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实数集的连续性与离散性

实数是数学中重要的一部分，也是整个数学分析研究的基础，因此实数基本理论在整个数学分析中占有十分重要的地位.在实数基本理论中，实数的几个基本定理体现了实数的一种特性——实数的完备性（或者说实数的连续性）.

在《几何原本》中如此定义“点”、“线”、“面”：点不可以再分割成部分；线是无宽度的长度，线的两端是点；直线是点沿着一定方向及其相反方向无限平铺；面只有长度和宽度，一个面的边是线，平面是直线自身的均匀分布.这些定义构成了数学科学的基础，并一直沿用至今.

现代数学讨论的连续性，是指康托定义的连续统，即实数集.这样康托将线段与实数集联系起来，把线段看成是一个实数集，使得每一个实数对应着线段上的一个“数学点”，但也因此同时代表了一段线（因为任何一段线段的长度都可以用实数去表示）.德国数学家戴德金（RichardDedekind）利用他的分割理论（即戴德金原理）精确地给出了实数集R的定义，这一理论也同时确立了R的完备性（数学上把这种“完备性”称为连续性或致密性），然而其定义的基础仍然是“线段由点构成”这一基本假设，因此戴德金原理仍然不能有效解释线段的连续性，用离散性的方法去解释线段的连续性可能只能徒劳无益.

数学来源于人类的实践，数学上的“点、线、面”都是客观事物的抽象物.“点”这个抽象物是去除了客观事物的形状、长度这些“质”之后的概念，其与客观事物、线段有着本质的区别，有着质的差异（这一点非常重要）.因此“点”来源于客观世界，又不同于客观世界.正如恩格斯所说，“这可以由下列事实来说明：在数学上dx是一个线量，而大家知道，这种没有厚和宽的线并不能独立地存在于自然界中，因此数学的抽象也只是在纯粹的数学中才是无条件地有效的.”（恩格斯，p.246）.关于数学抽象物的本质，恩格斯认为我们只能从现实来说明，他指出：“他们忘记了：全部所谓纯数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时都变成荒谬或走向自己的反面.数学的无限是从现实中借来的，尽管是不自觉地借来的，所以它不能从它自身、从数学的抽象来说明，而只能从现实来说明.”（恩格斯，p.249）.数学中的“点、线、面”概念都是想象的，不能独立存在，数学的抽象只有在纯粹的抽象数学中才是有效的，数学的点、线、面也只有在纯粹的数学中才是有效的，没有测度的点在现实世界中是不存在的、更是无效的；抽象到极端就走向了自己的反面，例如数学的“点”是没有测度的，而“点”的原始抽象对象是有测度的，人们在“抽象活动”中忽略、淘汰了点的“测度”，从而让点走向了自己的反面，让点与线在质上不统一，因此导致“线”不能由“点”构成、“面”不能由“线”构成.所以，“点”是一个概念、一个抽象，不代表客观事物，不是现实的存在.同样而言，“线、面”也都不是现实的存在.

“实数”不仅是现行数学基础，也是整个现行理学基础，但以“实数”为元素的集合，连逻辑主义数学家罗素和弗雷格也怀疑：‘集合论……都是逻辑的悖论.逻辑在哪里出了毛病呢？很多人百思不得其解.这一问题直接威胁到数学的基础……更重要的是，集合论悖论威胁到自然数的定义.’统一原可以被描述为由无数最小的单元即小无限所组成.实际上，统一原是永恒自在，绝对独立的客观实在，是一绝对统一的全息整体.统一原先于一切，包罗一切，规定一切，独立自由，至朴至实，统而为“一”，没有部分，绝对连续.“一”意味着唯一，没有部分，也没有边界，没有大小，超越了大小.无限大即无限小，反之亦然.无限不是有限事物的叠加，是不可度量的，是无限大与无限小的统一，是统一一切的客观实在，是包罗一切的绝对全息体.

陈省身讲：“一切物理的理论最终都要量子化，在数学上我们需要研究无穷维的空间和分离现象.”实数集在标准分析中是连续的，但是实数集可以与数轴上的点建立一一对应关系，而数轴可以认为由可数个离散的区间组成的，只需要两种颜色就可以把数轴上的区间分开.在非标准分析中是离散的，每一个点由可数个点构成，由非标准分析可以知道实数集是离散、连续的对立统一.集合论的创始人Cator把无穷基数分为无穷个等级，一个比一个大，并进一步证明了“任何集S的超限数基数比集S超限数还大”.在这里“整体大于部分”成了谬误，而“部分大于整体”成为真理.复数可以与复平面上的点建立一一对应关系，而复平面可以认为由可数个矩形区域组成的，根据四色定理只需要四种颜色就可以把平面上的区域分开.由于数学归纳法适用于离散集，因此也可以适用于实数集与复数集.类似地，只需要2ⁿ种颜色就可以把n维空间中区域分开，现代数学认为至少需要7种颜色才能把环面上的区域分开，其实只需要8种即可.

根据离散与连续的相对性与绝对性可以得知，离散与连续具有统一性的一面，因此函数与数列、级数与积分便统一在一起，函数极限的四则运算法则与数列极限的四则运算法则、函数极限的性质与数列极限的性质、函数极限的判定与数列极限的判定其实是同一个问题，也不难理解Heine定理离散型；随机变量与连续型随机变量也是相对性与绝对性的统一.

在传统的物理理论公式中，人们普遍采用实数.表面上看，可能存在三条理由：实数是物理量的值；时空是连续的；概率的值是实数.传统的物理大厦依赖于物理量的值的计算，而这些计算已得到高度发展（如泛函分析和微分几何等数学分支）.但是，传统物理理论的成功只不过证明了连续的“仪器效应”罢了.可用一个例子来说明.长度是一个物理量，如果先验地认为它是连续量的话，那么其他的物理量就可以用实数模型化了.因为对一个物理量的测量，总能约化到在空间中某种类型的仪器指针的值.于是，问题就转到为什么要对时空采用实数模型？或者说，是否有一种公认的理由可以将“仪器效应”分离掉？答案是否定的，并不存在一种先验的理由说明空间是连续的.将时空非连续的可能性反映到物理理论中去，是拓扑斯理论的关键之处.

至于概率为什么应该是实数的问题更值得探讨.概率由测量序列的结果的相对频率（为有理数）决定，实数是相对频率的无限序列的极限引起的.许多学者指出，概率为实数是一种生理学事实的理想化，是一种理性的规范.有时，人们可以认为某种倾向会比另一种倾向大，但是在很多情形下“倾向性”是不可比拟的，后者将导致概率函数的值域是偏序集.

连续时空观的基础是“点”的概念，在拓扑斯理论中，则以场所（locale）来取代点的概念.为此，可以先将点的概念让位于区域（region）的概念.塔斯基（AlfredTarski）早年曾做过“保守”线路的工作，他首先提出区域概念作为第一性，点概念作为第二性的方案.塔斯基先列出了区域的公理，再由区域构造点，并使这些点具有3维欧几里得空间的一些熟知性质.例如，可以把点构造成区域序列的形式，每个区域含在前一个区域之中，并且它们的“宽度”趋于零.但是，利用区域取代点并不一定要采用这种“保守”的线路.非“保守”的线路是用公理定义区域，并彻底替代点的概念.事实上，任何拓扑空间均能构造一个场所，后者是一个推广的布尔代数，它们不必具有排中律，由此提供直觉逻辑的一个自然代数结构.由场所定义的区域理论不是“保守的”——它推广了拓扑空间的概念，允许区域簇不组成点.

拓扑斯理论是范畴的一种特别类型，范畴由对象(object）及射(arrow）组成.一个明显的例子是群范畴，其中对象是群，映射f：G₁→G₂是从G₁到G₂的群同态.在任何拓扑斯理论中，存在着一个推广的子集簇概念，即给定对象的子对象簇概念，子对象簇是一个场所.从而可以用拓扑斯理论来替代诸如连续流形作为描述时空的数学.

随着人类的认识深入到微观领域，更是把一系列根本性矛盾摆在了相对论体系面前.尽管几十年来人们一直在努力把相对论的要求贯彻到微观领域中去，然而微观客体既连续又不连续的特征，已经不再是只以宏观连续场为对象的相对论所能容纳得下了.从时空几何与物质运动相互联系的一般观点来看，绝对连续的几何框架是不可能充分反映微观客体新的时空特征的共性的.目前的量子场论就是包含着这样一个矛盾的理论，在它内部存在一系列根本性困难，那是不足为奇的.突破相对论的任务，同突破量子论的任务密切结合起来了.几千年来形成的要么绝对连续，要么绝对间断的形而上学观念，多少世纪以来建立的只允许绝对连续的几何理论，都将受到尖锐的挑战.恩格斯名言：“蔑视辩证法是不能不受惩罚的.”（《自然辩证法》）马克思指出，“任何领域的发展不可能不否定自己从前的存在形式”.（《马克思恩格斯选集》第1卷，第169页）.爱因斯坦称：相对论乃是一个“网罗一切自然现象的普遍框架”①（注：①爱因斯坦、英费尔德：《物理学的进化》，第128页）.

哥德尔在证明了他的两个著名的不完全性结果之后，逐渐将注意力转向集合论，而吸引他的第一个问题，就是著名的连续统问题.自康托尔用对角线法证明连续统的基数严格大于自然数全集的基数后，确定连续统的基数究竟是多少，就成了集合论的一个重要课题.康托尔的猜想是，连续统的基数恰好是第二个无穷基数，亦即第一个不可数基数，用公式表达就是：2ℵ0=ℵ1.这就是所谓的“连续统假设”（CH）.它相当于是说，不存在实数的子集，其大小严格介于自然数全集和实数全集之间.康托尔进一步证明了，对于实数的解析子集而言，CH是成立的.但自此以后，集合论中围绕连续统问题的研究几乎毫无进展，直到哥德尔的相关工作出现.

哥德尔1938年构造了所谓的“可构成集类”（L），证明它是ZFC的一个模型，并且CH在其中也满足.这意味着，ZFC不能证明CH是假的，即CH对ZFC具有相对一致性.但哥德尔并没有因此认为CH为真，而是推测它很可能是独立于ZFC的.在他于1947年应《美国数学月刊》之邀所写的关于连续统问题的一篇文章中，哥德尔深入探讨了这种可能性，并指出，我们可以通过合理地扩充ZFC，比如增加一些大基数公理，来最终判定CH的真假.

哥德尔关于连续统假设独立性的预言于1963年被科恩（PaulCohen）实现，用他自己发明的力迫法，科恩证明ZFC也不能证明CH是真的，与哥德尔的结果合在一起，这完成了CH独立性的证明.科恩力迫法是一种十分强大的方法，借助它更多的独立性现象被陆续发现，比如关于实数投影子集的一些问题：它们是否都是勒贝格可测（Lebesguemeasurable）的，是否都具有完美集性质（perfectsetproperty），等等.然而，一个自然的问题是，独立性究竟意味着什么？它是否意味着相关问题没有数学意义？

对于这个问题，科恩本人倾向于一种形式主义的立场，他认为ZFC并不是对某种客观实在的描述，而是一个形式系统；一个集合论语句是真的，当且仅当它是ZFC的定理.根据这种立场，连续统问题没有意义，因为CH及其否定都不是ZFC的定理，也就没有真值.哥德尔在更早的时候已经预见到了CH的独立性，同时却没有放弃谋求它的解决，更不用说就此宣称连续统问题没有意义.哥德尔的这一做法与他关于数学的哲学立场密切相关，他写道：“……基于此处采取的立场，一个从已接受的集合论公理出发对康托尔猜想的不可判定性的证明（与一个对π的超越性的证明完全不同），绝不是问题的解决……集合论概念和定理描述了一个完全确定的实在，在其中康托尔猜想一定是或真或假.因此源于今天已接受公理的对它的不可判定性，只能意味着这些公理没有完备地描述那个实在.”^[1]在数学哲学上哥德尔持一种与科恩形式主义完全不同的立场，即实在论或柏拉图主义的立场，并且正是基于这一立场，哥德尔认为，连续统问题仍有意义，即便CH被证明是独立于ZFC的.

康托尔证明连续统的基数等于自然数集幂集的基数，并把它记作2^ℵ0(其中ℵ0读作阿列夫零).康托尔还把无穷基数按照从小到大的次序排列为ℵ0，ℵ1，…ℵa……其中a为任意序数，康托尔猜想2^ℵ0=ℵ1.这就是著名的连续统假设（简记CH）.一般来说，对任意序数a，断定2^ℵa=ℵ(a+1)成立，就称为广义连续统假设（简记GCH）.更重要的是，哥德尔指出，上述信念“绝非空想，因为有可能指出一些方向，沿着它们能得到对一个问题的判定，而这些问题对于通常的公理是不可判定的”^[1].哥德尔在这里所说的“方向”主要是指大基数公理.在哥德尔看来，它们是我们一般接受的ZFC公理的自然延续，因为它们断言一些非常大的基数的存在，而这些大基数与比它们小的基数之间的关系，好比是第一个无穷基数与有穷数（即自然数）之间的关系；大基数公理就相当于更强的无穷公理.并且哥德尔指出，虽然大基数公理“只直接涉及非常大的超穷序数，但可以证明，由它们产生的推论远远超出序数理论的范围；在相容性的假定下可以证明，每条（现在已经知道的）大基数公理都能判定更多的属于丢番图方程领域的命题”^[3].这就为借助大基数公理解决连续统问题提供了希望.此外，哥德尔同时强调，除了大基数公理，还可能存在其他一些、尚未为人所知的集合论公理，“这些公理隐含在逻辑和数学背后的一些概念之中，或许在对这些概念有了更为精深的理解之后，我们才能发现它们”^[1].

①除了寇尼希（JuliusKönig）的一个结果，即连续统基数的共尾数不可能是ω.

②即《什么是康托尔的连续统问题？》.哥德尔后来（1964年）对这篇文章做过一些修订，但新版与旧版在主要观点上并无本质差别^[1].

③所谓大基数是ZFC不能判定其存在与否的基数，如不可达基数、马洛基数、可测基数等，关于它们以及本文涉及的其他集合论概念的技术定义，可参见JechT.,SetTheory:theThirdMillenniumEdition,RevisedandExpanded,Heidelberg:Springer-VerlagPress,2003.

科恩和哥德尔对CH独立性的态度，分别代表了之后的集合论实践中的两个主要阵营.而隶属于哥德尔主义阵营的集合论学者，主要是加州学派的成员，他们按照哥德尔纲领展开了一系列的研究，并且成果卓著.总的来说，加州学派围绕连续统问题的工作主要有两方面：其一是一个相对局部的策略，通过为三阶算术寻找一个“经验完全”的理论来判定CH的真值；其二是所谓的“内模型计划”，该计划试图为集合论寻找一个终极模型或终极理论，它可以回答包括连续统问题在内的几乎所有独立性问题.下面我们对这两个方向分别做简略的介绍.

第一个方向上的工作基于这样的事实和想法：连续统问题是一个三阶算术问题，而对于一阶算术和二阶算术，我们都能找到经验完全的理论；如果我们能将这类工作推广到三阶算术上，或许就能解决连续统问题.这里称连续统问题为三阶算术问题，是因为它追问的是实数子集的大小，其相关命题以实数子集为概括对象，而由于每个实数相当于一个自然数子集，连续统问题所谈论的对象就成了全体自然数子集所构成的集合的子集.如果称直接概括自然数的算术为一阶算术，以自然数子集或实数为概括对象的算术为二阶算术，那么连续统问题就属于三阶算术.由于哥德尔不完全性定理，我们注定无法获得一个关于一阶算术结构的完全的理论.但如果不考虑哥德尔句这种生造的算术语句，仅考虑那些在数学实践中有实际趣味的算术问题，那么我们确实拥有一个接近完全的理论，即ZFC，它能判定今天已知的关于一阶算术结构的所有有趣问题.这样的理论，我们称之为经验完全的.而加州学派的一个重要工作是，不仅对一阶算术结构，我们有经验完全的理论，对二阶算术结构，我们也能找到一个经验完全的理论，那就是ZFC+PD.其中，PD指投影决定性公理，它断言实数的投影子集都是可决定的.在假定PD的情况下，已知的关于二阶算术结构的有趣的独立性问题都可得到解答.不仅如此，加州学派进一步的研究表明，类似的情形也有希望在三阶算术结构上发生：如果某些高度似真的假设成立，则存在关于二阶算术结构的一个高度完全的理论，并且它包含CH的否定.

相比于第一个方向上的工作，加州学派在第二个方向，亦即内模型计划方向上的工作与本文的主旨更为相关，后者也更符合哥德尔关于连续统问题求解的原始设想.哥德尔的可构成集类L具有良好的结构性质，并且可以判定CH，但它对集合宇宙限制过甚，不能容纳可测基数及其以上的大基数，因而不适合作为新公理.但能否找到一个类似于L、可自下而上地定义的集合论模型，它同时能容纳可测基数以及更大的大基数，这就是内模型计划的动机.此处所谓“内模型”是相对于力迫法的扩张模型而言，后者是通过对集合宇宙进行扩张得到，前者则是对集合宇宙进行收缩限制.内模型计划的早期工作在20世纪70年代就已开始，并逐步取得了相当的成功，找到了一系列能容纳越来越大的大基数的集合论内模型.但是，这个计划长期面临一个根本的难题：“每个为满足某一特定大基数公理的挑战而新构造的对L的扩张都伴随着一个定理，这个定理说没有更强的大基数公理在这个扩张中成立.由于不太可能存在一个最强的大基数公理，这种方法似乎由其本性就不能成功地为澄清集合宇宙概念而提供所需的新公理.”^[4]然而，这种状况在最近得到改变.这源于武丁的一个革命性发现：如果存在一个内模型，它能容纳一个超紧基数，则目前已知的所有大基数性质都能“反映”到这个模型中，也就是说，它可以容纳所有已知的大基数.武丁称这样的一个内模型为“终极L”.而一旦能证明终极L确实存在，那无疑将是哥德尔纲领的一个完美实现，连续统问题也将随之而解（武丁证明，终极L的存在蕴涵CH成立）.

关于加州学派的这些工作，下面只有极为简略的勾勒，想要对它们有更详细、更精致的了解，请参见郝兆宽《哥德尔纲领》^[2].

现在，一个关键的问题是终极L是否存在.武丁猜想它存在，但只给出了一些间接的证据，至少目前在数学上还不能真正确定武丁的猜想成立.不过，这本质上是一个数学问题，应该交由数学家们去研究、争论和裁定.哲学上重要的是，如果数学家最终表明终极L确实存在，哥德尔纲领从而得以实现，这是否就意味着数学实在论获得了巨大的支持，甚至决定性的胜利？本文关心的是这个问题.

将哥德尔纲领与数学实在论相联系是十分自然的，毕竟哥德尔本人就是这么做的.如同前文谈到的，正是由于相信集合论是对某种客观实在的描述，哥德尔才坚持认为，独立性证明并不是对连续统问题的解决，CH仍有确定的意义和真值.因此，人们一般习惯性地以为，哥德尔纲领的实现必定会有力地支持数学实在论.事实上，有些学者甚至对我们前面提到的关于哥德尔纲领内容的那种常见表述不满意，主张将哥德尔的实在论思想也包含其中.比如，郝兆宽就将哥德尔纲领总结为如下四个命题^[2]：

（1）数学既不是人类心灵的创造物，也不是纯粹符号的游戏，而是对客观世界的认识和描述.

（2）证明连续统假设是独立的并不是对连续统问题的解决，而是说明ZFC远远没有完全刻画“集合”这个概念.

（3）集合论学家的主要任务是不断加深对集合这个概念的理解，并将这种更深入的理解总结为新的公理.任何独立性问题，包括CH，最终会以这种方式得到解决.

（4）对新公理的辩护既可以是内在的，也可以是外在的.

如果对哥德尔纲领作这样的理解，那么它与实在论的相互支持关系当然是不言而喻的.但在本文中，我们不进行这种延伸式解读，而是按照一般的做法，视哥德尔纲领为一个就其内容本身而言相对纯粹的数学研究纲领：寻求ZFC的合理扩张，以判定ZFC本身无法判定的命题.在这样假设的基础上，我们探讨它与实在论的关系.

认为哥德尔纲领的实现能有力支持实在论立场的一个显然的理由是，从实在论的假设出发，我们必然地会走向哥德尔纲领——既然集合论描述客观实在，CH之类命题的不可判定性当然不意味着它们无意义，我们应该做的是深化对集合宇宙的理解，寻求新公理以判定它们——而根据假说推理原则，哥德尔纲领的成功反过来就能支持实在论.这与科学推理中的情况类似：我们根据特定的假设预测一个期望得到的观察，而所预测的观察一旦出现，则反过来对那些假设构成确证.应该说，这个理由也正是人们心中暗暗持有的主要理由.但一个关键的问题是，尽管实在论可以自然地导向哥德尔纲领不假，但反实在论是否就不能与它相容呢？

作为一个数学研究纲领，哥德尔纲领本质上涉及的是数学方法论问题：数学研究应如何进行，独立性结果下的集合论实践该去往何方？这与关于数学的哲学问题——数学对象是什么，我们如何能认识它们——还有一定的距离.特别地，当代自然主义数学哲学的一个著名代表麦蒂甚至主张，数学方法论问题应与数学哲学问题彻底分离.就本文的目的而言，这是一个十分重要的观点，在此值得更详细的介绍.

麦蒂认为，数学在方法论上是高度自治的，与实在论或反实在论的哲学立场无紧密关系.为了表明这一点，麦蒂仔细考察了历史上的数学实践，特别是康托尔以来的集合论实践，审视了人们在引入集合实体、为某个集合论公理或某种集合论实践辩护时所惯常援引的理由.例如，她指出，康托尔引入导集的概念是为了推广一个关于函数的三角级数表示的定理；戴德金引入戴德金切割之类的无穷集是为了严格刻画连续统，从而为分析提供基础；策梅洛在为他的集合论公理辩护时，除了指出它们在直观上的显明性，主要诉诸它们在数学上的丰富性和前景，强调它们对于保存康托尔、戴德金以来的集合论结果是充分且必要的，同时又不会产生罗素悖论之类的集合论悖论；20世纪70年代以来的很多集合论学家倾向于接受投影决定性公理为一条新公理，理由是它具有种种数学上的优点，特别是它能为关于实数可定义子集的经典理论提供一个丰富、深刻的扩张.麦蒂强调，这些理由都不是哲学的，而是来自数学内部，指向明确的数学目标，“从相对局部的问题求解，到提供基础，再到对有前景的数学道路的更开放的追求”^[5].

另一方面，麦蒂也承认，在数学家们的实际讨论中，确实掺杂了一些哲学思辨味十足的文字，比如戴德金曾说，数是人类心灵的自由创造.但考虑到数学家们对这些问题往往持有广泛不同的意见，很难设想最终接受集合论的他们会认同一个关于集合之哲学本性的单一概念.更恰当的做法是，将这些文字视为“花哨有趣的旁白或启发式的辅助，而非该学科之证据结构的一部分”^[5].

作为历史事实判断，麦蒂的上述观点在细节上未必完全准确，因为它涉及复杂具体的历史和作为主观个人的数学家.但可以确定的是，它至少揭示了一种理论诠释上的高度可能性，即将数学方法论问题与关于数学的哲学立场相分离.麦蒂由此提出要为数学实践所展现出的方法论提供一个自然主义的刻画，按照这个刻画，数学所追踪的是某种无关乎本体论问题的数学深刻性（mathematicaldepth）.而就本文的范围而言，麦蒂的这一思想启发我们将哥德尔纲领与实在论解绑：即使不假设实在论的本体论立场，我们也可以在方法论上接受哥德尔纲领，并完全基于数学内部的理由为之辩护.

事实上，哥德尔本人的一些论述已经暗示了这一点.尽管如前文谈到的，哥德尔确实从实在论的角度为CH的有意义性做了辩护，但他同时又说，对于CH是否有意义这个问题，数学对象客观存在与否不是决定性的.实际上，单凭一个心理事实就足以赋予CH之类的命题以意义，这个事实就是：“存在一种足够清晰的直觉，它能产生集合论的公理以及它们的扩张的一个开放序列.”^[3]268在哥德尔看来，“集合论公理远没有形成一个自我封闭的系统；恰恰相反，作为这些公理基础的集合概念自身暗示着还可以添加新的公理来扩张这个系统，这些新公理断言我们仍然可以进一步迭代‘……的集合’这一运算.”^[3]

哥德尔这里的意思是，从我们关于集合的直觉（或直观）概念看，集合论公理能够以数学上自然的方式被不断扩张，形成一个没有终点的无限序列.哥德尔心目中的集合概念，就是已被人们普遍接受的集合迭代概念：集合宇宙是从空集（或一些本身不是集合的个体对象）出发，不断应用“……的集合”运算得到的.在这个过程中，需要使用愈来愈强的无穷公理断定愈来愈大的无穷集的存在.ZFC只包含一条无穷公理，但从上述集合迭代概念看，增加更强的无穷公理（即大基数公理）来扩张ZFC，是十分自然的.在这样的图景下，CH对ZFC的独立性就绝不是问题的结束，因为我们可以期待，合理扩张后的ZFC能够最终判定CH.

这就是说，不必援引实在论立场，仅从纯粹数学的考虑出发，从我们关于集合的直觉概念出发，一个集合论学家也能自然地接受哥德尔纲领，投身于寻求新公理的事业.真正关键的实际上不是本体论立场，而是我们心灵中关于集合的直觉概念具有怎样的特征这样的心理事实，是我们的集合概念本身的开放性决定了哥德尔纲领的自然性和合理性.即使一个人持一种反实在论的数学哲学观点，比如把数学理解成一种概念想象活动，他也可以自然地接受哥德尔纲领，只要他按照集合的迭代概念那样去想象集合.

当然，与实在论者将集合的直觉概念神秘地对应于某种心灵之外的数学实在不同，反实在论者认为，它是心灵的创造，或者更确切地说，是人类大脑的创造（至少对物理主义者而言是如此）.而这可能会立即招致一种反驳，因为谈到数学是心灵的创造，人们总会联想到布劳威尔的直觉主义，进而想到他对排中律和实无穷概念的拒斥.但应该说明的是，今天的反实在论者很少在布劳威尔的意义上谈论“数学创造”和“数学直觉”.在当代的更具包容性和更具自然主义精神的反实在论哲学中，排中律和实无穷概念可以是我们的经典数学想象的一部分，而数学直觉和创造也能得到一种基于当代认知科学研究成果的自然化说明.不过，限于本文的篇幅和目的，这里不可能也不必详细阐述这种反实在论数学哲学.接下来，我们仍然紧扣哥德尔纲领的直观概念基础和它引发的实践，讨论它与实在论的关系.

根据前面的分析，从集合的迭代概念看，哥德尔纲领自有其数学上的合理性，无须借助于实在论或柏拉图主义.但实在论者或许会反驳说，尽管集合的迭代概念为扩张ZFC提供了一定的动机和理由，但它并不像实在论那样必然要求这种扩张.特别地，科恩等形式主义者甚至反对这种扩张，主张在ZFC中工作，虽然他们显然接受集合的迭代概念.这或许表示，哥德尔纲领的实现还是更有利于实在论.

确实，如果一个人持反实在论的立场，他当然可以选择不再扩张自己的数学想象.实际上，他甚至可以选择收缩已有的想象，比如在ZF中工作，或抛弃无穷公理，等等.但无论他自己喜欢在怎样的假设下工作，他总不能否认别人在不同的假设下——无论扩张还是收缩——所做工作的意义，因为这些工作都能理解为是在证明一些假言命题，或者说发现了某个推理链条和逻辑关系.事实上，自力迫法诞生以来，集合论学家们已经逐渐习惯于在各自偏好的不同假设（如V=L、PD和各种大基数公理，甚至CH和¬CH）下工作，同时又彼此承认对方工作的意义，以至于一些人开始支持和论证一种被称为“集合论多宇宙观”（multiverseviewofsettheory）的立场.比如，哈姆金斯（J.D.Hamkins）就认为，集合论发展的现实表明，实在论者所期望的连续统问题的理想解决方案已经不可能了，当前的集合论研究更应该着眼于探求各种独立性命题在哪些集合论宇宙中是如何成立的，以及这些集合论宇宙之间的关系^[6].

集合论的这种现实状况符合反实在论的基本精神.事实上，在反实在论图景下，扩张ZFC与否，更多地是个语言表述问题，因为在额外假设下所做的集合论工作总可以解释成是ZFC之中的工作，即在ZFC中证明一些假言命题.这也让我们再次想到麦蒂的那个论点：隐藏在数学实践中的客观性是一种无关乎抽象对象的数学深刻性.这里的“深刻性”，可以部分地理解成逻辑蕴涵关系上的深刻性.至于科恩等基于ZFC的形式主义者，他们以一种近乎实在论的态度特殊化地对待ZFC，视ZFC中可证的命题为字面真理，而对扩张ZFC则表现出敌意，反映了一种不彻底的形式主义立场.实际上，作为工作数学家，这些人往往对本体论、认识论等哲学问题不太关心，也没有充分、融贯的数学哲学立场.他们的形式主义，通常仅仅是一种比较具体的数学工作态度的表达，比如，相比于寻找新公理判定CH，证明CH以及其他一些命题相对于ZFC的独立性，在他们看来更有意义.

然而，针对以上的回答，实在论者可以进一步加强自己的反驳：与反实在论相比，实在论真正的优势不在于要求ZFC的扩张，而在于要求ZFC的唯一的扩张（因为那个实在的集合宇宙是唯一的），而哥德尔纲领当前所面临的可能的实现，亦即终极L的愿景，恰恰印证了这种唯一性的要求.我们之前谈到，主张哥德尔纲领的实现能支持实在论的一个理由是基于假说推理原则，而这里的论证则为我们引出了第二个重要理由，那就是终极L模型的特殊性.终极L可以容纳所有已知的大基数，且具有良好的结构性质，能够判定所有已知的自然的独立性问题；并且，它对通常的独立性证明方法（即力迫法）是免疫的.基于此，实在论者提出了一个对自身立场的辩护，比如，郝兆宽说：“终极L的这种特殊性自然需要哲学上的解释.武丁多次强调，这种特殊性源自它十分接近V，那个真实的集合论宇宙.除了这种柏拉图主义的解释，我们暂时看不到任何其他的哲学立场能够做到这一点.”^[2]

这里，终极L模型的特殊性可以等效地理解成相应理论——ZFC+V=终极L——的特殊性.说终极L十分接近V，相当于说ZFC+V=终极L是对ZFC的一个近似的完备化.而上述论证的一般形式可总结为：因为某个理论具有如此这般的“好性质”，所以它是对某种客观实在的（近似）描述.

但这样一种论证，显然是有问题的.因为，“好性质”反映的是人们的主观理论偏好，而实在之为实在，恰恰在于它很可能背离我们的偏好.比如，在物理学中，经典力学的确定性对我们来说是一个显著的“好性质”，但对微观事物的精细观察表明，它与实在不符.在数学中，也有类似的例子，比如欧几里得几何理论，它具有种种好性质——直观上的显明性、完备性等，但自非欧几何流行以来，恐怕很少有人会认为，欧氏几何模型的这种特殊性源自它完美地接近点、线、面等几何对象的客观宇宙.并且，设若诉诸终极L特殊性的论证有效，那么为了一般地支持实在论的数学本体论立场，我们也将完全没必要诉诸它，因为相比于这个存在与否尚不确定的模型，我们有太多理论优点显著的数学结构可资利用，如自然数结构、连续统结构等.这些结构是经典数学的核心部分，被数学共同体普遍接受，不仅带来好的理论结果，直观上也十分自然.如果这些特征只能用“完美近似于抽象对象的客观宇宙”来解释，那么不必考虑关于终极L的那些复杂深奥的数学结果，柏拉图主义就已经能够得到确立.

诚然，应当承认，在集合论实践中，数学家们经常利用公理的某些理论优点为公理做辩护.加州学派为投影决定性公理所做的辩护就是一个例证.而它不过是对哥德尔关于公理的外在辩护方法或“哥德尔归纳法”的经典论述的一个回响.哥德尔指出，即使一个新公理没有内在的必然性（直观上的显明性，或包含在集合的概念之中），我们也可以通过归纳研究它的“成功”，对其真值作出裁定.这里的成功指后承的丰富性，“或许存在这样一些公理，它们的可验证后承是如此丰富，它们对一个领域的阐释是如此清晰，它们提供的解决问题的方法是如此强大（甚至能最大限度地以构造性的方式解决它们），以至于无论它们自身是否是内在必然的，它们都必须被接受”^[3].

但是，在集合论方法论上接受这种辩护策略和方法论原则，与支持实在论的哲学立场完全是两回事.特别地，麦蒂在她关于集合论方法论的研究中着重指出了集合论实践的上述事实，但她接着强调，集合论学家接受的这种方法论实际上与柏拉图主义不相容.一个理论具有数学家偏爱的某些性质，满足某种数学目的，如何就能保证它为真？如果实在论者将集合论看作对某种客观独立的实在的描述，那么“实在完全可以令人悲伤地拒绝合作”^[5].

关于集合论方法论与实在论哲学观点的冲突，麦蒂的论述集中在公理的外在辩护方法上.但沿着她的思路，我们可以挖掘更多.我们认为，甚至集合论学家普遍接受的集合直观概念，亦即集合的迭代概念，也与实在论相冲突.根据实在论，集合像苹果、原子、自然数等一样，是客观存在的对象.但问题是，后面几种对象都可以任意地“汇集”为集合，而根据集合的迭代概念，这种情况在集合却是不被容许的.这究竟是何缘故呢？当然，众所周知，如果不作这种限制，就会产生悖论.但避免悖论这个数学的理由，并不能替代我们要求的哲学解释：什么样的本体论原因使得集合这种对象不能像其他个体对象一样被任意地汇集起来构成一个集合？我们认为，实在论者有义务对此进行解释.

除了对集合的任意汇集或大小进行限制，凭借基础公理，集合的迭代概念还排除了无穷下降链的存在.从实在论的角度看，这似乎也毫无道理可言，而数学上的理由，则完全是实用的：无穷下降链虽然不会产生矛盾，但排除它也不会造成任何数学损失；而借助基础公理，集合宇宙可以变得更整齐，特别是具有一种自下而上的构造特征.

在反实在论的图景下，集合迭代概念的上述特征可以得到更自然的理解.这是因为，人类有自下而上、一层一层地想象事物的自然倾向.从给定的一些原子对象出发，不断地应用“……的集合”这个运算向上构造，就像从地基开始建造一座高塔一样，在想象上十分自然.唯一可能的障碍是，在集合的迭代概念中，需要想象一个无穷过程的完成（即实无穷），它超出人类的经验范围，而在历史上，它也确实给数学家造成了相当的困扰.但经过无穷集合论近一个半世纪以来的发展，数学家们现在已经能在无矛盾原则下接纳并熟练地从事这种概念想象，甚至向着更高的地方迈进.其中最关键的一点是，通过量词规则的严格运用，人们可以用有限复杂的语句清晰、明确地表达实无穷概念，并定义它们之间的关系.

类似的情况对于公理的外在辩护方法也成立.在反实在论图景下，我们能更自洽地理解这种诉诸公理的理论优点的辩护方法：我们可以根据我们（数学共同体）的理论偏好和目的来决定我们的概念想象，选择某些公理作为我们的工作假设；而所谓理论的“好性质”，不过是我们的概念想象的一些特征，包括逻辑特征（如简洁性、后承的丰富性）和是否符合直观等特征，要刻画这些特征，无须援引客观实在的抽象对象.因此，无论是哥德尔纲领的直观概念基础——集合的迭代概念，还是践行该纲领时人们所遵循的方法论原则——哥德尔归纳法，都与数学实在论的立场相冲突，反而更合乎反实在论的数学哲学观.哥德尔纲领的实现，终极L愿景的成真，并不能对数学实在论构成支持.反实在论者一样可以拥抱哥德尔纲领，甚至能更好地解释它.

人们对无穷小量的认识已经经历了几千年漫长而曲折的过程，正如Hilbert所指出的：“无穷!还没有别的问题如此深地打动人们的心灵；也没有别的想法如此有效地激发人的智慧；更没有别的概念比无穷这个概念更需要澄清.[^1]他还指出“数学是处理无穷的科学”．数学史上所谓3次危机都与无穷有关，它在本质上源于人们对无穷的认识不断深入的过程中所引起的认识上的困难．我们可以把到目前为止人们对无穷小的认识大体上分为以下5个阶段．[^2]

第一，对无穷小认识的初级阶段是早在公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯学派为了解决不可公度的问题，提出了“原子论”作为一种非常小的度量单位．此后，无穷小伴着古希腊的“穷竭法”，卡瓦列利的“不可分量原理”，促使微积分方法的萌芽和发展．在我国，则有战国时期(公元前446-256年)的分杵原理，即惠施提出的“一尺之杵，日取其半，万世不竭”等．

第二阶段是以微积分的诞生为标志，对无穷小量的认识经历了三百年左右的曲折认识，到19世纪才将无穷小量作为其极限为零的变量使用．这是属于潜无穷的认识阶段．承认潜在可实现性抽象在逻辑上可以导出数学归纳法原理．

第三，19世纪70年代集合论的建立，使人们对无穷小量的认识进入到实无穷阶段．实无穷抽象作为一种深远的理想化所生成客体的“现实性”并不是直接的.在逻辑上，承认实无穷抽象导致承认排中律而把它作为一条逻辑原理．

第四，20世纪60年代的非标准分析将实数域扩大到超实数域，其中每一个通常的实数看成是超实数的标准部分，它的周围聚集着无穷小邻域即单子，对单子结构的分析，是认识无穷小的一个本质的进步．但这种认识仍有其时代的局限性．例如Robinson仅从数理逻辑的角度来认识无穷小，并且用“互补原则”来看待无集集合等．

第五，20世纪80年代兴起的“超弦”理论，为无穷小理论提供了新的模型．20世纪现代数学的发展，促使人们逐步认识到实数集合有离散性和连续性两方面．每个实数和数轴上唯一的点成一一对应，实数集合从代数的角度看，它呈现出群、环、域等离散性的侧面，而从拓扑的角度看，它是局部列紧的，又呈现出连续性的一面；实数集的无穷性看成潜无穷时，就要研究实数形成过程的一般性质，例如要用有理数列来逼近无理数；而看成实无穷时则是将实数集合当作一个数学客体来研究．超弦理论的基本思路是将基本粒子作为它的一种泛函空间来研究，而不再像传统的观点那样将基本粒子作为一个质点(几何点)来看待．

参考文献：

[1]SteelJ,“Gödel’sProgram”,inKennedyJ.,InterpretingGödel,CriticalEssays,Cambridge:CambridgeUniversityPress,2014,pp.153-179.

[2]郝兆宽：《哥德尔纲领》，上海：复旦大学出版社，2018年.

[3]GödelK.,“WhatisCantor’sContinuumProblem?”,inFefermanS.(editor-in-Chief),KurtGödel’sCollectedWorks,VolumeⅡ,Oxford:OxfordUniversityPress,1990,pp.254-270.

[4]WoodinH.,“StrongAxiomsofInfinityandtheSearchforV”,inBhatiaR.ed.,ProceedingsoftheInternationalCongressofMathematics,Volume1,Hyderabad:HindustanBookAgency,2010,pp.505-528.

[5]MaddyP.,DefendingtheAxioms:OnthePhilosophicalFoundationsofSetTheory,Oxford:OxfordUniversityPress,2011.

[6]HamkinsJ.D.,“TheSet-theoreticMultiverse”,ReviewofSymbolicLogic,2012,No.5,pp.416-449.