Zmn-1373 薛问天: 把不同函数用不同符号f(x)和g(x)表述，评林益《1372》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对林益先生的《Zmn-1372》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

把不同函数用不同符号f(x)和g(x)表述，

评林益《1372》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

林益的表述稍有不严格之处，应予以纠正。写到式子时。应注意式子左端函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)=(x+1)(x-1)/(x-1)同式子右端函数g(x)=x+1，这是两个不同的函数，它们的定义域不同。f(x)的定义域不包括1，即 (−∞, 1) U (1, +∞)，但g(x)的定义域包括1，即R= (−∞,  +∞)。不同函数最好用用不同的符号f(x)和g(x)表述。两个函数相等是有条件的，即在x≠1时f(x)=g(x)。这样就不会混淆不清了。

函数𝒇(𝒙)在𝒙=1 处没有意义，而且函数𝒇(𝒙)在𝒙=1 处不连续。可以把g(x)看作对函数𝒇(𝒙)在𝒙=1 处进行补充定义，即当𝒙=1 时，令函数值等于极限值2，形成的函数。这样的函数g(x)，在𝒙=1 处就有了意义，而且函数g(𝒙)在𝒙=1 处也就连续了。

林益说得很对【微积分中，有函数微分、导数和积分的概念，并且强调函数必须连续，即函数在该点连续是函数在该点′可以微分、导数和积分运算的必要条件，按照这个条件函数𝒇(𝒙) 在𝒙=1 处是不可进行微分、导数和积分操作的。】

自然按照这个条件，将f(x)补充定义后形成的函数g(𝒙) 在𝒙=1 处是就可进行微分、导数和积分操作的。这当然没有问题。不过要注意:1、补充定义后形成的函数g(𝒙)= 𝑥 + 1与原来的函数𝒇(𝒙)还是同一个函数吗？显然不是。

另外关于第2个问题，【2、是否函数在存在间断点的定义域就不能进行微分、导数和积分运算呢？】林益回答说【显然不是的】这个回答是错误的。函数在存在间断点的定义域的这个断点处，不能进行微分、导数和积分运算。至于在定义域的非断点处，那是另外的问题，我们这里指的是在非连续的断点处，是绝对不能进行微分、导数和积分运算的。

要知道，如果函数f(x)在某点x0是非连续的，尽管f(x)在断点x0不可微，但是当x→x0时，函数f(x)的极限可能存在，而且同形成的g(x)的极限相等。所以不要认为形成g(x)是【没有必要，画蛇添足】。

函数f(x)在某点x0是非连续的断点，不能用f(x)在x0点函数值f(x0)来求x→x0时f(x)的极限。可以去找一个在x0点的连续函数形成g(x)，如果在x≠x0时f(x)=g(x)。则当x→x0时，函数f(x)的极限就是g(x0)。就成为求x→x0时f(x)的极限的一个很好的方法。

例如，为求y=x^2的导数。要求Δx→0时f(Δx)=Δy/Δx=(2xΔx+ΔxΔx)/Δx的极限。此时由于f(Δx)在Δx=0点是断点。不能用f(0)求此极限。但是有连续函数g(Δx)=2x+Δx，使得在Δx≠0时有f(Δx)=g(Δx)。从而可以用g(0)=2x求出Δx→0时f(Δx)的极限=g(0)=2x。这是一个典型的好的有意义的用例。所以讨论f(Δx)和g(Δx)的关系，还是有一定意义的。

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