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自旋世界(11)--蒙特卡罗
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自旋世界(11)--蒙特卡罗
上节说到伊辛模型的应用有赖于所谓的基本法“解耦原理”，现在我们开始来建设执法部门，其中之一就是本节要侃的蒙特考罗模拟方法。我总是习惯偷工减料，柿子捡软的捏，因此不打算对蒙特卡罗方法的细节给出太多的美言，只是敲敲边鼓，热闹热闹罢了。
其实，基于伊辛模型“执法”的最高层次仍然是针对具体问题建立能量哈密顿，然后去严格求解。这种做法的优美和挑战在志东老师的“追梦之旅”中已经描绘得惟妙惟肖，轮不到我在这里信口雌黄、枉费口舌。其次应该就是数值计算和模拟了。在伊辛模型应用研究的历程中，蒙特卡罗方法占据了相当重要的地位，也在很大程度上对伊辛模型的严格解起到了重要的验证作用。
“蒙特考罗”源于英文Monte Carlo，简称MC。蒙特卡罗是欧洲靠近地中海地区摩洛哥国的一个小城市，以博彩和赌博业而著称，灯红酒绿，花花世界。当然，花花世界没有什么不好，不是也产生了蒙特卡罗这样伟大的模拟方法了吗？蒙特卡罗这个名称来由与这种背景是密切相关的。最初发展蒙特卡罗本来也是为了进行博弈之用，是一种行之有效的手段。其后，数学家利用其来进行数值仿真计算，例如圆周率、积分、微分等等，虽然精度不是很高，但是却可以逃避进行严格解的困难，也很快捷。
回到蒙特卡罗方法本身，针对不同应用问题，实际的蒙特卡罗代数是不同的。我只能坐井观天，说说处理伊辛模型问题所用的蒙特卡罗方法之中的一种，即所谓的“米缺迫你死”代数(Metropolis)。我们前面说过，对于一个伊辛模型网格，我们的任务就是要数出网格中所有自旋可能的排布方式。最直接的方法就是掰起手指头一个一个排列方式地数，不要什么技巧，按照顺序来。问题是对于一个稍微大一些的二维网格(我们且不说三维和高维了)，这个排布的数目可是一个天文数字！如果网格大小是N，那么可能的全部排布方式就是2^(N^2)个，这里^表示数学上的幂！如果N=100，天啊，你掰掰看是多少？！
当然，下一个笨办法就是利用计算机来数数，这可以很快。只是当网格再大时，这种数法也是杯水车薪、没得戏撒！
稍微弄点物理来调剂调剂，问题一下子就变得简单多了。我们前面说过，网格自旋排布虽然有千千万种，但是每一种排布对应的伊辛交互作用总能量H是不一样的。而一个物理系统的重头戏主要是那些能量最低(或者说很负)的排布及其附近的排布来唱，拗口吧？那些能量很高的排布起不了多大作用。这样一来，我们就可以用蒙特卡罗方法来进行重要性抽样，专门抽取那些重要的样本来统计，从而得出一个伊辛网格的配分函数近似值和全部物理量的统计平均值。这真是天才的想法，只有蒙特考罗这样的执法部门才能够想得出来。所以我们说，新时代执法部门要锐意改革，不能墨守成规。
“米缺迫你死”代数被广泛使用来模拟伊辛模型系统，其抽样方法是这样的：对于一个网格，给定其自旋邻居交互作用J和温度T，自旋在每个格点无政府主义地站好，愿意头朝下也可以。我们随意(机)地对一个自旋说：你调一下个，刚才头朝上的，你现在朝下倒立；或者刚才你头朝下的，现在站起来休息一会儿。如果这样的一件事导致网格的能量H下降了，那么万事大吉，那个自旋就头朝下或者朝上了，因为那样它舒服。反之，如果导致网格能量H升高，那就要去法庭裁决是允许还是不允许其头朝下。最终裁决头能够朝下的几率完全由波尔兹曼法则exp(-dH/kT)决定，这里dH表示系统能量的变化，k是交给波尔兹曼的诉讼费用，称为波尔兹曼常数。
蒙特考罗就是这样一个简单的过程。让这个过程重复进行一段时间后，网格中自旋的排布方式就是实际物理系统经常观测到的方式。这时，就可以开始计算网格系统的一系列物理性质的平均值了，例如磁矩、磁化率、比热、熵、等等，等等。
大家可以看到，我们不需要去数网格全部可能的排布，只要将那些重要的排布角色凸现出来就可以了，虽然不是绝对精确的。
其实，人类社会也是一样，“和平”年代里芸芸众生绝对不是历史的创造者，大千世界的主流总是那些重要人物和精英主导的，百姓们只是偶尔搞些小几率的事件上上媒体和南方周末，主流依然是主流。
出现例外的情况是：当老百姓都集合起来干某一件大事时，世界就要相变了！
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