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再议比较——如何排排坐发果果
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上篇拙文 小议比较 主要是想说明比较是个很数学的概念，但只在按一定的法则约定下定义了度量后才能应用，但不能无限推广。其中度量在比较中扮演者重要角色。但我们在日常生活中应该避免进入比较误区。
陈安博士博文：评价，不得不做，但可以“排排座，不吃果果”又提出如何排排坐分果果的问题。也就是说在很多情况下，我们不得不比较。例如评奖，例如排序，例如发果果。关于这个问题我曾在博文“弃保优化问题 -- 从先救谁谈起”，其中提到了层次分析法。层次分析法提供了一个计算比较度量的方法，为人们广泛接受。
层次（Hierarchy）分析法（AHP）是Thomas L. Saaty （1926 - in Mosul, Iraq ) 等人在上个世纪70年代初提出的一种可广泛使用于工程技术、经济管理、社会生活等各方面，用来对一些不易量化的关系进行处理的数学方法， 可以进行决策、分析和预报。层次分析法把人的思维过程进行层次化、数量化，用数学方法进行分析、预报和控制， 是一种把定性和定量结合起来的方法。这个方法一经推出便得到了广泛应用，目前对许多难以定量的比较项目，它仍然大显身手。
层次分析法适用于总体不易量化但有可以量化的多因子的多个比较对象。在知晓这些因子两两比较结果的情况下，通过分层分析可以确定一个比较度量，从而可以对比较对象进行排队。虽然这种方法对于复杂的比较对象有其局限性，但在一定要比较分果果的情况下，它是没办法的办法，有时虽然痛苦，却至少给了种方法可以把果子分下去。
各种有争议的大学排名表估计就是用了这个方法。但有争议的不是方法本身，而是你选取了什么因子反映大学的实力以及这些因子的排序比重。
层次分析法的基本思想是，如果一个问题的目标由若干个因素决定，则这些因素在目标中的比重，或称为贡献，是最重要的，这也是首先要确定的。根据这些比重对不同的因素加以综合，得到一个总的贡献，选择所得的总贡献最大的各因素的情形，我们就得到了最优方案。
层次分析法具体步骤为：明确问题、递阶层次结构的建立、建立两两比较的判断矩阵、层次单排序、层次综合排序、递阶层次结构的建立。我们以下面的简单例子来说明层次分析法一般的操作过程（免责申明：例子纯属虚构，请勿对号入座）。
问题 学校要从三个博士生中评选一名优秀博士生，考察的因素有综合考试考分、发表的论文，获奖次数，社会活动，他们的信息如下表：
| 综合考试考分 | 发表的论文 | 获奖次数 | 社会活动（小时/周） | |
| 张农 |
85 |
5 |
1 |
3 |
| 李民 |
93 |
3 |
2 |
2 |
| 王工 |
73 |
2 |
1 |
5 |
用层次分析法有如下步骤：
1。建立层次结构模型。
从候选博士生的信息写出一个决策的层次图，如下：
我们称上层为目标层，第二层为准则层，底层为方案层。一般地，准则层可以有多个层次。
2。构造对比矩阵：
我们构造一个成对的比较矩阵，反映四个因素对优秀博士生中的重要性。也就是构造矩阵A，使其元素aij 反映出因素 i 对因素 j 的重要性。一般的， 其取值如下：
标度 含义
1 因素i对因素j的重要性相同
3 因素i比因素j稍微重要
5 因素i比因素j重要
7 因素i比因素j相当重要
9 因素i绝对比因素j重要
2,4,6,8 因素i比因素j重要性介于上面描述等级之间
1,1/2,1/3… 因素j比因素i的重要性为i对j重要性的倒数
我们称该矩阵为成对比较矩阵，或称判断矩阵。Saaty 等根据心理分析认为5个档次比较合适，太多无益，9个为上限。显然，
如果对于判断矩阵 ，其元素满足传递性，即
我们称该矩阵为一致判断矩阵。
我们记综合考试考分、发表的论文，获奖次数，社会活动分别为因素1,2,3,4。假定评定者认为，论文最为重要，考分和获奖次之，社会活动最为次要，我们可能得到如下比较矩阵：
一般有如下三个方法可以得到各个因素之间的相对权重。
a） 和法。取判断矩阵的列向量归一化的算术平均值, 即
得到四个数分别为综合考试考分、发表的论文，获奖次数，社会活动的 相对权重 0.8403 1.2481 0.3538 0.1765。
b）求根法。把上述和法的计算公式的算术平均值改变为几何平均值。
c）特征根法。记矩阵 最大特征值为W , 其对应分量全为正的特征向量即为w。
3。计算权向量并作一致性估计：
通常两两成对的比较方式得到的判断矩阵不具有传递性, 即不一致，我们需要用一致性比率指标检查两两比较方式是否有偏颇，Saaty 也给出了方法，这里就不多讨论这件事了。
下面，我们要给张农，李民，王工三个人打分，将表中数据按列除以平均数：
| 综合考试考分因子 | 论文因子 | 获奖因子 | 社会活动因子 | |
| 张农 |
0.339 |
0.5 |
0.25 |
0.3 |
| 李民 |
0.370 |
0.3 |
0.5 |
0.2 |
| 王工 |
0.291 |
0.2 |
0.25 |
0.5 |
这样，如果用和法得到的权重，我们可以得到三人的比较因子如下:
张农：1.0326
李民：0.8975
王工：0.6708
如此比较，张农从中脱颖而出，赢得优秀博士生奖，抢到了果果。李民可能有点不服气，下次努力吧。
说明：
-
这个方法不是绝对正确，而是相对可行；
-
实行前大家必须接受游戏规则，选定因子、两两比较结果及权重方式，这些因素由评委会决定，及早公开；
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结果一出来，必须执行。除非计算错误，除非信息造假，如果发现其它不合理处，只能下次修正，本次不接受任何申述，否则任何结果都会难产；
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参选者不管分没分到果果都应该意识到结果的局限性，如果你搞个评选排名一样会被拍砖。所以要胜不骄，败不馁。吃上了果果不要得意胖喘，吃不上果果不要呼天抢地。
应用：
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研究生可试用这个方法进行选择自己的对象、专业、导师、课业等；
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导师可试用这个方法选择学生、项目、发文杂志、冲突会议等；
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对社会各种大学排名姑且听之，用于参考。
https://blog.sciencenet.cn/blog-39446-354529.html
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