对称性就是变化下的不变性，但是这个事情可能比想象的要更加奇特。比如，数学中的圆，能够绕圆心旋转么？这个问题可能会让人有些迷糊。现实中的圆，不管是什么，其实都是宏观的物体，比如用一张纸剪下一个圆，我们可以围绕着圆心旋转，这是因为这个圆的每一个部分都是可以区分的，当你旋转以后，旋转后的像圆的东西实际上是不一样的。

    但是，如果是一个数学世界中的抽象的圆，那么这个圆各处是完全一样的，是真正的不可区分的，所以你说它是静止的还是围绕圆心旋转的，我们都是不知道的。对于我说的这几句话，如果你明白了，那么就说明你适合学习物理。如果没有明白，就好好的想一想，想明白了，就搞明白物理了。

    在古希腊，科学的萌芽诞生了，但是没有发展为近代科学。这里边的关键就是，数学没有降临到了人间。在古希腊，一些人开始研究几何，发现非常美妙，但是很显然，这个世界和数学的世界是完全不一样的，所以他们认为现实的世界不能用几何来描述。这个结论可能让很多人大吃一惊，因为很显然一些现实中的问题是可以用几何来解决的。但是最终，这个想法导致了科学没有在古希腊诞生。

    这个原因非常深刻。现实中的经验，告诉我们静止和运动很显然不是一样的（亚里士多德的观念），但是数学世界中的圆，无法区分静止和运动。所以只有永恒的天国，天上的星辰才能被数学描述。

    笛卡尔是一个伟大的哲学家，也是近代物理学的奠基者。他的重要贡献就是发现了惯性原理。惯性原理是第一个发现的不可分辨性的结论，使得我么意识到静止和匀速运动不是绝对区分的，实际上是一样的。这是一个伟大的发现。

    也正是笛卡尔创立了解析几何，在几何和代数方程之间建立了关系。这个事情可能会让很多人无法理解，如此简单的道理为什么没有更早的被发现呢？问题就在于，一些人认为代数表达的是现实世界的，几何代表的是永恒的世界。

    有些道理现在看起来可能很搞笑，但是在历史上曾经是无法想象的桎梏。笛卡尔能创立解析几何，和他把现实的世界和抽象的数学世界联系起来有很大的关系。这个转变是如何发生的，我依然不是很清楚。但是到了牛顿的时代，这个转变就已经完成了。（同时代的莱布尼兹也是一个绝世的天才，但是也没有明白这个道理）在伽利略和开普勒那里就已经开始清楚了，有一些桎梏最终被打破了。

    惯性原理意味着静止和匀速运动无法区分，而在抽象的数学世界，一个圆也无法区分是静止和匀速转动。也就是说，现实的世界是数学的，这个事情的确让人很惊异。（今天有些科学家，的确认为现实的世界就是一个数学的世界，但是这依然让人无法信服）

    这样一来就非常有意思了。由于一个圆可以被一个圆方程来描述，如下

所以圆的对称性，也应该被反应在了它的方程中。从笛卡尔提出解析几何，到伽罗瓦提出群论居然度过了一个漫长岁月，这是一个非常有意思的问题。这样的想法实际上非常简单，在大学物理的学习阶段，甚至高中学习物理的时候就应该被学生理解，但是现实的情况却不是。

     我们来看，当给出这个方程后，意味着距离坐标系的中心为长度r的所有的点构成了一个圆。这里边的，每一个点，都是可以区分的，比如(r，0)，(0,r),很明显是不一样的，可以区分的。也就是说，建立方程以后，的确让美丽的圆惹上了尘世的味道，一个不能区分的理想的圆，建立方程后，可以区分了。

     所以给出圆的方程后，有一些东西被隐藏了，缺了一部分。这就是圆的对称性。当给出圆的方程以后，还需要补充圆的对称性，让方程中那些可以区分的点重新不可区分。这才是完整的。

     也就是说，要补充一个对称性的操作，围绕圆心旋转任何角度，都是一样的。也就是说，圆上的任意一点(x,y),旋转任何一个角度后变成了(x’,y’)后，这两组数实际上是不能区分的。这样，这个圆方程才代表着抽象世界的圆。

     也就是说，抽象世界的圆，等价与一个圆方程加上所有的旋转对称操作。