无理数的数目为什么远远多于有理数？

                     李鸿仪  Leehyb@139.com

      无理数的数目远远多于有理数，这在现代的数学界是得到公认的。但其真正的原因其实没人搞清楚。人们只知道有理数是可数的，无理数是不可数的，所以无理数比有理数要多。但我在上一篇文章中已经证明了，实数并不是不可数的，所以无理数也不可能是不可数的[i]。

那么，究竟是什么原因使得无理数比有理数多？

     无理数小数的每一位都在0~9之间选取，有理小数则不同。有理小数的结构是:

不循环部分+第一循环节+第二循环节+第三循环节+...

其中的不循环部分与无理数一样，每一位都在0~9之间取值，但从第二循环节开始，每一个循环节都只能重复第一循环节。

       为讨论方便，不妨把在0~9之间取值的小数位称为自由小数位。显然，自由小数位越多的小数，其数目越多。例如，1位小数只有1位自由小数位，其小数数目只有0.0，0.1~0.9共10个，2位小数有2位自由小数位，有0.00，0.01~0.99共100个小数...... n位小数有n位自由小数位，有10ⁿ个小数……

      显然，无理小数的每一位都是自由小数位，而有理小数从第二循环节开始都不是自由小数位，因此无理小数的数目比有理小数要多得多，事情其实就是这么简单。

      这才是所谓第一次数学危机的正解, 而到目前为止的所谓危机的解决方案，比如康托引入不可数集的解决方案，戴德金用相对十分稀疏的有理数来定义无理数的解决方案，都是错误的。

在古希腊，人们就发现有理数与有理数中间是存在空隙的，这些空隙只能由无理数来填满。根据自由小数位的概念，不难证明，自由小数位已经确定的两个有理数之间的最短距离L为10^-m，式中m为两个有理数中最大的自由小数位。例如，只有1位自由小数位的10个小数与有2位自由小数位的100个小数之间的最短距离是0.01。而无理数有无限多位自由小数位，故无理数的最短距离L′等于n→∞时的Lim10^-n，显然，无论m取什么值L/L′=∞恒成立。当然，m并不一定是一个常数，比如两个有理数的平均值也是有理数，但通常m会变大。但m再大，也不会比趋向无穷的n更大。因此L/L′=∞始终成立，也就是说任意两个再接近的有理数之间，永远有无限多个无理数。在这种情况下，戴德金分割可能分割出一个独立的实数吗？

       所以，任何以有理分隔定义单个无理数的方法都隐含了有理数远远比无理数多这一错误假定，不能成立。

      打一个比方，极其大量的无理数夹杂着极少量的有理数，犹如漫漫大海上大量的水分子包围着极少的重水分子，用大量的水分子将重水分子一一隔开并定义重水分子倒是没有问题，怎么可能反过来用重水分子定义水分子？

如果当初的数学危机用本文的正解解决，恐怕数学史要少走不少弯路。

黄汝广等对该文提出了一些看法，在此表示感谢，例如，黄汝广认为：康托实数不可数与戴德金分割不相容。

[i]在数学中，双射（也叫一一对应）是一种特殊的函数关系。

对于集合A到集合B的一个函数f，如果它满足两个条件：一是单射，也就是对于集合A中任意不同的两个元素  ai 和  aj ，都有   f(ai)≠f(aj)  ，即不同的自变量对应不同的函数值；二是满射，即对于集合B中的任意元素 b  ，在集合A中都存在元素 a，使得 f(a)=b ，也就是集合B中的每个元素都能通过函数f找到集合A中对应的元素。 当一个函数同时满足单射和满射这两个条件时，就称这个函数f是从集合A到B的双射

现在把集合A看作以0~1之间的实数为元素的集合，B看作自然数集合N。随机任取实数集之内的某一实数，将其与自然数集中的1对应，再任取实数集之内的另一实数，将其与自然数集中的2对应......上述方法可以一直延续下去......

在上述方法中，我们找不到任何一个实数是不能用随机方法取到的，所以任何一个实数都是可以对应到某一个自然数，同时实数集中任意不同的两个实数，都对应不同的自然数，这样就存在着实数集到自然数集的单射；另一方面，我们也找不到任何一个自然数是无法与某一实数对应的，这是因为，实数是无限多的，因此对于任何一个自然数，总会有一个实数与其对应。这样我们就证明了用上述方法建立的从实数集到自然数集的单射就是满射。

这里需要注意两个问题，①取一个数并不是取一个指定数值的数，而是取任意数值的数，只要取到的数和以前取到的数不重复就可以，如果重复的话可以重新取；②这个过程是永远不会完成的，这个很自然，就是自然数或有理数，我们也永远取不完，更不要说实数了，也就是说总会有一些实数是我们还没有取到的，但只要我们能保证不存在一个数是永远取不到的，就等于保证了任意一个数都是能取到的，这就足够了。

所以，任何试图证明实数不可数的企图都不会成功，即使“证明”了， 也必然存在错误。（例如，后面将会证明，康托对角线法（G. Cantor. Uber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre. Jahresbericht der Deutaschen Math. Vereinigung , 1890-91,1:75 - 78.并没有证明实数不可数）。

显然，无论是有理数还是无理数，都比自然数多得多，但都可以与自然数建立一一对应关系，说明用一一对应并不能比较元素的多少。原因其实非常简单，就是我在上一篇博文所证明的，作为"基准"的自然数集合并不是唯一的，比如说与有理数一一对应的那个自然数集合和与实数一一对应的这个自然数集合是两个不同的自然数集合。

根据自然数集合的定义N={x|x是自然数}，似乎自然数集合是唯一的，但是由于自然数集合的元素是无穷无尽的，自然数集合并不存在一个共同的尽头，所以并不存在唯一的自然数集合。

其实，只要承认无限大长方形矩阵的存在，等于就承认了自然数集合的非唯一性:无限大长方形矩阵的行标和列标显然都是自然数集合，但是并不相同。在科学研究和工程设计中，这类矩阵比比皆是。可见现在的集合论理论是多么落后。

无限大长方矩阵是指行数和列数都是无限的，且行数与列数不相等的矩阵。比如，若一个矩阵的行数不断增加且趋于无穷，列数也不断增加且趋于无穷，但两者增加的速度不同，最终使得该矩阵在无限的情况下，行数和列数不相等，那么这个矩阵就是无限大长方矩阵。

例如，对于二进制小数，n位小数有m=2ⁿ个小数。当n→∞时，可形成一个mxn的长方形矩阵，且这个矩阵的宽（列标数）长（行标数）比趋于0，是无限狭长的。

对角线法先根据可数假定把实小数一一列出，在这里，与实小数一一对应的自然数是矩阵行标，与列标则没有任何关系，所以列出的可以也只能是上述无限大的长方阵。然后对角线法用对角线构造了一个数(b)，由于对角线只存在于方阵内，因此对角线法只能证明b不在方阵内，与b在不在所列出的长方阵内风马牛不相及，也就是说，康托的对角线法并没有证明实数不可数。

事实上，对角线所在的方阵只是长方阵的一个真子集，n→∞时，方阵内所列出的小数数目与长方阵内所列出的小数数目的比值趋于0.

因此，仅在方阵内列出相对极少的一小部分小数就以为已将小数一一列出，非常荒谬。

其实，由于对任何矩阵，无论是行标还是列标都是自然数，因此，以小数位数为列标，小数个数为行标组成的无限大长方形矩阵的存在直接证明了:

①小数个数与自然数一一对应即实数可数，

②小数位数与自然数一一对应即小数位数可数

③由于长方形矩阵的行标和列标并不相同，所以自然数集合不是唯一的。