Al解读TFDC相图(原子相图)之六

Al解读TFDC相图(原子相图)小目录

博文之一：总论

博文之二：解读问题1️ ⃣

博文之三：解读问题2️ ⃣

博文之四：解读问题3️ ⃣

博文之五：解读问题4️ ⃣

博文之六：解读问题5️ ⃣

1️ ⃣ 用通俗语言把整篇文章的物理思想串一遍 

2️ ⃣ 逐图解释：图 5、图 6、图 7 每个点/线到底代表什么 

3️ ⃣ 对比说明：TFDC 相图 vs 传统合金相图 

4️ ⃣ 应用层面：为什么它能解释 Vegard 定律偏离 

5️ ⃣ 公式推导逻辑：经验杠杆定律是“怎么想出来的”

红色是我问，黑色是Al回答，我不做任何编辑，看看Al原汁原味的搜索和思考。随后，我再另外写文章点评Al的解读。

问：现在你完成第三个工作吧，即“5️ ⃣ 公式推导逻辑：经验杠杆定律是“怎么想出来的””。

下面是Al原汁原味的回答：

好，这一步我们来做 第 5 项：TFDC 相图中关键公式（尤其是经验杠杆定律）的“推导逻辑”。 我会强调 “为什么这样写是合理的”，而不是数学技巧；你会看到它其实是物理直觉 + 最小假设的产物。

五、TFDC 相图中公式的推导逻辑（不陷入数学）

重点回答一句话： 为什么平衡电子密度一定长成 [ n_P=\frac{n_A E_A+n_B E_B}{E_A+E_B} ]

一、先明确：TFDC 并不是“从头严格推导”的理论

这是非常重要的一点。

• TFDC 模型 不是第一性原理严格变分推导

• 它是：

• 建立在 TF/TFD 电子理论之上

• 加入界面电子密度连续性

• 再引入最少的能量权重假设

👉 作者自己也明确称它为： “经验杠杆定律”

所以我们要问的不是“数学上是否唯一”，而是：

这个形式是否是“物理上唯一合理的最简形式”？

二、从“必须满足的三个约束”出发

TFDC 的所有公式，其实都来自 三个不可绕开的约束。

约束 1：界面电子密度必须连续（硬约束）

这是量子力学要求：

• A 原子接触 B 原子

• 界面处：      [      n_A^{(t)} = n_B^{(t)} = n_P      ]

👉 平衡态只允许一个电子密度值 (n_P)

这一点不给选择空间。

约束 2：原子从 h 态 → t 态是“有代价的”

改变电子密度、改变半径 ≠ 免费。

这个代价来自哪里？

• 来自破坏原有晶体环境

• 用一个宏观但有效的量来表征：

• 结合能 (E)

物理含义：

• (E) 大 → 原子更“顽固”

• (E) 小 → 原子更“柔软”

约束 3：问题是“二原子对称问题”

TFDC 明确限定：

• 只讨论 一对 A–B 原子

• 不考虑长程复杂效应

👉 所以：

• A、B 地位是对称的

• 任何表达式 必须在 A↔B 交换下保持结构一致

三、关键思想：平衡 = “两边的代价相互抵消”

这是 TFDC 杠杆定律的物理核心。

1️ ⃣ A 原子的“代价”

• 原本电子密度：(n_A)

• 变到平衡态：(n_P)

变化量： [ \Delta n_A = |n_A - n_P| ]

代价权重： [ \text{代价}_A \propto E_A \cdot |n_A - n_P| ]

2️ ⃣ B 原子的“代价”

同理： [ \text{代价}_B \propto E_B \cdot |n_P - n_B| ]

3️ ⃣ 平衡的最朴素条件

在“二原子、近平衡”假设下， 最自然的平衡判据是：

两侧为达到同一界面电子密度所付出的“调整代价”相当

也就是： [ E_A (n_A - n_P) = E_B (n_P - n_B) ]

👉 这一步不是数学，而是物理对称性 + 最小能量直觉

四、从“杠杆图像”到公式（非常自然）

如果你把上式整理一下：

[ E_A n_A + E_B n_B = (E_A + E_B) n_P ]

立刻得到：

[ \boxed{ n_P=\frac{n_A E_A+n_B E_B}{E_A+E_B} } ]

五、为什么这个形式“几乎是唯一合理的”？

这是一个很关键的判断。

1️ ⃣ 为什么是“线性”的？

• 讨论的是近平衡

• 只保留一阶变化

• 高阶非线性会破坏简洁性，也缺乏数据支持

2️ ⃣ 为什么权重是结合能？

• 结合能是：

• 最直接反映原子稳定性的量

• 唯一普遍可得的参数

• 不引入额外经验常数

3️ ⃣ 为什么是“加权平均”而不是别的形式？

因为它满足：

极限检查（非常重要）

• 若 (E_A \gg E_B)：      [      n_P \approx n_A      ]      👉 强结合能原子主导界面电子密度

• 若 (E_A = E_B)：      [      n_P=\frac{n_A+n_B}{2}      ]      👉 回到“平均近似”

六、这套逻辑和传统杠杆定律的“深层对应”

👉 形式相似，但物理对象完全不同

七、再强调一次 TFDC 的“定位”

TFDC 的公式不是为了“精确到小数点后几位”， 而是为了给出：

• 正确的方向

• 正确的趋势

• 正确的物理图像

在这个层面上，它是非常成功的。

八、一句“公式层面的总结”

TFDC 的经验杠杆定律本质上是：在界面电子密度连续这一硬约束下，由原子结合能加权的最小调整代价条件。

到这里，其实你已经把这篇文章“完全消化”了

如果你愿意，接下来我可以帮你做一件真正高级、也很有价值的事情：

• 把 TFDC 用 现代      DFT / 界面能 / Bader 电荷语言重新表述

• 或帮你写一段可以直接用在论文里的 TFDC 理论背景

你想往研究 / 写作 / 理解升级哪一步走？

后续初步题目：

博文之七：TFDC相图(原子相图)的实验基础

博文之八：经典TFD模型和密度泛函理论的关系

博文之九：TFDC电子密度的求解程序

          (已知原子半径，求解经典TFD方程，得到电子密度)

博文之十：经典TFD方程反求解程序

        (根据原子相图求得平衡电子密度，再根据平衡电子密度，再分别求解两个(A和B)原子的半径

博文之十一：欲穷千里目，更上一层楼

    把边界条件限制在Wigner-Seitz多面体表面上，如何求解泊松方程？这样就能得到更接近实际情况的电子密度数据，和费时费力的密度泛函理论有的一比。

参考文献：

科学网—退休10年：十载闲云外，心同野鹤轻 - 李世春的博文

科学网—Al解读 TFDC相图(原子相图)之一 - 李世春的博文

科学网—Al解读 TFDC相图(原子相图)之二 - 李世春的博文

科学网—Al解读 TFDC相图(原子相图)之三 - 李世春的博文

科学网—Al解读 TFDC相图(原子相图)之四 - 李世春的博文