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正确理解惯性系的概念

摘要：首先牛顿力学里的绝对空间以及物理学家对于惯性系的困惑，然后说明实验因素对于惯性系的能量和动量的影响忽略，最后阐述了笔者对于惯性系的认识.

关键词：惯性系；惯性力；非惯性系；困惑；主要因素

中图分类号：O 313.1   文献标识码：A

1.牛顿力学里的绝对空间

牛顿的绝对时空概念，只是牛顿对时空的一种数学抽象，这从“绝对的、真正的和数学的时间自身在流逝着，”可以十分明显地看出.其中‘数学’二字表明牛顿怕别人误解而特意指明绝对时间是一种数学的抽象.牛顿的相对时空概念，是整个牛顿力学体系中的不可分割的组成部分.牛顿认为：“相对空间是绝对空间的可移动部分或量度，我们的感官通过绝对空间对其他物体的位置而确定了它，并且通常把它当作不动的空间看待.如相对于地球而言的地下，大气，或天体等空间就都是这样来确定的.”可见，牛顿的相对空间概念与我们今天的相对空间概念，没有什么不同.牛顿清醒地认识到，我们周围的空间都是相对空间.牛顿还深刻地认识到，相对空间是表观的，在表观的相对空间的背后或内部，隐藏着真正的空间，这就是绝对空间.

从牛顿力学的基本定律和概念出发，就一定要求有一个相对的实际可用的时空概念.物体的位置移动，就要求空间“空”；物体的静止，就要求空间保持相对的“不动”；物体的匀速运动，就要求空间“平直”、“均匀”；而且还要求时间相对的均匀，没有太明显的快慢节奏.反过来，只有相对时间和空间概念才能保证牛顿力学规律的有效性和可操作性.在牛顿的力学定律（包括惯性定律）的表达里没有明确指明，所谓“静止”、“匀速直线运动”和“运动状态的改变”是对什么参考物体而言的，只要具体情况具体指定就可以.在牛顿力学中“力”是物体间的相互作用，这是与参考物体有关的，运动状态及其改变的参考物体就是原参考物体.牛顿完全了解自己理论中存在有一些薄弱环节，他的解决办法是引入一个客观标准——绝对或相对空间，用以判断各物体是处于静止、匀速运动，还是加速运动状态.

牛顿承认，区分特定物体的绝对运动（即相对于绝对空间的运动）和相对运动，也非易事.不过，牛顿是一个经验论者，他不能容忍在他的体系中存在先验的观念.他认为，物理的实在必须是能被感知的.那么，如何来感知他所规定的“绝对空间”呢?牛顿设计了一个理想实验，用来判断哪些运动是相对于绝对空间的绝对运动.这就是著名的水桶实验，见前面的文章——运动的绝对性与相对性.

绝对空间在哪里？牛顿曾经设想，在恒星所在的遥远的地方，或许在它们之外更遥远的地方.他提出假设，宇宙的中心是不动的，这就是他所想象的绝对空间.从现今的观点来看，牛顿的宇宙的中心是不对的，因为宇宙没有中心.不过，牛顿当时清楚地意识到，要想给惯性原理以一个确切的意义，那就必须把空间作为独立于物体惯性行为之外的原因引进来.爱因斯坦认为，牛顿引入绝对空间，对于建立他的力学体系是必要的，这是在那个时代“一位具有最高思维能力和创造力的人所能发现的唯一道路”.

爱因斯坦看到牛顿力学是建立在绝对空间概念基础上的，空间（也含时间）在牛顿力学那里起着双重的作用，“首先，它们起着物理学中所出现的事件的载体或者构架的作用，事件是参照这种载体或构架用空间坐标和时间来描述的.原则上，物质被看作是由‘质点’所组成的，质点的运动构成了物理事件.……空间的第二个作用是作为一种“惯性系”.此惯性系之所以被认为比一切可想象的参照系都优越，就是因为对它们来说，惯性定律必定是成立的.牛顿完全清楚地认识到，在他的体系中，空间和时间正如同质点一样是实在的东西.因为如果人们除了物体之外，不承认空间和时间也是实在的东西，那么惯性定律和加速度概念就完全失去了意义.‘加速’只不过是意味着相对于空间的加速.牛顿物理学的特征在于它不得不认为空间和时间象物质一样，都是独立而实在的存在，这是因为在牛顿运动定律中出现了加速度的观念.但是，在这理论中，加速度只能指‘对于空间的加速度’，为了使人们能把那个出现在运动定律中的加速度，看作一个具有任何意义的量，牛顿的空间因而必须被认为是静止的，或者至少是‘非加速’的.对于时间也差不多一样，时间当然也同样进入加速度概念里.说一定要认为空间本身和它的运动状态都同样具有物理实在性，对此，牛顿自己和他同时代的最有批判眼光的人都是感到不安的；但是，如果人们要想给力学以清晰的意义，在当时都没有别的办法.当牛顿说空间是绝对的时候，他无疑是指空间的这种实在的意义，这使他必须把一种完全确定的运动状态加给空间，而这种运动状态看来是不能由力学现象完全确定下来的.”

当代的物理教科书在讲牛顿力学时，为避免“绝对空间”的提法，都采用“惯性参考系”的概念.据考证，这想法是德国物理学家朗格（L.Lange）提出的.在牛顿力学的框架中，给惯性系下的定义是惯性定律在其中成立的一类参考系，即在此类参考系中，一个不受外力作用的物体总是作匀速直线运动的.若要再问，怎样知道一个物体没有受到外力呢？在一个参考系中，只要某个物体符合惯性定律，则惯性定律将对其它物体成立.我们把惯性参考系定义为“对某一特定物体惯性定律成立的参考系”，从这里我们再次看到，惯性不是个别物体的性质，而是参考系，或者说，时空的性质.用“惯性参考系”替代“绝对空间”，只是回避了牛顿力学的困难，但是并没有真正解决问题.这样，在牛顿力学的框架里，我们必须严格地区分“惯性”和“非惯性”两类参考系，在惯性参考系内，惯性定律和其它牛顿力学定律成立；在非惯性参考系内，牛顿三定律不成立.在所有惯性参考系之间，伽利略相对性原理成立，从而它们都是平权的.在非惯性参考系内则会出现一些“反常”现象.在普利高津看来，在近代科学的经典——牛顿力学中，时间作为一个描述运动的参数，是反演对称的，把t换为-t有相同的结果，这意味未来和过去看来没有实质性的区别.用时间的纯粹性很容易解释这一点：在牛顿力学中，物理定律是客观的，时间是纯粹的，纯粹的时间与客观的物理定律不发生直接的关系，既然如此，用-t替换t当然不会改变物理定律的形式.

我们知道，在火车上会产生这样一种有趣的景象：顺着火车运动的方向，近处的物体相对于远处物体在倒退，远处的物体则相对于近处物体在前进.也就是说，近处的物体相对于远处物体有一个向后的位移，同样地，如果地球真的在运动，在地球轨道半径两端，就应该看到比较近的恒星相对于比较远的恒星有一个位移.这种现象在天文学上叫做视差位移，也就是地球轨道半径在该恒星处的张角.称为恒星的视差.恒星的视差很小，只有零点几个角秒.一直到十八世纪，终于测出了恒星的视差，证实了地球确实是在绕太阳转动着.这也就是人们测到了地球真的是在绕太阳转动.

因为人的眼睛所看到的物体的大小与物体和人的距离有关.同一个物体越远看起来就越小.如果物体在无穷远处，物体的大小就退缩成一点，物体运动的任一距离也退缩成一点，不难想象物体运动的速度永远为0，因此，无穷远坐标系就是一个绝对不动的坐标系.其实.天文上的恒星坐标系就是一个近似的绝对坐标系.同样地，我们完全可以把无穷远的天球看成是一个绝对不动的空间——绝对空间.

同样地，时间的精度也在不断地提高.第一台铯原子钟的发明，使得时钟的误差从摆钟的每天千分之一秒、石英钟的每天万分之一秒，精确到30万年不超过一秒.在大多数人眼里，一秒钟只不过是时钟“滴答”一下.但是，对于许多实验物理学家来说，看似简单的“滴答”一下却是一个漫长的过程：铯原子在能级跃迁时要振荡9192631770次.相应的一秒钟精度，也就到了小数点后第9位.美国国家标准与技术研究所(NIST)和位于法国巴黎的国际标准局(BIMP)对时间的控制，实际上已经达到1亿年误差不超过1秒钟的水平.如果采用更高更稳定的可见光频率来计时，与每秒高达10¹⁴的光学振动相比，原子的10^９振动频率差了5个数量级.而伽玛射线的上限频率目前还未发现.我们以后得到的时间精度会更高.

20世纪初相对论问世后，对牛顿时空观的批判纷至沓来，人们重新把牛顿的绝对时空观与同时代的莱布尼兹的观点比较（与牛顿同时代的莱布尼兹反对牛顿将时空观视为独立于物质和运动的绝对的东西.他甚至颇有远见的指出：“没有什么空间是没有物质的，以及空间本身不是一种绝对实在.空间和物质的区别就像时间和运动的区别一样.可是，这些东西虽有区别，却是不可分离的.”），激烈的抨击牛顿的时空观说：“牛顿的时空观是一种典型的形而上学的时空观，……莱布尼兹……对他的批判充满了辩证法的精神.”

牛顿声称自己研究的运动是在‘绝对空间’和绝对时间中进行的‘绝对运动’，因而在他看来，第一定律应在‘绝对空间’成立.”^[3].1883年马赫出版了他的《力学及其发展的批判历史概论》，对牛顿《原理》中一些重要的力学思想，进行了影响极其深远的批判.马赫批判说：“牛顿再次违背了他表达的仅仅研究实际事实的意图.没有一个人有能力断定关于绝对空间和绝对运动的东西……我们的一切力学原理都是关于物体的相对位置和相对运动的经验知识”；“通过……旋转水桶讨论，他[牛顿]确信能够证明绝对运动”；牛顿“使惯性定律参照特殊的绝对空间是不必要的”；“‘绝对运动’是一种毫无内容的、不能在科学中使用的概念”；“牛顿使全部力学参照绝对空间”！ 爱因斯坦强调：“如果人们从相对运动这概念出发，那么在牛顿运动方程中出现的加速度就难以理解了.这迫使牛顿想出一种物理空间，假定加速度是相对于它而存在的.为此特意引进绝对空间概念”.爱因斯坦还强调：牛顿“已经认识到，可观察的几何量（质点彼此之间的距离）和它们在时间中的进程，并不能从物理方面完备地表征运动.他以著名的旋转水桶实验来证明这一点.因此，除了物体和随时间变化的距离以外，还必须有另一种决定运动的东西.他认为，这种‘东西’就是对于‘绝对空间’的关系.”

北师大赵峥教授在《广义相对论基础》中告诉我们：“牛顿认为……只有相对于绝对空间的加速才是真加速……通过水桶实验，牛顿论证了绝对空间的存在.”

北大赵凯华教授在《力学》中告诉我们：“牛顿力学的理论框架本身并不能明确给出什么是惯性系……他的解决办法是引入一个客观标准——绝对空间，用以判断各物体是处于静止、匀速运动，还是加速运动状态.”

爱因斯坦1920年已经意识到了自己原先对绝对空间的误解，因此才会说：“牛顿同样也可以恰当地把他的绝对空间叫做以太；问题的实质就在于为了能够把加速度和转动都看做是某种实在的东西……还必须把另一种不可察觉的东西也看做是实在的.”

据中国科学院自然科学史研究所阎康年研究员考证：【在马赫（对“绝对空间”）的批判之后两年，德国物理学家朗奇（L.Lange）在1885年发表的《论伽利略惯性律的科学结构》一书中，从物理概念的基础寻找消除绝对空间概念的方法.这个方法是用惯性系取代绝对空间，将牛顿力学体系建立在惯性系的基础上，从而使牛顿的力学定律在‘消除’绝对空间的条件下，仍能保持其全部物理意义.他的这种观点在随后几年中，被物理学界广泛认为是对物理基础的卓越贡献，并被认为是摆脱19世纪牛顿力学遇到佯谬局面的良策.】

2.物理学家对于惯性系的困惑

教科书上定义：“惯性定律成立的参考系，为惯性参考系，简称惯性系.”并告诫我们：“牛顿定律只有在惯性系中才成立.”奇怪的是在牛顿的全部著作中，却找不到惯性系这个概念！爱因斯坦说：“究竟是否存在一个惯性系的问题，直到现在还无法决定.”^[4] 北京师范大学物理学院赵峥教授也不解：“狭义相对论的整个理论都建立在惯性系的基础上，但是我们却无法定义或找到一个惯性系.……惯性力不是起源于物质之间的相互作用，因而没有反作用力，这个特点至今仍然使人感到迷惑”.^[2] 被公认为爱因斯坦之后最睿智的理论物理学家费曼则哀叹：“没有人找到为什么物体会按惯性而行的原因.我们不知道惯性定律的来源.”^[5]

中国科学院理论物理所郭汉英研究员认为：“作为一个理论体系，牛顿理论并没有完成……惯性在牛顿体系中起着核心作用，其起源却无法解决.”^[6]爱因斯坦在为雅莫的《空间概念》写的前言中认为，“如果给古典的惯性原理以确切的意义，就必须把空间作为物体惯性行为的独立原因引进来.”^[7]

爱因斯坦还指出：牛顿“已经认识到，可观察的几何量（质点彼此之间的距离）和它们在时间中的进程，并不能从物理方面完备地表征运动.他以著名的旋转水桶实验来证明这一点.因此，除了物体和随时间变化的距离以外，还必须有另一种决定运动的东西.他认为，这种‘东西’就是对于‘绝对空间’的关系.”^[8] 爱因斯坦认为， 牛顿引入绝对空间， 对于建立他的力学体系是必要的，这是在那个时代“ 一位具有最高思维能力和创造力的人所能发现的唯一道路.”

北大赵凯华教授剖析：“牛顿力学的理论框架本身并不能明确给出什么是惯性参考系.牛顿完全了解自己理论中存在的这一薄弱环节，他的解决办法是引入一个客观标准——绝对空间，用以判断各物体是处于静止、匀速运动，还是加速运动状态.在牛顿力学的框架里， 我们必须严格地区分“惯性”和“非惯性”两类参考系.在惯性参考系内，惯性定律和其它牛顿力学定律成立；在非惯性参考系内，牛顿三定律不成立.在所有惯性参考系之间，伽利略相对性原理成立，从而它们都是平权的.”^[9]复旦郑永令教授指出：“牛顿“第一定律定义了惯性系.

根据惯性系的定义——惯性定律在其中成立的参考系为惯性系.那么，要确认一个参考系是否为惯性系，就必须先判断其中的惯性定律是否能成立，而判断惯性定律是否成立，又必须在惯性系中才能进行.P.G.柏格曼在《相对论引论》一书中曾指出：“我们对惯性系的最终定义实际上可能是：惯性系是相对于整个宇宙物质具有零加速度的参照系.”

爱因斯坦在《物理学的进化》中不惜笔墨论证了：“惯性系”概念只是一个同语反复的“虚构”！

【“惯性系是什么？”

“它是力学定律在其中行之有效的一个坐标系.在这样的一个坐标系中，一个没有受外力作用的物体总是作匀速直线运动的.这种性质使我们能把惯性坐标系和其他任何坐标系区别开来.”

“但是所谓没有力作用于物体上，究竟是什么意思呢？”

“这只是说物体在惯性坐标系中作匀速直线运动.”

于是我们又可以再问一次，“惯性系是什么？”但是由于很少有希望得到一个与上不同的答案，我们不如把问题改变一下，或许可以得到一些具体的知识：

“一个严密地与地球相结合的坐标系是一个惯性坐标系吗？”

“不是，因为由于地球的转动，力学定律在地球上不是严格地有效的.在许多问题上，我们可以把严密地结合于太阳的坐标系看作是一个惯性系；但是我们有时也说到太阳的转动，可见严密地结合于太阳的坐标系，严格地说也不是一个惯性坐标系.”

“那么，具体地说，什么才是你的惯性坐标系呢？而且怎样选择它的运动状态呢？”

“这只是一个有用的虚构，我也想不到怎样去实现它.只要我能够远离一切物体，而且使我不受任何外力的影响，我的坐标系就会是惯性的.”

“但是你所谓免除所有的外界影响的坐标系又是什么意思呢？”

“我的意思是说那个坐标系是惯性的.”于是我们又回到那原来的问题上来了.

我们的会谈显示出经典物理学中的一个严重的困难.我们有定律，但是不知道它们归属于哪一个框架，因此整个物理学都好像是筑在沙堆上一样.】^[10]

爱因斯坦认为：“惯性原理的弱点在于它会有这样一种循环论证：如果一个物体离开别的物体都足够远，那么它运动起来没有加速度；而只有由于它没有加速度这一事实，我们才知道它离开别的物体是足够远”^[11].

1913年6月25日爱因斯坦写信给马赫:明年日食时将会证明，以参考系的加速度同引力场等效为基拙的基本假设是否真正站得住.果真如此，则您对力学基础所作的贴切研究，将不顾普朗克不公正的批评而得到光辉的证实.因为完全按照您对牛顿水捅实验的批判，一个必然的后果是: 惯性来源于物体的一种相互作用.这里的第一个推论写在我文章的第6页上，再补充二点:(l)如果加速一个很重的物质壳层，则包含在此壳层里的质量会受到一个加速的力.(2)如果相对于恒星围绕中心轴旋转此壳层，壳内将产生一个科里奥利力，亦即傅科摆的摆面将被曳引( 实际上曳引的角速度小得无法测量).爱因斯坦在为M.雅梅的《空间概念》所作的<序>中进一步明确指出：【战胜‘惯性系’概念之所以成为可能，只是因为‘场’的概念逐渐代替了物质客体的概念，而成为物理学的基本概念.】

爱因斯坦以有名的假想实验——爱因斯坦电梯为例，对惯性力的本质提出了新的解释.观测者位于电梯内，电梯以加速度g向上提升，电梯内观测者看到电梯空间内所有物体都以加速度g向下做自由落体运动.这时观测者认为有二种可能：一是他所在的电梯以加速度g向上运动，使所有物体以同样加速度向下相对运动；另一种可能是电梯静止，但他所在的空间存在一个重力场，该场使电梯内所有物体向下做自由落体运动.对于电梯内的观测者来说，由于这二种原因导致同样的运动结果，即电梯内所有物体都以同样的加速度g向下运动，故他无法判断到底是电梯在加速还是周围存在一个重力场.正是基于以上理由，爱因斯坦提出了作为广义相对论基石的第一个原理，即等效原理：惯性力场与重力场的动力学效应是局部不可分辨的.

3.伽利略变换及其性质

常期以来,时间绝对性和杆长绝对性在人们认识上是根深蒂固的,在物体运动速度远小于光速的牛顿力学范围内,实验或观测不会对这些观念提出挑战.如果不是因为在解释与光速有关的实验结果发生困难；如果不是因为电磁场方程不满足伽利略变换下的形式不变,人们是不会轻易放弃这些假定的.

如所周知,伽利略-牛顿力学的基本定律（称为惯性定律）可以表述如下：一物体在离其他物体足够远时,一直保持静止状态或保持匀速直线运动状态.这个定律不仅谈到了物体的运动,而且指出了不违反力学原理的、可在力学描述中加以应用的参考物体或坐标系.相对于人眼可见的恒星那样的物体,惯性定律无疑是在相当高的近似程度上能够成立的.现在如果我们使用一个与地球牢固地连接在一起的坐标系,那么,相对于这一坐标系,每一颗恒星在一个天文日当中都要描画一个具有莫大的半径的圆,这个结果与惯性定律的陈述是相反的.因此,如果我们要遵循这个定律,我们就只能参照恒星在其中不作圆周运动的坐标系来考察物体的运动.若一坐标系的运动状态使惯性定律对于该坐标系而言是成立的,该坐标系即称为“伽利略坐标系”.伽利略-牛顿力学诸定律只有对于伽利略坐标系来说才能认为是有效的.（摘自《浅说》第4节、伽利略坐标系的全文）

在物理学中几乎没有比真空中光的传播定律更简单的定律了,光在真空中沿直线以速度c=300,000公里／秒传播.无论如何我们非常精确地知道,这个速度对于所有各色光线都是一样的.因为如果不是这样,则当一颗恒星为其邻近的黑暗星体所掩食时,其各色光线的最小发射值就下会同时被看到.荷兰天文学家德西特根据对双星的观察,也以相似的理由指出,光的传播速度不能依赖于发光物体的运动速度.关于光的传播速度与其“在空间中”的方向有关的假定即就其本身而言也是难以成立的.总之,我们可以假定关于光（在真空中）的“速度=c”是恒定的这一简单的定律已有充分的理由为学校里的儿童所确信.谁会想到这个简单的定律竞会使思想周密的物理学家陷入智力上的极大的困难呢？让我们来看看这些困难是怎样产生的.当然我们必须参照一个坐标系来描述光的传播过程.我们再次选取我们的路基作为这种参考系.如果沿着路基发出一道光线,根据上面的论述我们可以看到,这道光线的前端将相对于路基以速度c传播,现在我们假定我们的车厢仍然以速度v在路轨上行驶,其方向与光线的方向同,不过车厢的速度当然要比光的速度小得多.我们来研究一下这光线相对于车厢的传播速度问题.显然我们在这里可以应用前一节的推论,因为光线在这里就充当了相对于车厢走动的人.人相对于路基的速度W在这里由光相对于路基的速度c代替.W是所求的光相对于车厢的速度.我们得到：W=c-v于是光线相对于车厢的传播速度就出现了小于的情况.…（摘自《浅说》第7节、光的传播定律与相对性原理的表面抵触的第一、二、三段）.

每一个运动着的三维坐标系都有各自独立的一个三维空间度量和一维时间度量,构成四维度量.在同一个坐标系里 ,能量的读数是连续变化的.在相对运动着的不同坐标系里 ,各自的四维度量应该是不同的,这也是因为在相对运动着的不同坐标系里,能量的读数是不同的缘故.然而坐标系主要表现为数学的概念,而能量是客观存在的.为了保证坐标系之间能量特征（包括动能和势能的差值等等）的连续性、一致性,坐标系之间的度量必须建立相应的变换关系.

伽里略的时空变换,是这样来认识两个相对运系统中,物质运动变化的时空关系的.在惯性系统中,有两个相对做匀速运动的物理系统Σ^,和Σ.在t=t^,=0时,两个系统重合.当Σ^,相对Σ以速度V向X方向运动的同时,从原点射出一光信号,光在两个系统中经过时间t,和t到达同一点P.对于光从原点到P点这个同一事件,伽利略认为时间是相等的,空间是变化了的,空间的变化用速度迭加来处理.

伽利略时空变换如下：

（1）式和（2）式,就是伽利略时空变换表达式,伽利略变换对于两个空坐标之间的时空关系的表述是正确的；伽利略变换,对于相对运动系统中,物质运动变化的时空关系就不正确了.研究相对运动系统内物质运动变化的规律,必须用相对论的时空变换来处理,才能得到正确的结果.

薛定谔方程是伽利略变换群下的不变式——因此，这种量子力学是一种“古典量子力学”，它和“古典力学”有着相同的物理学根基——这就是“伽利略变换群”.然而，任何普适的古典的波动方程或者量子的波动力学方程，一律都不是伽利略变换群的不变式.狄拉克方程是洛伦兹变换群下的不变式——因此，这种量子力学是相对论量子力学，量子电动力学，量子场论.这一类的量子理论中所有的核心方程一律都是洛伦兹变换群下的绝对式.不论是古典电动力学，还是相对论力学，它们的核心方程一律也是洛伦兹变换群下的不变式.伽利略变换群——是粒子类型的变换群.洛伦兹变换群——是波动类型的变换群.

把薛定谔方程为核心的量子力学称作是“粒子性的量子力学”，或则称作为“伽利略量子力学”而把狄拉克方程为核心的量子力学称作是“波定性的量子力学”，或者称作为“洛仑兹量子力学”.全部量子力学被严格区分成性质对立的两大系列——这种情形就和经典力学一样，也被严格区分成性质对立的两大系列：经典粒子力学和经典波动力学.所以，薛定谔方程为核心的“伽利略量子力学”和狄拉克方程为核心的“洛仑兹量子力学”是完全不同类型的量子力学，绝对不可以混淆这两大类量子力学之间存在的深刻的物理差别，更不可以将二者混为一谈！薛定谔方程所描述的量子的波函数是“粒子类型的波函数”；而狄拉克方程所描述的量子的波函数则是“波动类型的波函数”.

4.笔者对于惯性系的思考

文献[12]证明了所有的惯性力都是保守力，纠正了部分文献的错误.惯性系是指牛顿定律成立的坐标系，在地面上做力学实验我们一般默认地面系是惯性系，那么相对于地面匀速运动的小车系或者说电梯系都是惯性系，惯性系里测量不到惯性力，在这样的坐标系里利用惯性力解释问题都是错误的，根据等效原理地球所受的太阳等星体的引力不用考虑.由于惯性系来源于牛顿力学中的绝对空间，惯性参考系(惯性系)是指不受力的物体保持相对静止（或匀速直线运动状态），其时间是均匀流逝的，而且空间是均匀及各向同性的，因此我们在把地面系当做是惯性系的同时，已经默认了地球的质量充分大，忽略其能量、动量等物理量的变化，因此研究机械能守恒定律与力学相对性原理关系时两个惯性系都不应该考虑地球能量的变化，地球已经不再是研究对象.我们不能研究伽利略变换时地面系和电梯系都是惯性系，考虑能量变化时都是非惯性系，前后必须做到自洽.严格的理想的惯性系其实不存在，常见的惯性系都是近似的，这个要从参考系的加速度或者引力场中去衡量，例如引力场就是用无量纲的V/c²(V为引力势)，越大就与平直时空越远.

质点的运动对于地球动能的影响远远小于地震、海啸、山川、河流、地铁以及汽车的运行等地面因素，也远远小于太阳的电磁辐射、太阳宇宙线、太阳风、行星际磁场、银河宇宙线、微流星体等地外因素的影响.由于我们不知道地球的具体质量，其实地球的质量是一个变量，宇宙中的星体尤其是太阳不断向地球辐射粒子，地球也向外辐射粒子，还有陨石等因素，现在世界上所有的仪器还达不到考虑由于地球的质量不是充分大导致的系统误差，仅仅太阳的阳光对于地球的能量影响也比实验中的质点对于地球的能量的影响大得多，我们不能说为了一个实验让太阳不发光.如果考虑这些因素，所有的力学教材都需要修改，问题就复杂了，将导致不可知论.文献[13]指出对于常见的力学实验，地面系是足够好的惯性系.

满足力学相对性原理即动力学规律满足伽利略变换，不研究非惯性系之间的变换规律，自由落体运动(其他类似)按照两体问题处理由于此时地面系和电梯系不是惯性系，与问题讨论无关.伽里略变换只研究惯性系，不研究近似惯性系，实验中是近似惯性系(可能有多方面因素的干扰)，理论计算中是严格惯性系.

文献[14]在（1）和（4）中默认地球是惯性系，质量按照充分大计算，忽略实验因素对于参照系的影响；在（3）和（5）中考虑地球质量是有限值，考虑实验因素的影响，二者矛盾.如果考虑实验因素的影响（1）和（4）不成立，也需要考虑惯性力.惯性系里没有惯性力.

在自由落体问题的研究中，不能仅仅把重力看作地球对于质点的万有引力在低空的近似，重力是万有引力与地球自转产生的惯性力的合力（分析这个问题的文献很多，读者可以自己搜索.），研究机械能守恒定律与力学相对性原理的关系时，可以把重力和万有引力看作没有关系的两个力.万有引力可以地月系统或者卫星围绕地球运动（忽略空气阻力等非保守力因素）为例进行研究.在自由落体问题中若按照两体问题计算，地面系近似守恒，近似守恒不等于守恒，也是不守恒，因为质点除了受到重力外，还受到一个惯性力-m²g/M，尽管比较小，此时地面系只能是近似守恒（由于是理论推导，在这里不能取近似值；如果取近似值在电梯系也取近似值，惯性力对地球所作功率是mgV₀，此时惯性力的功mgV₀t尽管比上面要大很多，但是相对于此时地球的动能而言依然是非常小的，显然也可以忽略（近似计算是按照忽略量在总值中的比例，不是按照忽略量的绝对值），不能袒护一方，此时机械能也守恒，守恒值为地球的动能，因为质点的动能和势能相对于地球的动能而言极小.地面系与电梯系都不守恒，与力学相对性原理没有关系，不能说明机械能守恒定律不满足力学相对性原理.弹簧振子问题类似，不再说明.相对于匀速运动的电梯视为惯性系，此时必须考虑电梯系内质点受到的重力；相对于地面自由降落的电梯视为惯性系，此时不能考虑电梯系质点受到的重力，相对于地面的加速运动相当于抵消了重力.类似地，地球围绕太阳运动，如果考虑太阳的引力，地面系就不是惯性系，忽略太阳的引力地面系才是惯性系.两体问题的研究以系统的质心为参照系，也是由于两个质点对于质心的合力为0的缘故.如果外界对一个系统的加速度的相等，在研究某个问题中，只要该问题所涉及的力对参考点的合外力为0，该参考点即为严格的惯性系.赵峥教授说：“如果我们把狭义相对论在其中成立的参考系定义为惯性系，那么无引力场太空中静止或作匀速直线运动的参考系，和引力场中自由下落的、无自转的、无穷小参考系都是严格定义的惯性系.前者是不可实现的，后者在理论上是可以实现的.于是，我们看到了明确定义的、在理论上存在的严格惯性系.”

通常情况下，重力、摩擦力等对于地球的影响甚小，可视为足够好的惯性系或者说是近似惯性系.北大赵凯华教授指出：“只要我们所讨论的问题不是像大气或海洋环流那类牵涉空间范围较大、时间间隔较长的过程，固定在地面上的参考系可看做近似程度相当好的惯性系.”^[15～16]

文献[17～20]分析了在经典力学中惯性力不可避免，但是为了实验具有可操作性，在一定范围内把参照系的质量视为充分大，忽略实验因素对其造成的影响，就可以作为惯性系处理，否则不具有可操作性.^[21]爱因斯坦一针见血地指出：“究竟是否存在一个惯性系的问题，直到现在还无法决定.”^[22] 对于普通的力学实验，把地面系作为惯性系，具有足够好的精确度，忽略质点运动的影响，把地球的质量视为充分大，事实上仅仅由于地球质量的变化对于地球运动的影响就远远大于质点运动对于地球运动的影响.我们选择地面系为惯性系的同时，实际上已经不再把地球作为研究对象.北师大漆安慎教授主编的《力学》，对科学家们在实践中行之有效的“惯性系”，进行了全面的归纳：“某参考系是否可视为惯性系，从根本上讲要根据观察和实验.大量的观察和实验表明，研究地球表面附近的许多现象，在相当高的实验精度内，地球是惯性系.讨论人造地球卫星运动时，常选择以地心为原点，坐标轴指向恒星的地心-恒星坐标系，这是比地球精确的惯性系.在研究行星等星体的运动时，可选择以太阳中心为坐标原点，坐标轴指向其他恒星的日心-恒星坐标系，这是更精确些的惯性系.”^[23]

在数学史上，人们一直对“无限”有着两种截然相反的看法.一种是“潜无限”观，一种是“实无限”观.这两种无限观,把数学界分成两大对立的阵营；任何一个数学家都概莫能外超越这个矛盾而存在，它要求任何一个数学家都必须对此问题作出一个明确的回答.什么是这两种无限观的对立呢?“潜无限”观是指我们不能够结束一个“无限过程”而到达其某一终点或其全部.反之，“实无限”观者却认为我们可以完成一个“无限过程”而到达它的终点或其“全部”.因此“潜无限”、“实无限”之矛盾，本质在于能不能“完成、终结”一个“无限过程”，它们的矛盾和对立是不言而喻的.对于这两种无限观的区别，在《数学与无穷观的逻辑基础》一书中，朱梧槚先生从数学、哲学上给出了详细的分析.他在书中指出：“实无限”是由现在进行式（going）转化为完成式（gone），而“潜无限”是由现在进行式（going）强化为永远是现在进行式（going）；而无论是潜无限还是实无限，都是非有限进程.他从数学、哲学两个方面把两者的差别描述如下（参见朱梧槚，2008年，第204-207页）：实无限：是一个完成式（gone），对于“无限进程”肯定达到进程终极处，对无限进程的枚举手续肯定能完成；潜无限：是一个进行式（going），对于“无限进程”否定达到进程终极处，对无限进程的枚举手续肯定不能完成.笔者认为认为惯性系的质量为无穷大就是一种实无限观，物理学中没有真正的惯性系，因为质量不可能为真正的无穷大，只有数学中才有真正的无穷大.克莱因说过：“挑选好一个确定得研究对象，锲而不舍.你可能永远达不到终点，但是一路上准可以发现一些有趣的东西.”

在研究质点的运动过程中，可以同时忽略一个力和它产生的加速度，也可以同时增加一个力和相应的加速度，这就是惯性力的来源，这样对于牛顿第一定律的认识就更加深刻了.科学总是在不断发展的，科学家最初的想法未必是正确的，例如1632年伽利略在《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》中指出：“沿地平线的运动，既不向上也不向下，将是环绕一个中心的圆周运动”，^[24]①.他在该书中还指出：“对一个既不向下也不向上的表面来说，它的各部分一定是和地心等距离的……平静的海洋上航行的船只，就是这样的一种运动体……要是排除一切外界的和意外的阻碍，它一旦获得冲力就会不停地以匀速运动”.^[24]② 因此《西方科学史》强调：“伽利略的惯性原理，与笛卡尔的惯性原理或牛顿的惯性原理不同，必须把它称作为‘圆周惯性’原理.”显然伽利略最初对于惯性原理的表述是错误的.

在太阳静止参考系上观察，行星做椭圆轨道运动.在地球静止参考系上观察，行星轨道非常复杂.原因在于太阳质量巨大，周围星体的引力对其运动影响较小，更接近惯性系.所以行星的牛顿引力方程在太阳静止参考系中写出时最简单，在地球参考系中写出时会包含时间和地球相对于太阳的运动速度变量，运动方程复杂的多.行星运动的轨迹由运动方程确定，运动方程的具体形式不一样，导致在地球参考系上观察，行星的运动轨迹根本不是椭圆.主要是地球的质量相对较小，周围星体的引力对其运动影响较大，需要增加多个惯性力.爱因斯坦根据伽利略相对性原理断言：“假使有两个坐标系，相互作不等速运动，则力学定律不会在两者之中都是有效的.”然而，分别关联于地球、太阳、月球、自由落体电梯、自由飞行航天器的五个坐标系，相互都是作“不等速运动”.这说明惯性系都是相对的，取决于对于精确度的要求.

由于牛顿力学适用于惯性系，地球不是一个严格的惯性系，尽管一般物体的质量与地球质量相去甚远，可以近似认为惯性系，可是当物体的质量不断增加时，特别是二者质量差距不大时，这个系统相对误差就不能忽略了. 质量大到物体与地球的共同质心偏离地球质心时，例如月球与地球，就必须将二者作为一个系统来考虑.不仅地球影响着月球的运动，月球也影响着地球的运动.

（第26届全国中学生物理竞赛复赛试卷）若不考虑太阳和其他星体的作用，则地球-月球系统可看成孤立系统.若把地球和月球都看作是质量均匀分布的球体，它们的质量分别为M和m，月心-地心间的距离为R，万有引力恒量为G.学生甲以地心为参考系，利用牛顿第二定律和万有引力定律，得到月球相对于地心参考系的加速度为；学生乙以月心为参考系，同样利用牛顿第二定律和万有引力定律，得到地球相对于月心参考系的加速度为.这二位学生求出的地-月间的相对加速度明显矛盾，请指出其中的错误，并分别以地心参考系（以地心速度作平动的参考系）和月心参考系（以月心速度作平动的参考系）求出正确结果.

解法1：（利用惯性力）因地球受月球的引力作用，月球受地球的引力作用，它们相对惯性系都有加速度，故它们都不是惯性参考系．相对非惯性参考系，牛顿第二定律不成立．如果要在非惯性参考系中应用牛顿第二定律，必须引入相应的惯性力；而这两位学生又都未引入惯性力，所以他们得到的结果原则上都是错误的.

以地心为参考系来求月球的加速度.地心系是非惯性系，设地球相对惯性系的加速度的大小为，则由万有引力定律和牛顿第二定律有，   （11）,加速度的方向指向月球．相对地心参考系，月球受到惯性力作用，其大小， （12），方向指向地球，与月球受到的万有引力的方向相同．若月球相对地心系的加速度为，则有．  （13）.由（11）、（12）、（13）三式，得   ，          （14）,加速度的方向指向地球.

以月心为参考系来求地球的加速度.月心系也是非惯性系，设月球相对惯性系的加速度的大小为，则由万有引力定律和牛顿第二定律有         ，   （15）加速度的方向指向地球．相对月心参考系，地球受到惯性力作用，惯性力的大小，（16）.方向指向月球，与地球受到的万有引力的方向相同．若地球相对月心系的加速度为，则有         ．（17）由(15)、(16)、(17)三式得      ，  （18）

加速度的方向指向月球.（14）式与（18）式表明，地球相对月心系的加速度与月球相对地心系的加速度大小相等(方向相反)，与运动的相对性一致.

    解法2：（利用系统质心为参照系）如果考虑牛顿力学适用于低速惯性系，这个问题非常简单，因为地心相对于月心的加速度为等于地球相对于地月系统质心的加速度与地球相对于地月系统质心的加速度的和，地球相对于地月系统质心的加速度大小为，月球相对于地月系统质心的加速度大小为，地球相对月心系的加速度为.

解法3：（利用折合质量）在上面的问题中地球与月球间的作用力为GMm/R²,折合质量为Mm/（M+m）, 地球相对月心系的加速度为.                （19）

解法4：（利用折合力）地球与月球间的折合作用力为G（M+m）m/R²，地球相对月心系的加速度为.                                           （20）

寻求惯性系定义的方式大致有两种：一种是构造相应的物理模型，一种是描述其时空性质.1885年德国物理学家朗格（L.Lange）将惯性系定义为：惯性定律成立的参考系，文献[25][26]就在朗格定义的基础上利用万有引力定律的力学效应成功的构造了一个惯性系的物理模型.这种定义方式的物理色彩很浓厚，但正如文献[27]所指出的那样，这种定义同惯性定律构成了严重的逻辑循环，文献[27]的作者建议采纳苏联物理学家朗道与栗弗席兹提出的另一种惯性系定义：总可以找到这样的参照系统，相对于它来说，空间是均匀的和各向同性的，而时间也是均匀的，这种系统叫做惯性系.考虑到狭义相对论在推导洛伦兹变换时，如文献[28]那样，实际上已将时空的均匀性和空间的各向同性视为先验性假设.

同惯性系定义一样，许多文献在推导洛伦兹变换时将惯性定律亦视为当然的先验假设 “悄然”运用，文献[24]也指出了“外力和为零”这一条件面临的一个重要疑难：无法确定被观测物体所受的力Ｆ，将惯性定律表述为惯性系判定的充分条件则可以有效的避免“外力”疑难，同时也为狭义相对论的讨论提供了必要的前提，因为狭义相对论要讨论的是存在某种关系（即相对匀速运动）的惯性系间的时空变换问题，惯性定律则明确的确保了这种关系的有效性.

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