,移动的轨迹正好覆盖D2D1 D2反过来也对。

2)如果 D1 D2 是凸的,它们的外边界会完全、正好地保留在D 的外边界上。例如,D 的红色边界段正好是 D1 的外边界;而 D 的其余边界段正好是 D2 的外边界。

这两条简单性质与二变量多项式可分解性、盲目反卷积支持域估计直接相关。

盲目反卷积支持域估计问题是:给定 D,估计它的两个因子 D1 D2。如果D是凸的,问题转化为:将 D 的外边界划分为两个边的集合,使得每个边的集合能够形成一个封闭图形(每个边的取向和内侧方向须不变)。解不一定存在,还可能不唯一,需找出所有解。这是一个组合规划问题。

二变量多项式可分解性需额外说明。一个二变量多项式系数不为零项的全体对应着一个支持域。例如

在这个例子中,如果系数(a,b,c,d,e,f)无论取何值,多项式 p(z1,z2) 都不能表示为两个低阶多项式的乘积,称多项式是强制不可约的。给定一个二变量多项式,有什么办法来检测它是不是强制不可约的呢?这是“代数几何”中的一个问题。由于多项式乘积等价于它们系数数组的卷积,那么,支持域的不可分解性就完全对应着多项式的强制不可约性。所谓支持域的不可分解性就是找不到一个可以嵌入它、并且可以通过移动覆盖它的因子。这个事实是前面的观察(1)的直接结果。由这个结果可以推出若干应用性的判据。一个很简单的判据说明如下:在支持域的边界上如果存在一个只含两个点的边(称为单位边),在支持域中找不到另一个可嵌入它的位置,这个支持域就是不可分解的。在文中的多项式 p(z1,z2) 的支持域上,坐标点(0,1-2,2)是单位边,(2,0-2,2)也是单位边,它们在支持域中都没有另外的可嵌入位置。因此 p(z1,z2) 是强制不可约的。作为读者练习,判断如下的一种Eisenstein 支持域,是强制不可约的。

 

附记:博文卷积不’”支持域计算的答案。

 

 



大话卷积
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