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双星运行轨道的研究

摘要：文章首先把双星运动看做二体问题，研究以一个星体为参照系，另一个星体的轨迹为圆锥曲线，以系统的质心为参照系，每一个星体的轨迹也是圆锥曲线，然后提出了行星与恒星之间也是双星现象，地球与月球之间也是双星现象，解释了困扰物理学与天文学多年的行星运行轨道的共面性、公转的同向性的难题，指出了研究行星运行轨道时惯性质量应当用折合质量计算.

关键词：双星现象；折合质量；行星运行轨道的共面性；行星公转的同向性；万有引力定律的平权性.

1.问题的提出

自1650 年发现了第一颗双星ζUMa到18世纪中期，偶然发现了约数十颗双星，引起了许多天文学家的注意.在18 世纪末期，Herschel对双星进行了大量的观测研究，并在此基础上先后给出了第一和第二双星星表.当时人们普遍认为这些双星是相互之间的没有物理关联的光学双星，但早在1767年，Michell就提出了存在相互间有某种物理联系的双星，即所谓物理双星.1803年，Herschel认同了该观点，并且认为他所观测到的双星有些就是物理双星.此后，对双星的研究越来越多，被证认的物理双星系统的数目也不断增加，并出现了许多不同的双星星表.同时，对双星系统的轨道研究也逐步展开.近年来，随着高精度观测资料的快速积累，双星轨道拟合业已成为天体测量和天体力学的一个共同的热点课题，有关研究有了长足的进展，同时也促进了天体物理相应领域的发展.开普勒定律是关于行星环绕太阳的运动，而牛顿定律更广义的是关于几个粒子因万有引力相互吸引而产生的运动.在只有两个粒子，其中一个粒子超轻于另外一个粒子，这些特别状况下，轻的粒子会环绕重的粒子移动，就好似行星根据开普勒定律环绕太阳的移动.然而牛顿定律还容许其它解答，行星轨道可以呈抛物线运动或双曲线运动.这是开普勒定律无法预测到的.在一个粒子并不超轻于另外一个粒子的状况下，依照广义二体问题的解答，每一个粒子环绕它们的共同质心移动.这也是开普勒定律无法预测到的.

物理双星运动属于二体问题，早在1687年牛顿发现万有引力定律后不久，似乎已经彻底解决，但是现代物理学教材中一般只是指明双星围绕系统的质心旋转，没有说明如果以一个星体为参照系，另一个星体轨迹的形状.现代天文学中双星轨道拟合业已成为天体测量和天体力学的一个共同的热点课题，有关研究有了长足的进展，同时也促进了天体物理相应领域的发展.

在二体问题中，由于两个物体都不是惯性系，如果以一个物体为参照系，另一个物体的惯性质量必须用它们的折合质量（约化质量）代替，其中ｍ和Ｍ分别为两个物体的质量，这样在非惯性系中就可以利用牛顿第二定律了，万有引力的计算中只能利用物体的实际质量，因此在双星现象中，如果以其中一个星体为参照系，利用折合质量代替另一个星体的惯性质量.此时只所以出现引力质量不等于惯性质量的假象，是由于这个变换不是伽利略变换，力不再是不变的，由于假设力是不变量，才导致出现出现这样的问题，这样计算是一种等效计算方法.文献[6]没有注意到从地面系到质心参照系的变换不是伽利略变换，才得出引力质量与惯性质量不相等的错误.

2.运行轨道的计算

我们设星体A和星体B两个星体的质量分别为M和m ，星体A中心所在位置为复平面之原点O，在时刻t，星体B位于（1）所表示的点P.这里均是t的函数，分别表示的模和辐角.

于是星体B的速度为，其加速度为    (2）， 而星体A对星体B的引力依万有引力定律，大小为，方向由星体B位置P指向星体A的中心O，故为 .依Newton第二定律，得到   （3）， 将（2）代入（3），然后比较实部和虚部，有  （4，5），这是两个未知函数的二阶微分方程组.在确定某一星体B轨道时，需要加上定解条件.我们设当时，星体B正处于与星体A距离最远的位置，而此时位于正实轴上，距原点为，星体B的线速度为，那么就有初始条件：

……………………………………（6~9）

问题（4）~（9）就是星体B绕星体A运行的轨迹的数学模型.将式（4）乘以r ， 即得

，从而………………………………（10）

其中.这样，有向线段在时间内扫过的面积等于                   ……………………………（11）

显然，这正是开普勒第二定律：从星体A指向星体B的线段在单位时间内扫过的面积相等.将式（10）改写后代入式（5）得 ，于是我们得到了星体B运动的形式较为简单的数学模型：

                    ……………………（12~16）

为求得星体B的轨迹方程，要消去变量，令，那么式（13）可以写为 ……（17），从而，           

将上式代入式（12），简化后为  ……（18），其中.式（18）是一个二阶常系数非齐次微分方程，引进，

立即可以求出，这里和是待定的常数.记，上式可写为 …………（19），这就是星体B的轨道方程，是一条平面二次曲线.由于星体B绕星体A运行，故必有，这样我们得到了开普勒第一定律：星体B的轨道是以星体A为一个焦点的椭圆.

由于在时取到最大值（星体B与星体A距离最远的点），而，这意味着此时函数取到最小值，于是就有，从而星体B轨迹的方程为.

从上面的推导可以看出在双星现象中由于以其中一个星体为参照系另一个星体的轨迹都是圆锥曲线，所以两个星体的轨道共面.

３.星体运行速度的计算

设星体B的运行周期为，那么利用开普勒第二定律即式（11），我们有                  …………（20）

上式左端为星体B轨迹椭圆所围的面积，记为，由于椭圆的半长轴，半短轴，从而有，将上式代入式（20），解得                          …………………………（21）

由于星体B的运行满足开普勒第二定律即式（11），而该式可改写为                       …（22），从而可得……………（23）

如果我们要求时相应的和，则意味着首先要解方程                            …………（24），其中  ， 在求出了时的后，立即可以由式（19）得到相应的，再用式（13）求出此时星体B的角速度继而得到线速度.

4.以双星系统的质心为参照系

在忽略了其他对于双星的作用时，只考虑双星构成的孤立系统，则质心将做匀速直线运动或静止.星体B为P，星体A为S ，质量分别是m 和M，质心在C 点，星体B距质心为 ，星体A距质心为 ，相距为r ，如图所示.

可将质心看作惯性系.在惯性系中，对于星体B应用牛顿第二定律有:，变形有，应用质心的定义，上式还可以变形为     (25)，所以星体B绕质心做圆锥曲线运动.同理，可以推导出星体A也绕质心做圆锥曲线运动.

（注：上面的推导也可以利用折合力，在此从略）

各星体都可当做一个电中性的粒子.两个星体的封闭系统间相互引力与彼此旋转运动，按引力与离心力平衡，两者必在此确定平面上围绕它们的质量中心彼此旋转运动.两个星体各自质量中心的距离设为：r(2)[1线矢]=r₁[1基矢]+r₂[2基矢]，有：r(2)²=r₁²+r₂²，满足：(r₁/r(2))²+(r₂/r(2))²=1，令：r₁/r(2)=x/a，r₂/r(2)=y/b，即表明是椭圆：(x/a) ²+(y/b) ²=1，设：a为长轴，b为短轴，两粒子(星体)分别处于x轴两端时，即可由质量中心的关系式得到：其长轴/短轴=其小质量/大质量.

几年来部分高考题开始研究双星问题，由于中学生的数学水平有限，为了简化问题，把圆锥曲线运动简化为匀速圆周运动，文献[7]进一步研究了地月双星系统，其实地太系统严格讲也是双星系统，只是由于它们质量差别太大，把太阳按照恒星计算比较简单.

5.天文学中的应用

5.1重新认识日心说和地心说

物理学是研究物质的结构和物质运动即机械运动、热运动、电磁运动和微观运动的科学.物理学家们在探索自然界的物质结构和物质运动形式过程中, 提出了简单性原理，在物理学研究的过程中起到了非常重要的作用，极大的推动了物理学发展.

   创立物理学经典时空观的主要代表人物是波兰天文学家哥白尼、意大利数学家和力学家伽利略以及英国物理学家、数学家和天文学家牛顿.而牛顿的绝对时空观是经典时空观的集中反映.是将对宇宙的认识由“太阳中心说”代替了“地球中心说”.理论上的这一变更，从物理学中运动学的角度说，不过是对太阳系内行星运动描写时，参照系的一个变更（将参照系由地球移向了太阳），从而对太阳系内行星运动的描写极为简单.按哥白尼的描述，各行星均绕太阳沿不同的圆形轨道运动.摆脱了“地心说”中“均轮”、“本轮”那一套复杂的描述.所以只从运动学角度，还看不出“日心说”比“地心说”本质上的优越性.“日心说”显示了以太阳为惯性系描述太阳系内行星运动的优越性，从而展现了宇宙的这一层次——太阳系结构的本来面目，也为牛顿在动力学方面的研究（万有引力定律及牛顿定律的发现）铺平了道路.所以，从物理学的动力学角度说，“日心说”比“地心说”有本质上的区别.“日心说”的缺点是：仍然是宇宙中心论.并承认太阳的绝对静止；行星运动仍沿用了圆形轨道的说法；限于当时的观测及认识，认为恒星不动.哥白尼是将对宇宙的认识由“太阳中心说”代替了“地球中心说”.理论上的这一变更，从物理学中运动学的角度说，不过是对太阳系内行星运动描写时，参照系的一个变更（将参照系由地球移向了太阳），从而对太阳系内行星运动的描写极为简单.按哥白尼的描述，各行星均绕太阳沿不同的圆形轨道运动.摆脱了“地心说”中“均轮”、“本轮”那一套复杂的描述.所以只从运动学角度，还看不出“日心说”比“地心说”本质上的优越性.爱因斯坦在《我的自述》中提出科学法则的客观标准：任何理论，必须符合逻辑法则，必须符合经验事实.

“日心说”显示了以太阳为惯性系描述太阳系内行星运动的优越性，从而展现了宇宙的这一层次——太阳系结构的本来面目，也为牛顿在动力学方面的研究（万有引力定律及牛顿定律的发现）铺平了道路.所以，从物理学的动力学角度说，“日心说”比“地心说”有本质上的区别.“日心说”的缺点是：仍然是宇宙中心论.并承认太阳的绝对静止；行星运动仍沿用了圆形轨道的说法；限于当时的观测及认识，认为恒星不动.

最先受影响的哥白尼总结前人的观测资料提出日心说，结束了神学统治的地心说，解放了人们的思想，科学解释自然规律的思想深入人心.紧接着开普勒从简单性出发，结合弟谷多年积累的观测资料，提出了开普勒三大定律，将抽象的日心说理论利用数学语言表达的形象具体.牛顿认为：“除那些真实而已足够说明其现象者外，不必去寻求自然界事物的其他原因.因此哲学家说，自然界不作无用之事，只要少做一点就成了，多种了却无用；因为自然界喜欢简单化，而不用什么多余的原因以夸耀自己”^[5].牛顿继承了前人的基本思想，坚信自然界习惯于简单性，各类自然现象中有它的内在相似性，自然界总是和谐统一的.并发现了牛顿三大定律，万有引力定律，创立了经典力学.到十九世纪下半叶，马赫提出思维经济原则，即“极小值问题”，是指尽可能通过花费较少的思维对事实作尽可能完善的描述.还有后来马赫的思维经济性原理都对简单性原理做了相应的完善.爱因斯坦在创立相对论时对简单性原理的内涵做了更精确的概括，他认为：“自然规律的简单性也是一种客观事实，而且正确的概念体系必须使这种简单性的主观方面和客观方面保持平衡”.“理论物理学的目的，是要以数量上尽可能少的，逻辑上不相关的假说为基础，来建立起概念体系”建立理论和评价理论的标准………逻辑简单性，是爱因斯坦方法论和认识论的主要思想.

到现代，追求理论的简单性是所有科学家的目标，也是评价科学理论的标准之一.对于启发人们认识自然规律，解释自然规律有重要的指导意义，简单性原理诞生在物理学，发展在物理学，完善在物理学，推动着物理学，在物理学中有非常重要的应用.

宇宙中的二体问题，如果只考虑万有引力，同时忽略其他星体的影响，以质心为参照系都是双星现象，以一个星体为参照系另一个星体的运动轨迹都是圆锥曲线轨道，只有这样才满足万有引力定律的平权性，符合科学的简单性原则.在研究行星运行轨道时，恒星和行星都不是严格的惯性系，以质心为参照系，才可以按照惯性系处理.研究发现，日心往往不与太阳系的质心重合，且偏离太阳系质心的最大距离约为太阳半径的2.15倍^[8].现代物理学研究太阳系运行时把太阳当做惯性系只是近似成立，其实不完全满足万有引力定律的平权性原则，地太系统也应当看做是双星现象.恒星和行星、行星和卫星之间的关系可以看作是双星现象的特例或者说极限情况.

马赫早就说过，“对我来说仅仅存在相对的运动”，“不论认为地球自转，还是认为地球不动而天体旋转，都无关紧要”，“不管是托勒密的观点，还是哥白尼的观点，宇宙的运动完全相同”①（注：①马赫：《力学的科学》，1960年英文版）.在经典力学中日心说与地心说都是正确的，与广义相对论的观点一致，只不过由于太阳的质量远大于行星的质量，其他行星的扰动较小，把太阳按照惯性系计算误差较小，研究行星的运行轨道比较简单，这也是哥白尼的日心说优于地心说的原因.爱因斯坦讲：“如果有一些理论(比如古典力学) 能够在很大程度上妥当地处理经验，可是没有抓住问题的根本，那末我们究竟能不能希望由经验来作我们可靠的指导呢?我可以毫不犹豫地回答:照我的见解，确实有这样一条正确的道路，而且我们是有能力去找到它的.迄今为止，我们的经验已经使我们有理由相信，自然界是可以想象到的最简单的数学观念的实际体现.我坚信，我们能够用纯粹数学的构造来发现概念以及把这些概念联系起来的定律，这些概念和定律是理解自然现象的钥匙.科学早期托勒密和哥白尼之间的激烈斗争也就变得毫无意义”，“‘太阳静止，地球在运动’，或‘太阳在运动，地球静止’这两句话只是关于不同坐标系中两种不同的惯用语而已.”

在太阳系中由于太阳的质量远大于所有行星以及其卫星的质量之和，因此每个行星与太阳组成系统的质心与太阳系的质心相距很近，可以近似认为是太阳的质心以太阳系的质心为一个焦点做椭圆运动.由于太阳系中太阳和行星是双星现象，根据前面的计算可以得出双星运行的轨道始终共面，因此行星始终也和太阳共面——始终在太阳运行的轨道所在的平面上，这样就可以解释为何太阳系中所有行星的运行轨道基本共面这个困扰天文学多年的难题，当然由于每个行星与太阳组成系统的质心不完全重合以及其他行星的扰动等因素，因此行星的运行轨道有一定倾角.有人认为地球的质量太小，和太阳之间不至于形成双星现象，但是太阳的质量只有木星质量的一千倍左右，比所有其他的行星的质量之和大2倍（地球的318倍），这个效应不应当忽略，此时可以把其他星体的引力作为扰动处理.一句话，近似认为行星都在太阳运动的平面内，并且方向同向.正是由于太阳也在运动，我们就不难理解太阳黑子以及太阳辐射的周期性问题.

从亚里士多德到托勒密，人们一直认为地球是宇宙的中心，所有的行星、太阳、月亮以及众恒星都围绕地球运转.托勒密在公元2世纪建立了托勒密的地心说体系，直到哥白尼重建日心说体系，这个体系在西方一直占统治地位.托勒密的地心说不是臆测，也不是先验的武断，更不是巫者的邪说，而是在当时社会历史背景和科学技术条件下，和当时实践水平相适应的理论.首先，托勒密的地心说是对前人思想和学说的总结.在他之前，欧多克索认为地球是万物的中心，提出了太阳、月亮和行星都在同心透明体中绕地球而运转的观点.随后，天文学家阿波罗尼提出了本轮、均轮的概念，用来解释天体和地球距离的变化.稍后的喜帕恰斯又继承了阿波罗尼的本轮、均轮理论，并进一步用偏心圆来解释太阳的不均匀性运动.他还发现了岁差，编制了几个世纪内太阳和月亮的运动表以及一份包括1000多颗恒星位置和亮度的星表.托勒密正是沿着欧多克索、阿波罗尼和喜帕恰斯的道路，并集古希腊天文学的大成，形成了他的完整的地心说体系.其次，托勒密的地心说是建立在他长期观察实践的基础之上的.他不仅继承了前人积累的天象资料，而且自己作了二十多年的辛勤观测，并在此基础上进行了浩繁的计算.因此，在当时的条件下采用地心系来描述天体运动则是很自然的，而且是合乎认识发展逻辑的. 地心说不仅能指导当时的生产实践，而且成为以后科学探索的向导，为发现和建立正确理论起接力和传递作用.托勒密的地心说由于能够对当时观测的天体运动尤其是行星运动作十分精确的说明，能够很好的预测行星的方位，因此在相当长的时期里，地心说被人们广泛地用于航海、编出历书等生产、生活实践.尽管从哥白尼开始，有越来越多的天文学家抛弃了地心体系，但托勒密用来解决具体天文课题的许多方法，在开普勒行星运动三定律发明之前，都始终是天文学家们不可或缺的，连哥白尼本人也不例外.在写完《天体运行论》第一卷后，哥白尼除了运用托勒密所曾经用过的方法进行专门的技术性研究外，没有其他办法.另外，《天体运行论》还大量地明确引述托勒密的观测记录、推导方法和结论，以至于某些历史学家说哥白尼倒退到堪称为“对古代世界体系作微妙处理”的境地.对于托勒密及其地心说，著名的西方古代数理天文学史专家诺伊吉保尔（0.Neugebauer）有过中肯的评价：“全部中世纪的天文学—拜占庭的、伊斯兰的、最后是西方的—都和托勒密的工作有关，直到望远镜发明和牛顿力学的概念开创全新的可能性之前，这一状态一直普遍存在”.

以爱因斯坦之后的现代天文学衡量，历史上的地心说和日心说都是不完备的，伽利略和罗马教皇争论只是坐标原点选择不同.在太阳系范围内，牛顿力学在某一个精度范围内基本实用.但几大行星绕日旋转的轨道并不能那样规则地循环往复.用引力定律处理太阳系是庞大而非常复杂的问题，其间也有混沌现象存在，就是说，蝴蝶效应完全可以发生在太阳系之中.牛顿物理学给出的答案是：地球和太阳都以其共同的引力中心为焦点沿椭圆轨道运动.只不过这个引力中心的位置并不在太阳和地球之间，而在太阳内部，日心说是建立在以同引力中心为静止参照系之上的.所以说简单地说地球绕太阳运动也无不可，但这一说法仍然建立在以同引力中心为静止参照系之上的.牛顿物理学认为：如果以地球为参照系，假定地球静止，那就是太阳绕着地球转.运动是相对的，这个问题不存在绝对正确的答案!玻尔说道：“有决定意义的是认识，不管现象超越经典物理解释的领域多么遥远，所有论证都必须用经典的术语表述出来.”

5.2重新认识行星、卫星的共面性和运动的同向性

从双星运动的轨迹可以得知，行星的公转方向与太阳的公转方向相同，这样就可以解释为何行星的公转方向相同以及大部分行星的公转方向相同(公转方向不相同的金星可能时受到太阳系外其他星体碰撞的影响)这个疑难问题，类似地可以理解卫星运动同向性、轨道共面性等问题.

在对太阳系角动量问题的研究中，人们发现：质量占太阳系质量99.865%的太阳，其角动量只占太阳系总角动量的0.6%以下，而只占太阳系总质量的0.135%的行星、小行星、卫星等，它们的角动量却占了太阳系总角动量的99.4%以上，这称为“太阳系的角动量分布异常”.1755年，德国哲学家康德(Immanuel Kant)首先提出了太阳系起源的星云假说.他认为，太阳系是由原始星云按照万有引力定律演化而成.在这个原始星云中，大小不等的固体微粒在万有引力的作用下相互接近，大微粒吸引小微粒形成较大的团块，团块又陆续把周围的微粒吸引过来，这样团块越来越大，而“天体在吸引最强的地方开始形成”.引力最强的中心部分吸引的物质最多，先形成太阳.外面的微粒在太阳吸引下向其下落时，与其它微粒碰撞而改变方向，变成绕太阳作圆周运动；运动中的微粒又逐渐形成引力中心，最后凝聚成朝同一方向转动的行星.41年后法国著名的数学家和天文学家拉普拉斯（Pierre Simon Laplace）也独立提出了关于太阳系起源的星云假说.与康德的星云说不同之处在于，他认为太阳系是由炽热气体圆盘组的星云形成的.圆盘一旦形成，气体由于冷却马上收缩起来，因此自转加快，离心力也随之增大，于是星云变得十分扁平.在星云外缘，离心力超过引力的时候圆盘便定时地遗弃一些小型的环圈或蒸汽环带，这些形成物由于停止收缩也就脱离了主圆盘.每个独立的环圈通过自身形成一只小型的旋涡而聚合成为一颗行星；而这种气旋的旋转会再产生更小的气体环圈，由此又形成行星的卫星.圆盘的中心部分形成太阳.拉普拉斯举出土星环作为“土星大气的原始范围及其不断凝缩过程的现存证据”.这一解释是符合太阳系的主要特征的.例如：（1）行星运行轨道都接近圆形（近圆性）.（2）行星运行轨道几乎位于同一轨道平面上（共面性），只有水星和冥王星的轨道有较大倾斜.（3）行星公转方向和太阳自转方向都是逆时针的.（4）除金星外行星自转方向和太阳自转方向也是逆时针的.

但星云假说有一个困难，这就是它无法说明太阳系的一个极为重要的特征，即行星和太阳之间的角动量分布极不均匀这一现象.太阳的质量虽然远远超过其体系的其余部分质量的总和，太阳占全系总质量的99.8%，然太阳的角动量居然只有全体系的2%.这一情况的物理含义是，太阳旋转极慢，但拥有全体系98%的角动量而体积却不大的诸行星，竟然在距离中心甚远的地方高速转动着.根据康德-拉普拉斯理论并结合自康德-拉普拉斯之后所获得的补充知识来计算一下太阳的自转周期，就能验证康德-拉普拉斯假说是否正确.天文学家不仅能估计气体云在收缩之前的体积，还可测出所观测星云中气体的自转速度.根据这个估计的体积，自转的观测速度和角动量守恒定律，康德-拉普拉斯理论计算出的太阳的自转周期应在0.5天左右，而实际的观测周期却是26天.理论与观测之间相差竟如此悬殊，是令人无法接受的，因此太阳角动量一定有一种人们至今没有探测到的逃逸方式.

总的来说，世上没有无缘无故的爱，也没有无缘无故的恨.除小样本引起的巧合以外，两个变量之间应该没有无缘无故的高度正相关，也没有无缘无故的高度负相关.高相关（强相关）的背后，要么隐藏着一因一果的因果关系，要么隐藏着一因多果的因果关系，要么隐藏着多因一果或者多因多果的因果关系.科学技术哲学是哲学的重要分支学科.两个变量之间应该没有无缘无故的高度正相关，也没有无缘无故的高度负相关，这可能属于科学技术哲学的研究范畴，科学技术哲学对自然科学的研究具有指导作用.自然科学的研究要自觉接受科学技术哲学的指导，绝对不能拒绝科学技术哲学的指导.如果找到了某个高度正相关或高度负相关，那就要深入研究，追根溯源，顺藤摸瓜，力争找到某个因果关系，尽力破解高相关背后隐藏的物理定律或作用机理.有些自然现象的因果关系比较明显，简单的观察分析就能发现；但有些自然现象的因果关系比较隐蔽，若隐若现藏得比较深，简单的观察分析很难发现，必须借助工具才能发现，相关研究就是这样的工具，大数据领军人物周涛教授的认识是“相关性分析是寻找因果关系的利器”.在高度相关、密切相关基础上，追根溯源，顺藤摸瓜，可能是发现若隐若现的因果关系的捷径.找到了某个高度相关、密切相关以后，就此停步不前，那就过于消极了.如果不再追根溯源，顺藤摸瓜，寻找因果关系，那就有错失良机的可能，那样的话，相关研究的结论不能作为推理预测的依据，不能指导实践，相关研究也就变得毫无意义.

新理论的提出，特别是那些反常识、超出直观经验的理论，在建立初期往往很难被人接受.星云假说无法理解几乎每一个行星的卫星都具有共面性、同向性的问题，不可能都是巧合，爱因斯坦讲：“上帝不掷骰子”，难道就没有一颗行星闯入其他恒星系统，此时为何也是共面的呢？附录3说明经典的星云形成学说未必是正确的.也就是说，行星与它的卫星之间也应当认为是双星现象，例如尽管地月系统的质心在地球上，但是与地球的质心并不重合，应该是地球的质心绕着地月系统的质心运动，选择地月系统的质心为参照系才能直接利用经典力学处理，如果以地球为参照系，月球的惯性质量也应当用地球、月球的折合质量计算.

6.水星近日点的进动

天体力学目前仍以万有引力定律为基础，虽然已发现万有引力定律与某些观测事实有微小差异(如水星近日点进动问题)，用爱因斯坦的广义相对论可以对这些微小差异做出解释，但对天体力学的绝大多数课题来说，相对论效应并不明显.因此在天体力学问题的计算中只是对于某些特殊问题才需要应用广义相对论对万有引力定律计算结果进行改正.如果没有以牛顿力学为基础的天体力学计算出水星近日点进动的主要部分，完全依靠爱因斯坦的广义相对论在目前如果不是不可能恐怕也是很难计算出水星近日点进动的完整结果.笔者认为，只要利用在万有引力定律时考虑到非惯性系问题，在绝对时空观下建立坐标系，或许可以推出类似于广义相对论的效应的问题.

没有其他外力存在时，一个粒子在牛顿有心力的作用下绕着另一个粒子公转的轨道永远是一个不变的椭圆稳定轨道.当有其他外力存在（例如来自其他行星的引力）时，这样的轨道会逐渐发生转动，这种转动（被称作轨道进动）的速率可以被测量得非常精确.如果知道了这些外力的大小和方向，通过牛顿力学也可以对这种轨道进动的速率进行理论预测.

1859年，法国天文学家勒维耶发现水星的实际轨道进动与预期的并不十分相符：即使考虑到太阳系中其他行星的影响，实际的进动速度还是要比牛顿的经典理论稍微快一点.这个误差相当小，大约为每世纪43弧度秒，但这还是要比测量引起的误差每世纪0.1弧度秒大很多.勒维耶立刻意识到他这一发现的重要性，并向更多的物理学家和天文学家寻求解释.在当时提出的一些经典解释包括，行星际尘埃、太阳本身未被观测到的椭球性、水星未被观测到的卫星，甚至假想的水内行星“祝融星”等.在这些解释被一一否决后，有些物理学家提出了更激进的猜想，认为牛顿的引力平方反比律并不严格成立.例如某些人提出定律中的指数并不严格为2，而某些人如亨德里克·洛伦兹提出牛顿的万有引力定律应增加与速度有关的引力势修正项.

（上图是黎卡先生绘制，笔者在网络上下载）

天文科学家们在观查恒星的时候发现有摆动的现象，并因此找到了它的行星;同理太阳受行星影响也会产生运动，即恒星不恒，恒星应该定义为发光的质量相对较大的星体.正是这个运动被忽略，产生了水星近日点进动的问题.水星近日点进动是否由于太阳围绕太阳系质心的运动至今没有人做过研究，笔者建议天文学家和数学家以太阳系的质心为参考系重新进行计算，随着计算机技术的发展，这个问题应该成为可能.

7.双星运行过程中机械能守恒问题

如果引力场不是保守力场，那么无需多久，两个围绕质心运行的双星必然相撞，宇宙中就不会存在着恒久运行的双星.天文观测的结果表明，宇宙中双星的运行十分正常，这一现象足以说明，引力场是一个保守力场.由于万有引力是保守力，因此当物体运动的轨迹是曲线时，只要非保守力做功为0，结论仍成立，即机械能守恒定律成立.如果忽略其它星体的作用，宇宙中星体之间的运动都是双星现象，以一个星体为参照系，另一个星体的运动轨迹都是圆锥曲线，如果另一个星体的质量用约化质量代替，机械能也守恒.下面我们用数学推导一下：

如果星体B绕星体A运行的轨道是严格的椭圆，以星体A为参照系机械能是守恒的，下面推导一下：在极坐标中………（26），………（27），其中、分别表示径向速度和横向速度.由于两个星体都做加速运动，因此星体B应当用它的折合质量（约化质量）.

由椭圆方程得：，两边对时间求导，有：，整理可得：…………………………………………（28）

星体B运动的速度为：

即：…………………………………………（29），这个结果中只有是变量，其它都是常数，特别是为常数.这表明：时，v是增函数，v随的减小而增大；时，v是减函数，v随的增大而减小.实际上，由于，所以上面的结果也可以用r来说明：时，v是增函数，v随r的减小而增大；时，v是减函数，v随r的增大而减小.由动能的表达式及（29）式可知：…………………（30）

椭圆面积：…………（31），其中a、b分别表示椭圆的长轴和短轴，对椭圆方程来说，当时，…………（32），当时，………………………（33）

如图1所示，用红色的线段来表示，用绿色的线段来表示.可知：……………………（34）

由（32）（33）（34）可得：…………………（35），…………………………………（36）

将（35）（36）式代入（31）式可知：……………（37）

掠面速度，从而有： …………………（38）

将（38）式代入（30）可知：

上式中最后一个因子出现在Kepler第三定律中，我们知道，它是一个常数(高斯常数应修正为G(M+m))，在这里我们用k来表示这个值.有：…………………（14），另外，由，代入（39）式有：……………………（40）

我们采用传统的方法规定零势能点，即规定无穷远处势能为零.有：

……………………（41），将代入上式可得：………………（42），由（39）（42）两式可得星体B运动中的机械能总量.

即：……………（43）.这个结果说明，星体B运动过程中机械能守恒.科学家在庞杂的经验事实中间抓住某些可精密公式来表示的特征，由此探求自然界的原理.海森堡认为：“物理学中的任何实验,不管它是关于日常生活现象的,或是有关原子事件的,都是用经典物理学的术语来描述的.经典物理学的概念构成了我们描述实验装置和陈述实验结果的语言.我们不能也不应当用任何其他东西来代替这些概念.然而，这些概念的应用受到测不准关系的限制.当使用这些概念时，我们必须在心中牢记经典概念的这个有限的适用范围，但我们不能够也不应当企图去改进这些概念.”

参考文献：

1.爱因斯坦.相对论的意义[M] .北京: 科学出版社，1961. 16.

2.福克B A.空间、时间和引力理论[M].北京: 科学出版社， 1965. 19.

3.爱因斯坦  相对论：相对论的本质[A].爱因斯坦文集[C]，北京：商务印馆，1976.455.

4.普通物理学  程守洙、江之永编  王志符、朱泳春等   高等教育出版社   1982年版.

5.漆安慎、杜婵英主编  《普通物理学教程.力学（第3版）》 高等教育出版社  2012年12月版.

6.高炳坤.比萨斜塔实验趣谈.《大学物理》，2011（30）10:20～21.

7.王文涛，张凤莲.对2010年高考题中“地月双星系统”的进一步探究.物理通报，2011（1）：65.

8.刘凤收，李爱云，张兴坊.太阳系质心参考系中日心运动规律的研究.大学物理，2015（1）: 23～25.

Study of orbit of double-star

Li Xue-sheng

（School of Physics，Shandong University，Jinan，Shandong 250100）Abstract:the thesis firstly treats the relative motion of double-star as motion issue of two separate objects. Once taking one star of the double-star as frame of reference， we result in the orbit of the other star is taper curve. If we just take mass center of system as frame of reference， we consequently result in both orbits of the double-star are taper curves. And finally， we arrive at our conclusion that relative motion situation between related planets and star are too in double-star model， even the earth and the moon are double-star too. This of course gives demonstrative answers to issues of coplanarity and uniform orientation of planet revolution orbits around star， which virtually puzzled modern physics and astronomy many years. And of course， it is still necessary to point out herein， when we come to study planet obit， the planet mass in calculation should be the conduplicate mass.

Key words:double-star phenomena，equivalent quality，orbit coplanarity  of planet，uniform orientation of planet revolution orbit， affirmative law of universal gravitation

附录1：行星运动同向性，轨道共面性，公转周期超时性

行星公转运动的同向性：八大行星公转运动的方向都与太阳的自转方向相同.这一现象称为行星公转运动的同向性.(详见下表)

行星轨道的共面性：八大行星公转运动的轨道面几乎都在一个平面上（该平面与太阳自转的赤道面夹角很小）.这一现象称为行星轨道的共面性.(详见下表)

八大行星的公转周期都大于太阳的自转周期——超时性(太阳的自转周期:赤道处是25天，高纬度处是35天). (下表).

行星运动同向性，轨道共面性，公转周期超时性

   现代天文学认为月亮绕地球转动的方向和地球的自转方向相同，八大行星都在接近同一平面的近圆形的椭圆轨道上，朝同一方向绕太阳公转，即行星的轨道运动具有共面性、近圆性和同向性，只有水星，稍有偏离.太阳的自转方向也与行星的公转方向相同.

                             （图8）

土星奇妙的盘状圆环.环薄得令人难以置信，直径数十万公里，厚度仅100米.用唱片来形容土星环很形象.它们由几十亿块冰块组成，排列在行星重力轨道内，每一块都是一颗小卫星.

（图9）

我们再看一下我们银河系的概貌

（图10）

                                     (图11)

附录2：卫星的公转运动的同向性、共面性

1、卫星的公转运动的特征：大部分（约占总数的80%）卫星的公转运动也具有同向性，共面性和超时性.(1)水星，金星：自转很慢，没有卫星.(2)地球：仅有月球一颗卫星，月球绕地球公转方向与地球自转方向一致，公转周期是27天7小时43分，大于地球自转周期.（3）火星：火卫一绕火星公转方向与火星自转方向一致，公转周期是7小时39分，小于火星自转周期.火卫二绕火星公转方向与火星自转方向一致，公转周期是1.263天，大于火星自转周期.(详见表1)

表1 月球和火星的卫星

 2、木星： 由表2可以看出：木星共有十六颗卫星，12颗卫星以木星的自转方向绕木星作公转运动；十四颗卫星绕木星作公转运动的周期大于木星的自转周期；只有2颗小卫星绕木星作公转运动的周期小于木星的自转周期；4颗小卫星绕木星作逆向公转运动；较大的卫星绕木星作公转运动都具有同向性，共面性，超时性.

   表2   木星的卫星

 (3) 土星：土星的自转周期0.426天， 由表3可以看出：土星共有(有资料齐全)十七颗卫星，其中有16颗卫星以土星的自转方向绕土星作公转运动，它们都具有同向性，共面性，超时性——为规则卫星；只有土卫九这颗小卫星绕土星作逆向公转运动.

表3：土星——卫星系

         （4） 天王星： 天王星的自转周期0.746天

表4：天王星——卫星系

由表4可以看出：天王星共有十五颗卫星，都以天王星的自转方向绕天王星作公转运动；较大的卫星绕天王星作公转运动的周期大于天王星的自转周期；九颗小卫星绕天王星作公转运动的周期小于天王星的自转周期；较大的卫星绕天王星作公转运动都具有同向性、共面性、超时性.

（6）海王星：海王星的自转周期0.8天，共有八颗卫星，其中七颗以海王星的自转方向绕海王星作公转运动；较大的卫星海卫一绕海王星作逆向公转运动；五颗小卫星绕海王星作公转运动的周期小于海王星的自转周期；大部分的卫星绕海王星作公转运动都具有同向性、共面性.

表5：海王星——卫星系

据英媒2017年10月31日报道，天文学家发现了一颗“巨型行星”NGTS-1b绕着一颗遥远而微弱的矮星做轨道运动，让他们惊讶不已.因为在理论上，这颗行星不应该存在.天文学家发现一颗“巨型行星”NGTS-1b绕着一颗遥远而微弱的矮星做轨道运动，让他们惊讶不已.据报道，这颗行星的发现挑战了一个长期存在的理论，即这个约为木星大小的行星，不可能在一颗如此小的恒星附近形成.据悉，行星NGTS-1b的半径约为其做轨道运动的恒星的四分之一.相比之下，木星的半径只有太阳的十分之一.据报道，行星NGTS-1b和恒星距离地球约600光年，位于天鸽座中.英国皇家天文学会在一份声明中表示，根据理论，小恒星附近能形成岩态行星，但不能聚集足够的物质来形成木星般大小的行星.通常，行星被认为是由巨大的宇宙爆炸遗留的气体和尘埃形成，这些物质会在新生行星周围的星盘上盘旋，最终形成一颗行星.

行星NGTS-1b是由位于智利北部阿塔卡马沙漠的“下一代凌星巡天”(NGTS)发现，随后欧洲南方天文台拉西亚天文台也观测到了此行星.据报道，行星NGTS-1b是由位于智利北部阿塔卡马沙漠的“下一代凌星巡天”(NGTS)发现，随后欧洲南方天文台拉西亚天文台也观测到了此行星.据悉，该观测项目的名称为NGTS-1，这颗行星也因此被命名为NGTS-1b.“b”代表它是在这颗恒星周围发现的第一颗行星.这项调查使用了由12个望远镜组成的阵列，来观测天空并探测恒星发出的光线是否变暗，若从地球上观测到恒星光线变弱，就表明一颗行星正运动至这个恒星与地球之间.这项研究的首席作者、英国华威大学的贝利斯表示，NGTS-1b的发现对我们来说完全是一个惊喜，此前在我们的认知中，围绕这么小的恒星做轨道运动的巨大行星，是不存在的.贝利斯的同事惠特利说：“虽然NGTS-1b是一个巨型行星，但它很难被找到，因为它所围绕的恒星很小，发出的光线很微弱.”据该研究小组表示，这颗行星所围绕做轨道运动的恒星被称为“M矮星”，是宇宙中最常见的恒星类型，这意味着未来可能会有更多的巨型行星被发现.据悉，这项研究被发表在科学杂志《皇家天文学会月刊》上.

附录4：现代宇宙学中几个问题

1.表达物理世界特征的所有（可测量的）无量纲参数原则上是否都可以推算，或者是否存在一些仅仅取决于历史或量子力学偶发事件，因而也是无法推算的参数？爱因斯坦的表述更为清楚：上帝在创造宇宙时是否有选择？想象上帝坐在控制台前，准备引发宇宙大爆炸．“我该把光速定在多少”？“我该让这种名叫电子的小点带多少电荷”？“我该把普朗克常数--即决定量子大小的参数--的数值定在多大”？他是不是为了赶时间而胡乱抓来几个数字？抑或这些数值必须如此，因为其中深藏着某种逻辑？

2.为什么宇宙常数有它自身的数值？它是否为零，是否真正恒定，还是具有动力学特征？直到最近，宇宙学家仍然认为宇宙是以一个稳定的速度在膨胀．但最近的观察发现，宇宙可能膨胀得越来越快．人们用一个叫宇宙常数的数字来描述这种轻微的加速．这个常数是否如人们早期所认为的是零，或者是一个非常小的数值，物理学家现在还无法做出解释．根据一些基本计算，这个常数应该很大--是我们观测结果的大约10到122倍．换句话说，宇宙应该以跳跃般的速度在膨胀．而实际情况并非如此，肯定有什么机制在压制这种作用．如果宇宙真是超对称性的，那宇宙常数就该被完全抵消掉．但这种对称性--如果确实存在的话--看来已经破灭．如果这个常数随时间的变化而变化的话，那情况就更加复杂了．

   3.宇宙中为什么存在2.73K微波黑体背景辐射？它是由什么东西组成的？

 既然质量较大的中子星必将导致引力塌缩形成黑洞，黑洞缩小时引力塌缩又必将导致引力势能趋于无穷大，也就是黑洞质量必将趋于无穷大.由此必将导致引力场强度、引力作用范围都趋于无穷大的“发散”现象.那为什么我们发现的所有星系中央星系核内都有巨大质量的黑洞，却从未见到质量、引力场强度、引力作用范围的“发散”现象？

4.既然我们已经知道所有的星系都是由大团星云收缩形成的.那么，从宇宙热大爆炸充分膨胀扩散形成稀薄的超大团星云，到星云分裂收缩成星系的过程中，密度和万有引力场又该是如何变化的？为什么有的形成椭圆星系，有的形成旋涡星系，有的又形成棒旋状的星系呢？星系的旋臂是怎么形成、演化的？整个星系在形成、演化过程中，是逐渐收缩的？还是逐渐扩散的？

5.现在天文学界一致认定宇宙年龄约138亿年.该年龄是指恒星年龄、古老球状星团表面恒星年龄、星系核中央黑洞的年龄、还是整个星系的年龄？宇宙中占90%以上的暗物质到底是什么东西？它们算不算宇宙中的主要成员？这90%以上的暗物质年龄又是多少？宇宙种子磁场的来历是什么？

6.恒星、行星的形成：天体的形成是天体物理学中的重要问题.适合生物存在的行星，在银河系中出现的几率到底是多少？

7.对于宇宙学家、圆周研究所主任尼尔·图罗克（Neil Turok）来说，让他无法入睡的问题则是世间一切的起始——大爆炸.在宇宙创生之时，它处于温度和密度都无穷大的状态——奇点，所有已知的物理定律在那时都会失效.“我们不知道该如何描述它，”他说，“任何一个囊括所有物理的理论怎么能不包含它？”为了避免宇宙创生的奇点，他参与提出了“火劫”理论.这一理论认为，我们所处的世界是至少10维的宇宙中的一张低维膜，两个分立的三维膜会沿着垂直的维度前后震荡.每一万亿年左右，这两个膜就会彼此靠近并且碰撞，碰撞会释放出一个火球进而使得每个宇宙“重生”.同时，图罗克还寄希望于弦理论以及相关的“全息原理”.根据全息原理，一个三维的奇点可以被转换为二维空间中一个在数学上更容易处理的东西.这也许意味着第三维和引力只不过是一种“幻影”.他说：“这些工具给我了一条思考这一问题的新途径，并且它在数学上非常让人满意.”

8.按爱因斯坦引力场方程计算，细圆环和双球体引力场中心会出现奇点，表明时空奇异性是采用弯曲坐标的描述方法引起的，不是自然本性.所谓奇异性黑洞、白洞和虫洞以及时间旅行等在自然界中都是不存在和不可能的.

9.Alpha粒子（氦核）是一种稳定性非常高的粒子，即使在核爆炸中也是稳定的.背后是否存在更本质的内涵？

10.重子哪里去了？重子是一种能构成特殊物质的颗粒，但出于某些原因，当研究人员把暗能量、暗物质相加并把其它归于重子时，研究者所得的结果竟不是100%.

    11.为什么恒星会爆炸？自宇宙大爆炸后数十万年，电子被从原子上剥离，是什么使宇宙再电离？各种能量充沛的宇宙射线的源头是什么？尽管地球的大气层能帮助我们抵挡住大多数宇宙射线，但我们每天仍会受到这些射线的“轰击”.

12.为什么我们的太阳系如此独特？我们所在的太阳系是按照逻辑逐步形成的，还是误打误撞罢了？为什么日冕那么热？日冕是太阳的最外层部分，但其温度之高仍超乎想象.