1 引言：连续场方程与“看不见”的拓扑

现代物理几乎完全建立在场论之上：

• 经典层面有麦克斯韦场、流体场、弹性场；

• 相对论层面有爱因斯坦的引力场方程；

• 量子层面有量子场论（QFT）及其规范场结构。

这些理论在形式上极为强大，能够以统一的局域偏微分方程描述从电磁波到基本粒子的绝大多数动力学行为。然而，当我们试图严肃地讨论场的拓扑结构——如磁通量量子化、涡旋线、拓扑缺陷、同伦类、纤维丛结构等——就会发现：

主流场论在“拓扑对象是如何诞生、维持与演化”的问题上，工具是支离破碎的，甚至在许多关键处几乎是空白。

换句话说：

• 对于平滑、线性的小扰动，现有场论工具极其成熟；

• 对于非平凡拓扑结构本身，尤其是其发生、湮灭与动力学，现有形式往往只能在极限、理想化或补丁式的近似下讨论。

本章的目的，是系统地梳理这种“拓扑描述手段的缺失”：

1. 现有经典与量子场论在数学结构上的基本特征；

2. 它们如何在形式上“吸纳”一些拓扑结果，却无法给出本体和动力学图像；

3. 若要在自然量子论（NQT）一类以拓扑场为本体的框架内向前推进，需要哪些新的描述手段与数学工具。

2 标准场论的基本结构：偏微分方程 + 线性空间2.1 经典场论：以平滑流形上的局域方程为核心

在经典场论中，一个场通常被建模为：

• 在一个给定的光滑流形（通常是 R^{3,1} 或其简单泛化）上定义的张量场、矢量场或标量场；

• 动力学由局域拉格朗日或哈密顿量导出的欧拉–拉格朗日方程（偏微分方程）支配。

这些方程的核心特征是：

• 局域性：每一点的演化由邻域场值决定；

• 线性或近线性：许多基本场论是线性或可视为在小扰动下的线性系统；

• 可展开性：解空间自然被视为某种函数空间，可以在其上进行线性叠加、傅里叶展开、正则模展开等。

在这样的框架中，拓扑结构往往只被当作：

• 解空间的某一特殊子类（例如满足某种边界条件的孤立解）；

• 边界条件或背景流形的属性，而非场本身的“内在结构”。

2.2 量子场论：算符代数取代了几何结构

量子场论在经典场论基础上，将场提升为算符值分布，构建了：

• Fock 空间、产生湮灭算符；

• 局域算符代数与时间有序乘积；

• 费曼图与路径积分等技术。

在这个过程中，场的谱结构和代数结构得到了高度发展，但付出的代价是：

• 实际计算中转而关注粒子谱、S 矩阵、截面，而不再追踪具体的场形态与拓扑形状；

• 场的空间结构在计算中被压缩为“动量本征态叠加”，拓扑只通过全局量（如缠绕数、拓扑电荷）零星出现。

从而，在 QFT 实务操作中，拓扑被进一步抽象为几个全局不变量，而非“可视化的、可追踪演化的场结构”。

3 典型拓扑对象与现有描述的局限

以下列出若干在物理上极为重要的拓扑对象，及现有场论在描述它们时的典型困境。

3.1 磁通量量子化与磁通管

在超导体、Aharonov–Bohm 效应、磁单极模型等场景中，磁通量量子化是核心现象之一：

• 超导涡旋中的磁通为整数倍 \Phi_{0} = h/2e；

• A‑B 效应中，孤立磁通管内部的磁场与外部的波函数相位结构由拓扑决定。

现有描述通常采取两种极端：

1. 宏观 Ginzburg–Landau / BCS：

• 通过序参量相位的单值性与缠绕数给出通量量子化；

• 但涡旋内核的微观结构及其真实电磁场配置往往被压缩成“核区 + 外区”的粗略划分。

2. 理想化规范场模型：

• 在规范场理论中引入“外部给定”的磁通管或单极源；

• 通量量子化作为拓扑约束直接假定或通过规范群表示论间接给出。

共同问题在于：

• 磁通管本身的形成和稳定性并没有在基本电磁场方程中得到构造性描述；

• “通量量子化”更多是在全局相位一致性或规范群表示层面上成立，而不是在“连续场如何自组织为一个有定宽、有能量分布的拓扑通道”的物理层面上给出。

换言之：

我们知道“磁通被量子化”，但对“磁通量子本身是怎样的局域场拓扑对象”缺乏细致的动力学刻画。

3.2 涡旋、拓扑缺陷与同伦类

在超流体、液晶、宇宙学相变与标准规范模型中，拓扑缺陷（如弦、域墙、单极）发挥关键作用。数学上，拓扑缺陷常用同伦群来分类，例如：

• \pi_{1} 描述闭合环绕导致的缠绕数（涡旋线）；

• \pi_{2}、\pi_{3} 等用于分类单极、瞬子等。

在现有场论中，一般的做法是：

1. 将某种场的真空流形（真空流形是对称性破缺后允许的最小能量点集）作为一个拓扑空间；

2. 用同伦群分类不同的“拓扑扇区”；

3. 给出某些静态或近静态的“拓扑解”（soliton、instanton）作为代表。

这类方法在“分类”上很成功，但在“动力学”与“形态演化”上却严重不足：

• 缺乏一套能够有效追踪“拓扑对象如何在场方程内部生成、移动、相互作用乃至湮灭”的演化手段；

• 通常只能在强对称、强理想化（静态、各向同性、无限细长）条件下找到解析解；

• 对任何更真实的时变边界、耗散、湍流、非线性耦合情形，几乎只能诉诸数值模拟，且缺乏统一的解析结构语言。

简言之，现在的同伦与拓扑分类为我们指出：

“这个解属于某个拓扑类，不可能连续变成另一个类。”

但并没有告诉我们：

“这个拓扑类中的具体代表是如何在时空中自组装和演化的。”

3.3 规范拓扑与纤维丛：形式完备 vs 物理缺位

现代规范场论和几何场论引入了丰富的拓扑工具：

• 主纤维丛、关联丛、联络与曲率；

• 规范场强与 Chern 类、拓扑电荷等。

这些结构在数学上是高度精致的，但在物理应用中，往往只被当作：

• 表征全局不变量（如瞬子的拓扑电荷、各类 Chern 数）；

• 对某些量子场论的真空结构作出分类；

• 给出“非平凡真空”的抽象图像。

问题在于：

• 在具体时空中，一个真实的“拓扑跃迁过程”——例如拓扑电荷的生成与湮灭——在现有 QFT 计算里，常常被编码为某种瞬子背景下的路径积分权重修正；

• 其本体图像（例如电磁场线如何断裂又重联，能量与动量如何局域转移）却很难在标准形式中直接看到。

换言之：

纤维丛和拓扑电荷给了我们全局指标，却没有给我们一套直观可视的场拓扑动力学语言。

4 拓扑被“旁路”的三种典型方式

总结而言，现有场论在处理拓扑结构时，常用三种典型“旁路”方式：

4.1 把拓扑当作“外加边界或背景”

做法：

• 将拓扑结构放入“边界条件”或“外加背景场”的假定中；

• 然后只在这一背景下研究小扰动或粒子谱。

典型例子：

• 在给定磁通背景下研究 A‑B 效应，而不追问磁通管本体；

• 在给定宇宙弦或单极背景中研究粒子散射，而不研究弦和单极的生成机理。

问题在于，这等于默认拓扑结构“早已存在”，避免追问其起源与内部结构。

4.2 把拓扑当作“某些静态解析解的标签”

做法：

• 在对称性极高的情形下，求出一些静态或准静态拓扑解；

• 使用能量泛函与同伦数对其作分类与稳定性分析。

典型例子：

• Nielsen–Olesen 涡旋、’t Hooft–Polyakov 单极等；

• 经典孤子、瞬子解等。

问题在于：

• 这些解往往“雪花玻璃化”：条件略改就不适用；

• 真实世界中湍动、多体、耗散的拓扑演化，缺乏统一刻画。

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https://faculty.pku.edu.cn/leiyian/zh_CN/article/42154/content/2811.htm#article

英文版：

https://faculty.pku.edu.cn/leiyian/en/article/7733/content/2812.htm#article

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