Zmn-1055 李鸿仪 : 无限矩阵和自然数集合非唯一性、不存在由全体自然数组成的自然数集合的最简证明兼评薛问天的Zmn1054

【编者按。下面是李鸿仪先生的文章，是对薛问天先生文章《1054》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

无限矩阵和自然数集合非唯一性、不存在

由全体自然数组成的自然数集合的最简证明

兼评薛问天的Zmn1054

李鸿仪

本文讨论的无限矩阵，是指行数和列数都是无限大的矩阵。无限矩阵在数学、物理和工程中都有广泛的应用。

无限矩阵可以是正方形的，也可以是长方形的，甚至可以是其他形状的，这取决于无限矩阵的定义和性质。

例如，在数值计算中，对x-y-z空间中的立方体，为了减少计算量，我们有时需要用一个不连续的网格来代替连续的x-y平面。用于不同的计算精度需要不同的网格数，这时候网格数可以是一个变量，如果这个变量没有上界，即趋于无限，每个网格的高度值z就构成了一个无限矩阵。例如将x-y平面的2个坐标各分成n和kn份，形成n*kn个网格。当常数k=1且n→∞时，构成了一个无限大的正方形矩阵；当常数k≠1时且n→∞时，则构成了一个无限大的长方形矩阵。

再例如，如果矩阵元素

a11,a12,a13……

a21,a22,a23……

a31,a32,a33……

……..

定义了一个无限大的正方形矩阵A，则

a11,a12,a13……

a112,a122,a132……

a21,a22,a23……

a212,a222,a232……

a31,a32,a33……

a312,a322,a332……

……..

定义了一个无限大的长方形矩阵（以下用B表示）。

另一个例子是，设用矩阵元素aij表示第i个第j位小数的值，则每个行向量表示了一个无限小数，由于存在无限多个无限小数，所以，矩阵元素

a11，a12，a13....

a21，a22，a23....                               (1)

a31，a32，a33....

.......

组成了一个无限矩阵。

数学分析中n趋于∞的定义如下，

若数列{an}滿足，对于任意正数M>0，总存在正整数N，使得当n﹥N时，|an|﹥M，称数列{an}发散于无穷大，记作αn→∞

设an=n， 上述定义可以改写为，

若数列{n}滿足，对于任意正数M>0，总存在正整数N，使得当n﹥N时，|n|﹥M，称数列{n}发散于无穷大，记作n→∞

由于M是任意的，因此，所谓n→∞，不过是取无界数列1，2，3……中任意大的项的值而已。由于该数列中再大的项也是自然数，所以可以用数学归纳法来研究n→∞的情形。

当小数位数 n→∞时，用数学归纳法可证（1）为一(2^n)＊n的长方形无限矩阵，

无论是无限矩阵的行数还是列数，都是有明确的数学意义的，而且都可以用数学分析计算或推导的。由于数学分析的诞生早于集合论，所以完全不需要也不宜用存在各种悖论的基数概念来研究。

例如用数学分析的方法可证明，B的行数是其列数的两倍，所以B是长方形矩阵，但如果用集合论中的基数理论来描述，连这么简单清楚的结论也则不到，可见基数理论在解决集合论以外的数学问题中的错误和无能。笔者以为即使在集合论内部，基数这个概念也是没有必要的:可以直接从集合的定义来精确地比较集合的大小【1】。

由于任意无限矩阵的行标和列标都是自然数集合，如果自然数集合是唯一的，那么世界上就只存在正方形的无限矩阵，而不存在长方形的无限矩阵。这就最简捷地证明了，

命题1 自然数集合不是唯一的.

证明(反证法):行标和列标都是无限的长方形无限矩阵的存在，证明了自然数集合不是唯一的:由于这类无限矩阵的行标和列标都是自然数集合{1，2，3……}，如果自然数集合是唯一的，那就只存在正方形无限矩阵，不可能存在长方形无限距阵的。矛盾！

自然数集合的非唯一性，彻底推翻了包括对角线证明【2】在内的等很多建立在自然数集合唯一性基础上的结论，同时证明了康托几乎所有反直觉的东西都是错误的【3】，从而彻底改写了集合论。

例如，如果要证明小数不可数，就必须证明b不在(1)所示的长方形矩阵里面，                             

 这里

b=0.b1b2b3...，                                  (2)                                  

,

 bk≠akk, （k=1,2,3,...)                        （3）

显然康托并没有做到这一点：

k=1时，他只证明了b≠a1

k=2时，他只证明了b≠a1且b≠a2

……

也就是说，当小数位数k任意大时，对角线只能保证b不等于2^k个小数中的k个小数，并不能保证b不等于另外2^k-k个小数。上述情形，在k→∞时仍然成立。也就是说，康托无法保证b不同于（1）中的任何小数，

上述情形，在k→∞时显然仍然成立。

所以，对角线并没有证明实数不可数。

当然，如果假定(1)是一个行数严格等于列数的正方形无限矩阵，或者等价地假定自然数集合是唯一的(即行标集=列标集)，对角线证明，当然可以成立，问题在于这些假定都不符合事实。

再例如，自然数集合的非唯一性直接证明了不存在全体自然数集合: 

如果存在两个或两个以上互不相同的自然数集合，哪一个才是全体自然数集合？

无论是认为存在着全体自然数这一概念，还是坚信自然数集合是唯一的，在传统集合论中都只是没有经过严格证明的信念甚至愿望。然而，科学不是宗教，不能建立在信念甚至愿望的基础上，而必须建立在与事实相符的严格的逻辑基础上。

除了显然正确的命题或不会产生任何矛盾的人为规定即定义外，严肃的科学不允许引入任何未经证明的命题。

至于薛问天在啄木鸟Zmn1054中气急败坏的攻击言辞，实在没有值得正经一驳的学术价值。读者若有雅兴，可以看我对该文的评论[1]~[9]

【1】科学网—定义法比较无限集合元素数目的相对多少 李鸿仪的博文 (sciencenet.cn)

https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1392283.html

【2】对角线证明中的相等性假设

https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3425940&do=blog&id=1415630

【3】自然数集合的非唯一性 - 李鸿仪的博文 (sciencenet.cn)

https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1406288.html

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項，来查找本《专栏》的其它文章。】