1902年，一个叫伯特兰·罗素的年轻人给53岁的弗雷格写了一封信，指出“我发现我在一切本质方面都赞成您的观点···只在一个地方遇到了困难”。弗雷格不久就认识到，正是这个“困难”几乎令他毕生的研究毁于一旦。

 

在19世纪，尽管人们已经使用莱布尼茨和牛顿的微积分工具得到了很多有益的结果，但一个算术完备性的问题也随之被提出来：数学家们习惯于使用的某些推理步骤是否正当？当通过一种深刻的数系理论发现所有的数可以被归结为自然数后，弗雷格希望能为自然数提供一种纯粹逻辑的理论，从而证明算术、微积分的所有进展乃至一切数学都可以看做逻辑的一个分支（这种被成为逻辑主义的观点也为罗素所持有）。

 

弗雷格想了一个办法，使得他可以用纯逻辑术语来定义自然数，然后再用逻辑导出自然数的性质。例如，3这个数被看做是逻辑的一部分。这是如何做到的呢？自然数是集合的一种属性，即它的元素的数目。考虑以下几个集合：三个苹果的集合，三头母猪的集合，大写字母ABC的集合，一条瘸了腿的狗能用于走路的所有腿的集合···显然这些集合中任意两个元素的数目都相等，我们可以按照如下方式把它们一一对应起来：

 

集合1：苹果      苹果       苹果

集合2：母猪      母猪       母猪

集合3：A           B          C

集合4：正常的狗腿  正常的狗腿  正常的狗腿 

···

如果我们把“3”这个数等同于所有这些集合的集合，并推广出定义：一个给定集合的元素数目可以被定义为能够与给定集合一一对应的所有那些集合的集合（有点绕脑，但想想“3”这个集合的例子就好明白了），我们就能利用弗雷格在《概念文字》中所提出的逻辑发展出自然的算术。

 

罗素1902的信之所以如此具有毁灭性，是因为他指出弗雷格的算术使用了集合的集合，而使用这个概念进行推理十分容易导致矛盾。为什么呢？我们定义如果一个集合是他自身的成员，那么称这个集合是“异常”的，否则它就是“正常”的。一个集合如何可能是“异常”的？罗素自己举的例子是The set of all those things that can be defined in fewer than 19 English words. 因为我们刚才只用了16个英文单词就把这个集合定义了，所以它属于它自身，从而是“异常”的，另一个例子可以是：所有不是苹果的东西所组成的集合。无论这个集合是什么，它显然不是一个苹果，所以这个集合也属于自身，是“异常”的。罗素提出的关键问题是，如果把所有正常集合所组成的集合记为e，那么e是“正常”的还是“异常”的？如果说e是“正常”的，那么e既然包括所有正常集合，因此自然也应该包括它自己，而这恰恰说明e是“异常”的；如果说e是“异常”的，那由于它只包括所有“正常”的集合，因此它不属于自身，所以又不能是“异常”的！无论从哪一种前提出发，都将得到自相矛盾的结果！

 

罗素悖论对弗雷格方法（以其其他所有的形式逻辑方法）的打击在于，一直以来，我们认为如果一则数学证明陷入矛盾，那么就证明该论证的前提之一是错误的（如果论证过程不发生问题的话）。我们在初中数学就学过的“反证法”在数学推理中大量应用：要证明一个命题，我们只要证明其反命题会导致矛盾就可以了，但现在我们看起来再也不能使用这个方法了：在上例的罗素悖论中，正反命题都会同时得到矛盾。可怜的弗雷格再也没有从这个打击中恢复过来。

 

当然，集合论的思想并不是罗素的原创，在罗素出生的时候，康托尔，集合论的创始人，已经34岁了。最早康托尔是在研究三角级数的过程中发现不得不把无穷集当作是一个有边界的整体对象来处理，并且对之进行复杂运算，而这些工作把康托尔导向了集合论。

 

我们在这里暂时跳过康托尔的集合论对无穷集进行的具体操作，来看看康托尔的对角线法是怎么回事：

 

假设我们有四个集合：此，生，如，梦。这四个集合的特别之处在于，这些集合中的元素也是由这四个集合组合而成。如下图所示：

 

 

此 —— { 如 此 }

生 —— { 此 生 梦 }

如 —— { 此 梦 }

梦 —— { 如 }

 

按照罗素的定义，此生是异常集合，因为它包含了自己；如梦是正常集合，因为它不包含自己。现在的要求是，生成一个与原有所有集合不同的集合，要怎么做呢？

 

可以如此操作：我们这些集合的相互关系列在一张表中，列代表元素，行代表集合。以第一行“此”为例，在原有的“此”集合中包含“此”和“如”，因此在这两列的相应位置标记上+号，其他两个位置标记上-号，依次操作，直至完成全表。

 

现在变魔术的时候到了，把对角线上的符号标记抄下来，放在下表中的第一行，这就是原表的对角线集合，在第三行标记上与第一行相反的标记，就得到对角线集合的补集。

 

 

但现在如果这样的集合有成千上万呢？我们可能就要头脑发蒙了。其实还有更严重的问题：

如果这样的集合有无限个呢？

 

现在我们手上不仅仅是四个集合，而是一个自然数列，每个自然数对应的集合中都包含若干自然数：

1 { 1 3 }

2 { 1 2 4 }

3 { 1 4 }

4 { 3 }

5 {所有的偶数}

···

 

怎样才能获得与所有已有的集合都不同的集合呢？

可以按照如下规则建立

 

1 如果不在集合1中，则添加；如果已经在集合1中，则去除；

2 如果不在集合2中，则添加；如果已经在集合2中，则去除；

···

以此类推

 

最后不断把所有添加的结果组成一个集合M，则M就是我们要的集合。从上面的分析可以知道，在我们举的例子中，M一定是存在的（因为起码3和4就可以被添加进来）。那么，M存在意味着什么呢？

 

意味着：使用自然数列来一一对应所有由任意个数自然数构成的集合是不充分的（因为如果所以的集合已经被对应上的话M就不会存在了）。换句话说，就是：

 

一切自然数子集所组成的集合的基数要大于自然数列的基数。

 

这个结果是很惊人的。我们知道前者也是无限，后者也是无限，但前者比后者还要大。在数学中，管一个集合所有的可能子集叫它的幂集，管这个集合的基数叫集合的势。显然自然数集是最小的无穷集合，标记为阿列夫零（一个长得像SS的符号），可证明实数（即直线上点的集合）的势C等同于自然数集的幂集的势（就是前面说的“一切自然数子集所组成的集合的基数”），且C就是阿列夫零的下一个无穷势。（证明过程也很有意思，可以通过把任意0-1之间的实数用二进制编码成一个序列，二进制编码第n个位置上的1或0用来表示在该自然数子集中有没有自然数n，这样实数与自然数子集就对应上了，然后再证明0-1之间实数的势与C是相等的）。这个假设在得到证明前被成为连续统假设。

 

补充一下，广义连续统假设的话就是在一个阿列夫0、阿列夫1、阿列夫2、阿列夫n的序列中，认为2倍的阿列夫n等于阿列夫n+1。

 

然后我们熟悉的罗素同学再次登场了。罗素提了一个问题：是否存在一个所有集合的集合？（看起来当然是的），如果存在着这样一个集合，那么把对角线法用在它身上，会出现什么结果？我们会得到一个不同于所有集合的集合吗？就在思考这个问题的过程中，罗素得到了他的“一切不是自身成员/正常的集合所组成的集合（其实就是对角线集合的补集）”的著名悖论。

 

这个悖论在数学上可以有多种形式的体现。但根源都来自于康托尔把超限基数（无限集合的幂集的基数）都收在一个集合中的尝试。比如如果存在一个由所有的基数组成的集合，那么它的基数是多少呢？我们知道它一定会比所有的基数都要大。但一个基数怎么可能比所有基数都要大呢？这个似曾相识的怪物在逻辑上的对应物就是罗素对弗雷格提出的老问题。而弗雷格在逻辑上和康托尔在数学上走的是一个路子，就是企图使用“集合的集合”这个概念。

 

计算士插播评论：罗素给弗雷格那封信的8年后，哥德尔在康德故乡柯尼斯堡召开的一次会议（冯诺依曼和卡尔纳普都在场）上的宣布了自己关于不完备性的工作。这个工作给了罗素的工作以同样致命的打击。可谓“一报还一报”···

 

1884年，由于在连续统问题上的紧张工作和他的老师之一，数学家克罗内克的攻击（知道康托试图谈论甚至是计算无限之后，来自哲学和神学的攻击不在少数，但数学上的，尤其是朋友和老师的克罗内克的攻击显然是更具有伤害力的。幸运的是，克罗内克后来诚挚地回复了他关于建议恢复友谊的信），康托尔遭遇一系列的精神崩溃。在严重的精神疾病期间，他研究了哲学、神学以及莎士比亚戏剧作者等问题。康托尔相信，在超限之外还存在一个绝对的无限，它仅靠人类的理解力是永远无法企及的，甚至出自集合论的令人苦恼的悖论也源于此。1918年康托尔死于心脏病突发，然而关于无限在算术体系中地位的斗争并未终结，实际上，才刚刚开始。

 

计算士评论：自康德以来，我们被告诫不可轻易言说不可言说之物，因为我们知道一旦某些对象超出了我们的经验范围，轻易地给出具有“先天综合判断”形式的结论将会导致二律背反。但我们似乎忘记还有一个事情是可以研究的：我们在讨论无限的时候是否有着共有的模式？我们所有人类在望向茫茫星空的时候是否总是朝着同样的方向，看到同样的星座？我们的心智在面对一个信息量远远超出我们能把握范围的宇宙时是否会采取某些同样的简易策略，使用“最省力”的办法来言说这个宇宙？我们当然不能搞清楚无限究竟是怎么回事，但如果我们能搞清楚有限的我们在努力搞清楚无限的宇宙是怎么回事的时候，在我们自己身上发生了什么事，显然将会很有启发。所谓的自指问题，与这个问题密切相关。