在前边的几节课程中，主要介绍了哈密顿量和对称性，现在我们把这些结果结合起来，进一步加深理解。在物理学中，理解是一件非常重要的事情，而且会特别的困难。有一些学生会非常聪明，计算能力也非常强，但是却很难理解物理，这里边的原因就是，物理学的逻辑是比较特殊的，和平常的逻辑法则是冲突的。

    惯性原理的发现，揭示了一个很难让人理解的事实，就是我们经验到的宏观世界是一个假象。客观的世界，是数学化的，虽然我们不能把它理解为就是一个数学的世界，但是和日常的经验的确差别太大。

    而到了微观世界，这种真相就被揭示了出来。微观粒子的全同性是最好的例子。这些基本的粒子，对于整个宇宙来说，都是批量制造的，同一种粒子都是一样的。当然，有些研究者相信存在无数个宇宙，这个想法的确难以想象，也就是说有的宇宙的电子质量会大一点点，有的宇宙的电子会小一点点，关键是怎么做才能让这个大一点点小一点点的质量从一个宇宙变化到另一个宇宙的呢？全同性的破坏是一个糟糕的想法。

    古希腊的世界观，是一个处处质地不同的世界，是一个绝对不允许任何全同性的世界。亚里士多德说了一句“大自然厌恶真空”，就是最好的写照。近代科学的诞生，就是发现了全同性，也就是现实的世界可以用数学来描述，不仅是天上，也包括地上。

    到了微观世界，对称性就越来越重要。如果说量子力学很奇特，不如说是因为到处存在的对称性。我们继续用简谐振子来讨论这个问题，这里不仅考虑一维的情况，还进一步推广到二维和三维。

    经典的简谐振子的哈密顿量是

对比量子化后的简谐振子的哈密顿量，包括本证方程

    前边的情况，描述的是纯粹的点粒子的情况，后边描述的是一个波。量子力学的描述让人很奇怪，但是这确实是对称性的体现。我们看第一个式子，这里边x和-x是对称的，这是很显然的。一个一维简谐振子，位于中心位置两侧的情况是对称的。我们知道简谐振子会周期性的变化，所以问题就出来了，两侧的情况是一样的，为什么简谐振子却只会出现在一侧？虽然，周期性的变化，整体上体现了这种对称性，但是为什么不能同时呢？很显然，一个粒子同时处于两侧是让人惊奇的，是不符合日常的逻辑的。但是这里情况，还不如说，我们习惯的逻辑是经典经验的结果。

    如果整个宇宙就只有一个简谐振子在振动，根本就无法区分左和右，而简谐振子的能量也无法区分左和右，因为是守恒的。那么为什么这个简谐振子会向左侧或者右侧振动呢？这种区分左侧和右侧的能力是从哪里来的？

    所以量子力学虽然有些奇特，但是是符合实际的不可区分性的。因为左侧和右侧是不能区分的，所以这个简谐振子只能同时处于左侧和右侧。（这可能让刚开始接触这个想法的学生非常震惊，因为你没有发现你接触的经验世界，居然是不符合道理的）

    所以量子力学的哈密顿量才是真实的描述，而且的确如此。所谓的量子化，本质上就是这种全同性的体现。比如一个自由粒子，只有动能，没有势能。经典的情况，就是一个平面上的一个粒子。很显然，这个粒子平面上的哪个位置都没有区别，那么和前边的逻辑一样，凭什么这个粒子会处于这个平面上的一个位置呢？什么理由让它处于这个位置呢？如果没有理由，那么这里粒子就应该同时处于所有的位置上。（这个观点可能让学生惊掉下巴）

    这个同时处于全同的位置或者其他全同的物理量的性质，就是量子力学的波动性，这个波动性用哈密顿量本征方程中的函数来描述。这个函数叫做波函数。这样一来，我们就会明白，这个波函数将会体现这种对称性，或者全同性。

    我们把前边对称性里边学到的道理应用到这里，这个具有对称性的函数，在几何上就会表现为一个具有对称性的图形。描述一维简谐振子的图形必然具有左右对称性。

    再回到惯性原理上，在没有外力的情况下，一个粒子只能处于静止或匀速运动状态，这个问题就会变得更加深刻。静止还是匀速运动，能量是不一样的，所以量子力学可以对这些能量进行区分。但是问题就出来了，这是在有参考系的情况下，如果没有参考系，这些情况就可以无法区分，那么一个粒子就可以同时处于不同的能量。这些问题思考起来都比较复杂，超出这本书的要求，就不多讨论了。

    在量子力学中，波函数自动体现了对称性，所以在量子力学中，对称性变得更加重要。由于波函数可以用一个几何图形来描述，所以在某些问题中，尤其是核结构中，几何就会变得更加重要。

    这样一来，波动性、量子化、波函数、对称性、全同性、不变性、不可分辨性，实际上是同一个事物所涉及的不同的侧面。