Zmn-1096 一阳生 : 我对于三种数学归纳法的理解与证明。

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我对于三种数学归纳法的理解与证明。

一阳生

文老师，下面是我对于三种数学归纳法的理解与证明。请求转发薛老师和在啄木鸟专栏发表。期待薛老师和所有老师给予评价批评。谢谢！

一、对数学归纳法的理解和证明

设P是关于自然数的一个性质。如能证明P(0)是真的，以及能由P(n)是真的，推出P(n‘)也是真的。那么性质P对于所有的自然数都是真的。即（P(0) ∧ ∀n∈N（P(n) ⇒ P(n’)））⇒ ∀n∈N P(n)。

其中对于命题 ∀n∈N（P(n) ⇒ P(n’)），其结构是一系列蕴含关系之间的合取关系，（P(0)⇒ P(1)) ∧ （P(1)⇒ P(2)) ∧ （P(2)⇒ P(3)) ∧ …。

根据数学归纳法的要求，【若能由假设 ∀n∈N P(n)是真的，证明了P(n’)是真的。】。这一步证明等于是【证明了命题 ∀n∈N（P(n) ⇒ P(n’)）不可为假而为真。】。即证明了（P(0)⇒ P(1)) ∧ （P(1)⇒ P(2)) ∧ （P(2)⇒ P(3)) ∧ …不可为假而为真。因此一系列蕴含关系中的任一个P(n)⇒ P(n’)都为真。

蕴含关系P(n)⇒ P(n’)为真，有两种可能。第一种，P(n) ∧ P(n’)真。如果我们能证明∀n∈N P(n)为真即可确定此种可能，因为P(n’)为真可在P(n)为真条件下被证明出来。如何证明∀n∈N P(n)为真？我们知道P(n) ∧ P(n’)为真的含义是P(n)与P(n’)共同为真、都为真，且合取关系具有传递性。由于在上面假设∀n∈N P(n)为真的条件下，即在所有的自然数都具有性质P的假设条件下，和在此种任意相邻两自然数之间在性质P上具有可同真的关联可能下，根据合取关系及其传递性可知，证明了P(0)为真，即证明了P(1), P(2), P(3)等全体与P(0)共同为真、都为真，共同的具有性质P。在如此假设下和可能下，可证∀n∈N P(n)成立。进而数学归纳法前提中的假设和数学归纳法的结论均是完全归纳的成立。

第二种，存在n∈N P(n)为假。此时虽然（P(n) ⇒ P(n’)）为真，但数学归纳法前提中的假设∀n∈N P(n)和数学归纳法的结论客观上均为假。从而数学归纳法不适应。（不适应是指无法有效推理，不是指不成立。）

综上所述，应用数学归纳法分为三步。第一步，证明P(0)为真。第二步，假设所有自然数都具有性质P，即∀n∈N P(n)。第三步，在假设条件下证明任意相邻两自然数在性质P上具有可同真的关联性。

第二步是关键。应用数学归纳法前，我们要【事先】判断性质P能否普适于所有的自然数。如果对不具有普适性的性质作了普适性的错误假设，即使证明了第三步，也会在客观上导致数学归纳法不适应。

用自然数计数的连续不终止的运算状态或推理步骤及其动态结果是潜无穷相关概念，与潜无穷相关概念关联的性质P不适应数学归纳法。

二、对强归纳法原理的理解和证明

《陶哲轩实分析》第二章关于强归纳的内容如下：

习题2.2.5 证明命题2.2.14。（提示：定义Q(n)为性质“P(m)对于一切m₀ ≤ m < n成立”，注意Q(n)当n < m₀时是莫须有地成立的。）

命题2.2.14（强归纳法原理）设m₀一个自然数，而P(m)是一个依赖于任意自然数m的性质。假设对于每个m ≥ m₀都有下属蕴含关系：如果P(m’)对于一切满足m₀ ≤ m’ < m的自然数m’都成立，那么P(m)也成立（特别地，这意味着P(m₀)成立，因为在m = m₀的情况下，假定的条件P(m’)是空的），那么我们可以断定P(m)对于一切自然数m ≥ m₀都成立。

我关于强归纳原理的理解是：设P是关于自然数的性质，若对于每个m ≥ m₀，对于一切m₀ ≤ m’ < m，P(m’)成立；则P(m)对于一切自然数m ≥ m₀都成立。即∀m( (∀m’∈[m₀ , m))P(m’) ⇒ P(m) )  （m₀,m,m’∈N)

依我的理解，证明强归纳原理，只须证明蕴含关系成立即可。我试图用数学归纳法证明蕴含关系，但发现无法证明。该方法如下：

验证m = m₀时，m’不存在，P(m’)无定义，蕴含关系前提为假，结论P(m)成立与否无法确定，蕴含关系成立。

验证m = m₀+1时，若P(m’)成立，即P(m₀)成立，但无法推出 P(m) 即P(m₀+1)成立。

验证m = m₀+2时，若P(m’)成立，即P(m₀) 且P(m₀+1)成立，但无法推出 P(m)成立。

可见在数学归纳法证明第一步，无法验证蕴含关系是成立的。

现归纳的假设上述蕴含关系是成立的，待证蕴含关系∀m( (∀m’∈[m₀ , m+1))P(m’) ⇒ P(m+1) )。显然由P(m₀) 且P(m₀+1)且P(m₀+2) 且…且P(m)成立，无法推出P(m+1)成立。

我是试图证明蕴含关系，不是用已经成立的蕴含关系去证明。可见用数学归纳法无法证明该蕴含关系成立。

证明蕴含关系成立，只须在假设前提成立条件下，证明结论成立即可。可简洁证明如下：

由题意我们假设前提：对于每个m ≥ m₀，对于一切m₀ ≤ m’ < m，P(m’)成立。

该前提蕴含：对于每个n >m ≥ m₀，对于一切m₀ ≤ m’ < n，P(m’)成立。

上面的命题中，m’可取值m，命题蕴含P(m)成立。

所以蕴含关系∀m( (∀m’∈[m₀ , m))P(m’) ⇒ P(m) )成立。

三、对向后归纳原理的理解和证明

《陶哲轩实分析》第二章关于向后归纳原理的内容如下：

设n是自然数且设P(m)是一个依赖于自然数的性质，它满足条件：只要P(m++)成立则p(m)也成立。假设P(n)成立，证明对于一切自然数m ≤ n，P(m)成立。此即所谓向后归纳原理。（提示：对变元n用归纳法。）

我关于向后归纳原理的理解是：设P是关于自然数的性质，m₀ 是某自然数，P(m₀)成立，设对于一切m ≤ m₀ ，P(m+1) ⇒ P(m)；则P(m)对于一切 m ≤ m₀成立。即( P(m₀) ∧ ∀m∈[0,m] (P(m+1)⇒ P(m)) ) ⇒ ∀m∈[0,m] P(m)   （m₀,m∈N)。

对变元m进行归纳证明。

当m=m₀时，若P(m₀)成立且P(m+1) ⇒ P(m)成立，则可验证P(m₀)成立，即P(m)成立。

当m+1=m₀时，若P(m₀)成立且P(m₀) ⇒ P(m₀-1)成立，则可验证P(m₀-1)成立，即P(m)成立。

当m+n=m₀时，若P(m₀)成立且P(m₀-n+1) ⇒ P(m₀-n)成立，则假设P(m₀-n)成立，即假设P(m)成立。

当m+n+1=m₀时，若P(m₀)成立且P(m₀-n) ⇒ P(m₀-n-1)成立，再由上面假设P(m₀-n)成立，则P(m₀-n-1)成立，即P(m)成立。

所以可完全归纳的证明( P(m₀) ∧ ∀m∈[0,m] (P(m+1)⇒ P(m)) ) ⇒ ∀m∈[0,m] P(m) 。

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