自然数集合的非唯一性

李鸿仪leehyb@139.com

给出了自然数集合唯一性的几个反例.在严格定义了任意集合元素数目的基础上证明了符号∞的本质是一个取值任意大、无上界的变量，故可参加如何数学运算。不存在固定的无穷数，故不存在具有不变外延的无穷集。证明了自然数集合的非唯一性。证明了任意无限集合的元素数目都大于其真子集的元素数目，并且根据双射的定义，证明了元素数目不同的两个集合之间不能建立一一对应关系。因此，无限集合无法与其真子集一一对应。不存在无限旅馆悖论和伽利略悖论。与有理数集Q一一对应的自然数集不是Q的真子集，而是另一个自然数集合。局部不等于整体。对于无限小数，小数点后的位数也可能不同。当位数相同时，不同维度空间之间不存在一一对应关系，不同长度的线段之间也不存在一一对应关系。实数是可数的。没有不可数集合。康托尔几乎所有的反直觉的理论在逻辑上都是错误的，因此直觉和逻辑的冲突是不正常的，直觉主义和逻辑主义必须统一起来。极限有可能达到，但无限的过程永远无法完成。无限不完备性是极限值确定性的必要条件。不存在芝诺悖论。在最严谨的数学中有如此多的错误，而且在如此长的时间里没有得到纠正，这一事实表明，人类的逻辑思维能力需要大大提高，没有人能够确定他是正确的。所以，把自己的观点，包括意识形态和价值观，强加给别人，甚至动用武力把人类推向自我毁灭的核战争和生物战争是愚蠢的。

关键词:自然数集合；无限集合的元素数目；一一对应；伽利略悖论；无限旅馆悖论；芝诺悖论；不可数集合；直觉主义和逻辑主义

自然数的唯一性是集合论的基本信念，也是几乎所有反直觉的错误和悖论的根源。一旦自然数集的非唯一性被证明，所有这些错误和悖论就都消除了。

当我说到自然数集合的非唯一性时，除了熟悉我思想的朋友，大多数人都会感到困惑甚至表示反对。的确，从静态的角度来看，如果把自然数集合看作是一个已经完成、不再变化的无限集合，那么就很容易证明自然数集合是唯一的:如果有两个不再变化的自然数集合，那么元素就只能是自然数，所以它们的外延一定是相等的，当然是同一个集合。

在数学中，自然数集合通常被定义为已经包含全体自然数的集合。这个定义似乎也能足够清晰地得出自然数集合是唯一的:既然所有的自然数都包含在内，当然，这些自然数不可能是不同的。

一切似乎都很清楚。

然而，真的是那么简单吗？

1自然数集合是唯一的吗

数学是严谨的，不能引入任何可能不靠谱的假设。

不幸的是，人类的思维远远不够严谨，无法确保不引入不可靠的假设。相反，在很多推导中，人们往往不自觉地引入一些似是而非的假设，从而导致其结论的不可靠性。

以上面的推导为例，实际上有一个未经证实的假设，即存在已经完成且不再变化的自然数集合，为了方便讨论，称这个假设为自然数集的可完成假设，简称完成假设。

说该假设无法被证明，倒也不完全正确。按照实无穷的观点，无穷的过程是可以完成的，所以作为一个无穷集合，自然数集合的形成也是可以完成的。所以完全假设可以用实无穷的观点来证明。

问题是，实无穷这个概念本身就是一个没有人能严格证明的假设，反例倒很多。

比如，无论根据人类自古以来的数学实践，还是根据皮亚诺公理或无限公理，自然数都可以通过加1来连续递增，即任何自然数都有后继数。

可能有人会认为，我们之所以不能列出全体自然数，是因为时间和空间有限。这暗示着只要时间和空间是无限的，我们就可以列出所有的自然数。这种说法是不合逻辑的:即使给人无限的时间和空间，列出自然数的过程也永远不会完成。这是因为这个过程一旦完成，就意味着没有后继数了。

任何放之四海而皆准的观点都不应该有任何反例。所以，实无穷的观点并不是普遍成立的，可完成假设也无法被证明。

另一方面，任何数学定义都必须首先保证它所定义的对象的存在。

比如欧几里德空间中没有正十面体，那么在欧几里德空间定义正十面体就没有意义。如果非要定义，可能会形成另一种未必有实际意义的非欧几何。

同样，自然数集合的定义必须基于该集合的存在性。

例如，如果N被定义为已经包含全体自然数集合，那么首先必须保证“全体自然数”这一概念是存在的。

在数学中，“全体自然数”通常有两种含义。首先，在“全体自然数”中，我们不能排除任何一种自然数。比如偶数集中没有奇数，所以虽然任何偶数都是自然数，但我们不能称偶数集为自然数集，因为它排除了奇数。单从这个角度来看，“全体自然数”这个概念当然是成立的。但是，“全体自然数”的另一层意思是，我们找不到任何“全体自然数”之外的自然数。这个概念是有问题的。如上所述，自然数可以通过添加后继来增加。除非这个过程可以终止，也就是不再有后继数，才有可能形成“全体自然数”。然而这是不可能的，所以永远不可能形成“全体自然数”。

无穷公理或皮亚诺公理也只是证明了任何自然数都可以由0或1通过+1形成，并没有证明+1过程可以结束形成全体自然数。

这里需要注意的是，“任何”和“全体”并不一定相同:例如，“任何”自然数可以由+1形成，并不意味着形成的过程可以结束，从而形成“全体”自然数:只要过程还在进行，新的自然数就不断产生，“全体”自然数就永远无法形成。

数理逻辑对明显不同的“任何”和“所有”的混淆，是集合论大量错误的根本原因。

由于并不存在全体自然数，所以不能把自然数集合N定义已经包含了全体自然数的集合，但可定义为可以包含任意一个自然数的集合。

定义 1 可以包含任意一个自然数的集合，称为自然数集合。

2自然数集合唯一性的一些反例

任何理论，如果是正确的，在具体应用中绝对不会产生任何矛盾，否则直接证明理论是错误的。如果自然数集合的唯一性导致了其应用中的任何错误或荒谬，都直接证明了自然数集合不是唯一的。

例如，当我们使用自然数集时，数字往往有特定的单位。在这种情况下，不同单位对应的自然数集合通常是不同的。例如，如果有无限多的美元，用一组自然数表示，可以表示为{1美分，2美分，3美分...}或{$1，$2，$3...} .如果自然数集合是唯一的，就会得出1美分等于1美元的荒谬结论。

自然数集的另一个非唯一例子是由两个无限的班级组成的无限学校:假设每有一个学生被A班录取，B班就必须录取两个学生，两个班级的招生永远不会停止。

把学生在一个班级的排列结果叫做班学号，当然也可以有校学号。A班和B班的班学号和校学号可以表示为三个自然数集合。显然，B班的人数是A班的两倍，学校的人数是A班的三倍，因此，这三个自然数集合不可能是同一个集合，否则，我们就无法区分A班、B班和学校。

任何一个反例足以推翻自然数集合唯一的命题。不过，还可以做进一步的严格讨论。

3自然数集合的形成及其元素的数目

3.1自然数集合的形成

科学只不过是描述事实的概念体系。

比如我们要定义和研究自然数集合，首先要研究自然数集合是如何形成的。如果我们跳过这个至关重要的步骤，直接进入自然数集合的研究，有可能正在研究的集合可能永远不会形成，因此肯定不存在。研究不存在的东西在科学上是没有意义的。

任何自然数都是从1或0开始加一些1得到的，这是显而易见的事实。作为自然数集合中的任何一个元素，当然也不例外。不难看出，这个获取元素的过程一停止，就只能停止在某个具有固定值的自然数n*上，然后只能形成一个有限的元素集合，元素的数目为n*。所以，为了形成一个包含无限个元素的无限集合，上述过程永远不能停止，集合的元素数目也必须大于任意给定的自然数n*。

也就是说，只有当用+1方法形成自然数的过程永远不会停止时，才能形成元素数目大于任何预先指定的n*的自然数的无限集合。

由此我们可以看出，上述事实只能通过建立以下理论来描述:

(1)无穷自然数集是元素数目大于任意给定n*的自然数集；

(2)无穷自然数集的形成过程永远无法停止，即永远无法完成，所以只有在形成过程中的无穷自然数集，没有已经完成的自然数集；

(3)无穷自然数集合在形成过程中处于不同的形成阶段时可以是不同的，比如自然数集合A的元素数目刚好大于某个n*时，自然数集合B的元素数目可能已经大于2n*了。显然，A和B不是同一个集合。因为没有一个自然数集是已经完成的，因此，不可能有一个唯一的、已经包含了全体自然数de集合。

为了保证推导的严谨性，首先要定义元素数目的概念。

3.2集合元素的数目

定义2一个值从1开始一直通过+1递增的变量叫做递增自然数变量。如果这个变量没有上界，这个变量就叫做无界递增自然数变量，简称无界递增变量。

定义2的属性:

性质1:无界递增变量的值可以大于任意给定的自然数n*。

证明:如果无界增变量的值始终≤n*，则存在一个上界n*+1，与其定义相矛盾。

这里要注意，我们可以找到一个大于任何一个给定自然数的变量，但是我们不可能找到一个大于全体自然数的变量，这也是“任何”和“全体”不一样的一个例子，原因也在于，根本就不存在全体自然数这个概念。把“任何”和“全体”相混淆也是一种简单化现象。

定义3一个值大于任意给定自然数n*的无界递增变量称为无限变量，用n∞(或简单地用∞)表示。

3.3数学分析与本文符号∞的异同

从定义3可以看出，无限变量与数学分析中序列{n}: 1，2，3…的异常极限Lim _n®∞n=∞的定义没有什么不同，因为后者实际上也只说Lim _n®∞n=∞大于任何给定的自然数n*。这就是为什么该变量在本文中被称为无限变量，并用∞表示。_®∞®∞

这个概念清楚地保证了任何与自然数有关的无限现象都可以用无限变量来描述。

但本文给出了∞的精确数学含义:一个无界增量变量的任意大值，这样可以更科学地研究它。

例如，虽然∞的值可以大于任何给定的自然数n*，但这是根据变量的定义(参见性质1的证明)得出的，并不会改变∞只是变量的事实:其值没有上限的变量也是变量。由于∞只是一个变量，根据亚里士多德的演绎三段论，可以适用于任何变量x的公式，如x+1>x，x+x=2x>x，x/2<x，2x>x等等也可以适用于∞。即:∞+1 >∞，∞+∞= 2∞>∞，∞>∞/2，2∞>∞等也成立。然后，我们有

定义3的属性:

性质1无限变量∞可以像任何其他数学变量一样参与任何种类的数学运算。

由于无限变量∞只不过是一个取值于自然数的变量，因此

性质2:无穷变量∞可以用数学归纳法研究。

定义3的性质1和2在有限自然数和∞之间搭建了一座巧妙的桥梁，困扰人类几千年的无限问题将变得非常简单:所谓的无限，只是一个永远在增加的有限值而已。

显然，这些性质是非常重要的:在这篇论文之前，没有人知道符号∞的这些性质，它的应用也非常混乱。

但这里需要注意的是，在数学分析中，任何发散数列的任何异常极限都是用∞来表示的。这种表示过于粗略，无法区分不同的发散序列。在本文中，∞仅指数列{n}的异常极限，其他情况下的无穷往往根据性质1，2用f(∞)来表示，以此来理清各种无穷之间的关系。

定义4:对于序列{n}={1，2，3…n-1，n，n+1…..}和{m}={1，2，3…m-1，m，m+1…..}，当有一个函数m=f(n),称为关系函数，使得对于任意n > n*，m=f(n)>f(n*)，称{m}为{n}的相关无穷序列。

定理1:定义4中数列{m}的异常极限为f(∞)。

证明:将定义3分别应用于无穷变量n和m，我们有

Lim _n®∞ n=∞  and Lim _m®∞ m=∞_m,

由于m=f(n)且对于任意n > n*，m=f(n)>f(n*)，即当m®∞时, n®∞，所以∞_m =Lim _m®∞ m= Lim _n®∞f(n)= f(∞).根据定义3的属性1，最后一个“=”成立。

定义4和定理1定量而严格地研究各种无穷之间的关系，对于数学中无穷问题的研究也有重要意义。

例如，如果前面示例中A班的学生编号用{n}={1，2，3…n-1，n，n+1…..} 表示。而根据录取规则，B班的学号表示为{m}={1，2，3…2n-1，2n，2n+1…..}。因为有一个函数m=2n，所以对于任何n > n*，m>2n*，从定义4可以知道{m}是一个{n}的相关无限序列，根据定理1则可知其反常极限为∞m=2∞n，或者直接地

Lim _n®∞ 2n=2Lim _n®∞ n =2∞

再比如，如果用{n}表示小数点后的小数位数，用{m}表示小数个数，那么对于二进制，有一个函数m=2ⁿ，这样对于任意n > n*，m>2^n*，从定义4可以知道{m}是{n}的相关无限序列，根据定理1则可知其异常极限为∞m=2^∞或者直接地

Lim _n®∞(m)= Lim _n®∞(2ⁿ)=2^∞

这里还要注意，m=f(n)不一定决定{m}中每个元素的值，但是它决定了∞和∞m之间的关系。

显然，由于该方法可以揭示不同无穷之间的关系，因此有可能比数学分析更详细地研究不同无穷之间的关系。

无限变量可以用来非常清楚地表示一个无限集合中元素的数目。

定义5对元素的计数结果称为元素数目。

因为计数过程本身就是一个“每数到一个元素在计数结果加1”的加法过程:

  计数结果=1+1+1……

当我们计算元素的数目时，我们得到的只是一个递增的变量。在这种情况下，只有两种可能:

1)如果计数过程可以结束，那么递增变量可以在有限自然数n*处结束，

计数结果=1+1+1……= n^*

这时显然被计数的集合是一个有限集；

定义5的属性:

性质1:有限集的元素数目可以用自然数n*来表示。

2)如果被计数的集合不是有限集，那么计数过程永远无法结束，只能得到值大于任意给定n*的无穷变量。因此，我们有:

计数结果=1+1+1……=∞

性质2:集合的元素数目也可以是无穷变量。

定义6:元素数目为无限变量的集合称为无限集合。

既然没有第三种可能，对于无限集合，我们永远不可能得到一个固定的无穷大值，而只能得到一个递增的变量，一旦计数的过程已经结束，就只能在有限个自然数上结束，所以不可能有固定的无穷大值。

定理2:不可能有固定的无穷数来描述自然数集合的元素数目。

证明:根据定义6并结合定义5的性质1和2，无穷自然数集合的元素数目为无限变量∞，有限自然数集合的元素数目为n*，不存在第三种自然数集合，所以，不存在固定的无穷数可以用来描述任何自然数集合的元素数目。

定理2的数学意义是显而易见的:既然这里没有一个固定的无穷数来描述自然数集合的元素数目，那么也就不存在一个具有不变外延的无穷集。所有建立在固定无穷数基础上的理论，比如超穷数理论，都是错误的。

存在固定无穷数的错误观念从根本上混淆了有限集和无限集的区别，因为只有对于有限集，它的元素数目才能是一个固定的数。

科学只是用来研究和描述事实的，任何与事实相冲突的想象都是错误的，必须摒弃。相反，用主观愿望和想象代替事实，用不存在的东西作为理论的出发点，完全是削足适履，本末倒置。

其实在数学中，对变量的识别和对变量的各种处理已经是一件很简单很成熟的事情了，而集合论的外延却排斥变量，还停留在常数数学的原始阶段，这真的很讽刺。

根据定义3的性质1和定义6，我们有定义6的性质:

性质:无限集合的元素数目是可加的。

例如，对于无限集合A和B，如果它们的交集为空，∞AUB=∞A +∞B

虽然无穷集合的元素数目的概念实际上应用广泛但不精确，本文首次严格地定义了这个概念并给出了它的性质。

注意康托的基数概念，它通常不像∞那样是可加的。比如对于元素数目,∞+∞=2∞，但是对于基数a+a=a。

另外，虽然我们不能给出任意无限集合中元素数目的固定值，但我们可能根据性质给出不同集合之间的固定的相对值。例如，如果N0 = {0}UN，根据定义6的性质，当N中没有0元素时，∞_N0=1+∞_N

该结果可以这样理解:N是N0的真子集，每一个属于N的元素也属于N0，所以虽然N的元素数目在不断增加，但是N0的元素数目也在同步增加。但是元素0永远属于N0，而不属于N，也就是说，N0永远比且只比N多一个元素0。

注意，这个事实虽然非常简单明了，但却非常重要，可以表述为:

定理3任何无限集合中元素的个数都大于它的任何真子集。

证明:对任意无限集合A，若其包含真子集B，则A=B U(A-B)。根据定义6的性质，∞_A=∞_B +∞_A-B因为B和(A-B)的交是φ。由于A-B≠φ，即∞_A-B >0，因此∞_A=∞_B+∞_A-B﹥∞_B.

定理4元素数目不同的两个集合之间不能建立任何一一对应关系。

证明:设集合A和B的元素数目不同且不失一般性，设∞_A >∞_B,则A中总有元素∞_A -∞_B，在B中不存在原像，即A和B之间的单射不是满射。

例如，有一组房间和一组乘客具有相同数量的元素。如果有一个新的乘客，根据定义6的性质，乘客的集合比房间的集合多一个元素，根据定理4，两个集合之间没有一一对应关系。因此，

推论不存在无限旅馆悖论。

定理3和定理4的比较清楚地引出了定理5:

定理5一个无限集合不能与它的真子集一一对应。

同样的，

推论2自然数集合不能与它的偶数真子集一一对应。

推论3有理数和它的自然数真子集合不能一一对应的。

然而，尽管上述推导非常严谨清晰，没有任何瑕疵，但它显然与现有理论相冲突。例如，康托确实在有理数集和自然数集之间建立了一一对应关系，他似乎也在N0和N之间建立了一一对应关系。

问题出在哪里？

4自然数集合非唯一性的理论基础

有了元素数目的确切概念，就很容易从理论上严格证明自然数集合的非唯一性。

定理6自然数集合不是唯一的。

证明1:假设集合N = {1，2，3，...}是唯一的，即没有其他自然数集合，N的每个元素加1得到集合T = {2，3，4...}.它的元素可以严格地一一对应于N，即∞_N=∞_T，那么N*= {1} U {2，3，4...} = {1, 2, 3...}也是自然数集合，但根据定义6的性质，∞_N* =∞_N+1，即N*的外延与N不同，所以自然数集合N*≠N，这与N是唯一自然数集合的假设相矛盾。

证明2:假设集合N={1，2，3...}是唯一的。设A1={y|y=2x，x∈N}={2，4，6，....}，A2={y|y=2x-1|x∈N}={1，3，5，...}.因为A1和A2严格一一对应于N，即根据定理4, ∞_A1=∞_A2=∞_N,因此，根据定义6的性质，自然数集合A3 = A1 UA2具有的元素数目是N的两倍，不是集合N，与N是唯一自然数集合的假设相矛盾。

证明  3:设N={1,2,3.... N -1, N, N +1.....}, M ={1、2、3……m - 1, m, m + 1……}并且存在函数m=f(n)≠n，使得对于任意n > n*， m=f(n)>f(n*)。根据定理1和定义6，∞_N≠∞_M。因此，虽然N和M都是自然数集合，但它们是不同的 

在严格证明自然数集合的非唯一性后，很多数学问题就可以变得非常清晰。

比如前面提到的，对于N0={0}∪N ={0}∪{1，2，3，...} = {0,1,2,3,...}，∞N0=1+∞N，根据定理5，N0不能与它的真子集N一一对应，但康托尔建立了以下N→N0的所谓一一对应

  N₀  ：   0,  1,  2,  3,...

                ½    ½   ½   ½

  N  ：   1,   2,  3,  4,...

当然，根据定理4和定理5，上面所谓的一一对应是错误的。

根据定理4，真正的一一对应应该是

  N₀  ：   0,  1,  2,  3,...

          ½    ½   ½   ½

 N₁ ：   1,   2,  3,  4,...

这里，N₁是另一个自然数集合，根据定理4,∞_N1 =∞_N0 = 1+∞_N.

很明显，康托的错误是把N₁误认为N，所以N₁对应于N0的事实被误认为N0对应于它的真子集N。他的错误的根本原因是他没有认识到自然数集的非唯一性:尽管N和N₁都可以写成{1，2，3...}，都是自然数集合，但却是元素数目不同的自然数的不同集合。

以下是一些更重要的应用。

5自然数集合的非唯一性的应用

5.1彻底消解伽利略悖论

伽利略悖论，虽然有近400年的历史，但是对数学史的影响很大，它指的是自然数中偶数的个数，当然只有自然数的一半，但是偶数可以和自然数建立一一对应关系(见集合A1)，说明偶数和自然数N的个数完全相同，然后悖论就出现了:∞/2=∞？

为了“消除”这种悖论，康托尔不得不避开直观准确的元素数目概念，建立了所谓的基数理论，公然把一半的元素和所有的元素混为一谈，即它们有相同的基数！

好像当分不清∞和∞/2的区别的时候，只要就说∞=∞/2，然后就不用说∞和∞/2的区别了！

这是科学研究吗？还是只是个玩笑？

伽利略悖论可以很容易地用自然数集的非唯一性来解释:既然自然数集合不是唯一的，那么偶数集合当然也不可能是唯一的。所以，如果让E表示N的偶数真子集，E≠A1是完全可能的。另一方面，当E≠A1时,∞_E≠∞_A1也完全正常。所以:

不存在伽利略悖论。

将A1误认为是N的偶数真子集是错误的根源。

事实上，A1不是N的真子集:A1和N的元素数目相同，根据定理3，N的真子集的元素数目一定比N的少，所以A1不可能是N的真子集。这就是问题的症结所在，无论是伽利略、希尔伯特还是康托尔都没有正确搞清楚。

此外，根据定理5，集合N与E之间也不存在一一对应关系:集合E只能与集合N中的一半元素形成一个单射，由于集合N中的另一半元素在集合E中找不到原像，所以这个单射不是满射，因此“任意无限集合都能一一对应其真子集”的结论只是对伽利略悖论的曲解，完全错误，如定理4和定理5所示。

5.2驱散N和Q上空的迷雾

康托尔建立了有理数集合Q与N之间的一一对应关系，这个事实看起来也令人费解，而且明显违反直觉:每个自然数都是有理数，但不是每个有理数都是自然数，因此自然数的数目一定比有理数的数目小得多。但根据定理4，严格一一对应的两个集合必须有完全相同的元素数目，这显然是矛盾的。而且根据定理5，N只不过是Q的一个真子集，它们之间也不可能建立一一对应关系。

在作者之前，没有人能够解释到底发生了什么。但根据自然数集合的非唯一性，这个问题也很容易解决: 根据定理5，与Q一一对应的自然数集合不可能是它的真子集，而根据自然数集合的非唯一性，只能是另一个自然数集合(用N2表示)。

与有理数集Q一一对应的自然数集不是Q的真子集，而是另一个自然数集合N2。

康托的错误是把N2错当成了N，所以把N2一一对应于Q的事实错当成了Q一一对应于其真子集N，他错误的根本原因也是没有认识到自然数集合的非唯一性。

如果相反，我们坚持Q可以和其真子集N一一对应，我们就会陷入部分可以等于整体的反直觉悖论。当然，这是错误的。

局部不等于整体。

5.3不同长度线段之间和不同维度空间之间的一一对应

因为自然数集合不唯一，所以由无限小数的小数位数(小数点后的位数)所形成的与自然数集合一一对应的集合也不唯一，也就是说

无限小数的小数位数不是唯一的。

因此，不弄清楚小数位数，就不可能精确地讨论相关问题。

例如，要使两个同心圆上的点一一对应，圆上的点数必须相同。

单位长度上的点数称为线密度。显然，半径越小，同心圆的线密度越大。当两个同心圆的半径之比为X时，为了保证两个圆上的点数相同，它们的线密度之比为1/X。设A和B两个同心圆上的点的小数位数分别为∞_A和∞_B，那么，对于二进制小数，线密度分别等于2^∞A和2^∞B，线密度的比值为X=2^∞A-∞B，当X=2，∞_A-∞_B=1时，即小数位数相差1，同心圆上的点可以一一对应。

本文首次解决了同心圆问题。

因此，不谈小数位数，讨论一一对应是没有意义的。

康托尔根本没有注意这些细节，所以他的理论过于松散和粗心。

同心圆问题从中世纪开始就一直困扰着人类。因此，伽利略认为讨论无限问题毫无意义。康托尔没有解决这个问题，而是扩大和推广了这些错误，例如认为不仅不同长度的点可以一一对应，而且有限长度的点也可以一一对应到无限长度，据此，如果有不止一个宇宙，那么一个纳米上的点就与跨越几个宇宙的直线上的点一样多！

根据文中的分析，由于没有提到小数位，这些理论并不严格，也没有意义。

康托尔对不同维度空间一一对应的论述更为松散和荒谬。

设二进制小数位数为∞_A，则单位长度上的小数位数为2^∞A，单位正方形上的小数位数为2^2∞A，可以看出，如果小数位数相同，则一维空间和二维空间的小数个数不同，根据定理4，一维空间和二维空间不存在一一对应关系。但是康托尔确实建立了一维空间和二维空间的一一对应，那么这是怎么回事呢？

其实很简单。我们只看小数位数为∞_B的线段，设2^∞B =2^2∞A，即设∞B=2∞A，我们可以建立小数位数为∞_B的线段上的点与小数位数为∞_A=0.5∞_B的平面上的点之间的一一对应关系。换句话说，当一个线段的小数位数是一个平面的小数位数的两倍时，就可以建立一个一维线段和二维平面点的一一对应关系。这正是康托尔所做的:他把直线上的点的小数的奇数或偶数小数位数当作平面上的小数，显然平面上的小数位数正好是直线上的一半。

只是他对小数位数的非唯一性一无所知，所以包括他自己在内没有人能在作者之前解释他的理论。不提小数位数，这些理论没有普遍意义。

上述讨论可以总结如下。

当无限小数的小数位数相同时，不同维空间之间不存在一一对应关系，不同长度段之间也不存在一一对应关系。

5.4是否存在不可数集合

自然数集合的非唯一性的引入，不仅暴露了上述违反直觉的陈述的逻辑错误，也暴露了其他违反直觉的陈述的逻辑错误。

比如，如果我们根本不知道可数集合和不可数集合的存在，就没有理由认为存在的东西不能一一列举。所以，如果我们有无限个无限小数，当然可以一一列举。

a₁:0.a₁₁a₁₂a_13....

a₂:0.a₂₁a₂₂a₂₃....                           (1)

a₃:0.a₃₁a₃₂a₃₃....

.......

...

...

其中，下标j (j = 1，2，3.......)表示小数位数，下标i (i = 1，2，3.......)表示小数本身的个数。

由于下标只能用自然数表示，所以任何下标集合只能是自然数集合。但在有限和无限两种情况下，小数个数总是远大于小数位数，以二进制小数为例，在有限的情况下，小数个数m等于2ⁿ，这里，n是小数位数，在无限的情况下，小数位数和小数个数都可以表示为自然数集合，分别用N和N3表示。

根据定理1，我们可以得到∞_N3=2^∞N，这意味着

N ≠ N₃                                                                                 (2)

完全符合定理6。

然而，在对角线论证中，康托令。

b=0.b₁b₂b₃...，                            (3)

这里,

b_k≠a_kk, （1,2,3,...)                        (4)

，

根据(3)(4)，b似乎不同于(1)中的任何小数，从而似乎与(1)已经列出了所有小数相矛盾。

根据康托尔，矛盾产生于可数性假设。如果他的推论一直以来只是唯一的可数性假设，那就好了。

然而，康托没有看到的是，a_k的下标和a_kk中的第一个下标都属于集合N3，而a_kk中的第二个下标属于集合N，因为所有三个下标总是由相同的k表示，这意味着等式(4)仅在N3 = N，即∞_N3=∞_N的错误假设下成立

显然，在推导中引入另一个错误的假设，不可能确定哪个假设对矛盾负责。所以，对角论证并不能证明实数是不可数的。

严格的反证法应该只有一个假设，不能引入其他假设。

然而，一旦我们承认(2)，即去掉N=N3的错误假设，我们发现矛盾不再存在。

实际上，矛盾只在N3 = N时出现，在这个假设下，行下标集和列下标集的元素数目完全相同，形成一个无限的∞_N*∞_N方阵，b显然不在这个方阵中。然而，由(3)(4)可见，b并不是唯一的,所以实数b的存在仅证明了∞_N3≥1+∞_N，显然，实际上与(2)并不矛盾，因为∞_N3=2^∞N≥1+∞_N

所以，所谓的矛盾，只产生于N3 = N这个人为的错误假设，也就是对角线论证只证明了(2)，与N3是否可数无关。事实上，N3本身就是自然数集合，怎么可能不可数呢？

由于(1)实际上并不引起任何矛盾，而且N3本身就是自然数集合，(1)直接证明了：

实数是可数的。

事实上，国内外很多人都对对角线的说法有所怀疑。试想，一个清晰严谨的定理，比如勾股定理，会有人质疑吗？

如果我们把康托定理应用到自然数集合上，众所周知，N的幂集P(N)可以对应二进制小数，因此P(N)对应自然数集合N3。

只要承认有不同的自然数集合，无论是对角线论证还是康托定理都没有证明实数是不可数的。

康托最初证明实数不可数的方法是闭区间法。这个想法也是首先假设实数是可数的，一一列出它们[见(1)]，如果有人能找到一个实数的话

q≠a_i (i=1，2，3...)                         (5)   

他认为他已经证明了实数不可数。为此，康托尔将区间分为

I₁ É I₂ É I₃ É…                    （6）

并设法使(5)成立。

这里也有两个不同的自然数集合:除了与小数一一对应的N3集合[见(1)]外，还有一个由(6)中的下标组成自然数集合，用N4表示。很明显，只有在下列情况下,( 5)才成立

∞_N3<=∞_N4                               (7)

这是因为，该方法只能保证公共点的下标不在N4中，因此，如果∞_N3>∞_N4，它不能保证该点不在N3中。

但是康托尔没有证明(7)，所以该方法也没有证明实数是不可数的。

实际上当我们把每个区间分成三部分时，区间的端点只是有理数，所以∞_N4<∞_N3。

在证明自然数集合不唯一的基础上，不难证明

定理7不存在不可数集合。

证明:任何无限集合中的每一个元素都是互不相同的，因此，这些元素中的每一个都可以有一个递增的数字下标，并且这些下标可以形成一个自然数集合。康托定理的证明表明，存在互不一一对应的无限集合，因此必然存在互不一一对应的下标自然数集合，而根据定理6，这并不会导致任何矛盾(如前所述，康托在他的对角线论证中遇到的所谓矛盾，只是由于他粗心地混淆了行下标和列下标，本质上是混淆了不同的自然数集合，实际上并不存在)，即不存在不可数集合。

应该指出，这个证明只涉及康托定理的证明，而不涉及康托定理本身。这是因为康托定理本身的表述使用了基数的概念，而我们没有使用基数的概念，以防止与本文提出的精确明确的元素数目概念相冲突。这个证明只需要存在不能一一对应的无穷集合这一结论即可。

例如，如前所述，有理数集合Q与自然数集合N2一一对应(N2不是集合Q中包含的自然数集合)，实数集合R与自然数集合N3一一对应[见(1)].即使N的幂集的幂集，即P(P(N))甚至更大得多的集合，也能与一自然数集合一一对应......

既然不存在不可数集合，因此，所谓的连续统假说和大基数理论就没有任何意义。

数学史走了一个大弯路。

6讨论

本文在严格定义了任意集合元素数目的基础上证明了不存在固定的无穷数，故不存在具有不变外延的无穷集,同时证明了自然数集合的非唯一性。

不难发现，元素数目这一概念不但比基数概念直观得多，而且比基数概念要精确、严格得多，使用起来也要方便得多。例如，用基数概念不一定能够区分不同的自然数集合，比如无法给出无限学校与无限班级的区别，也无法给出无限班级A和B的区别，用元素数目这一概念却可轻而易举地给出这些区别。

   本文至少用元素数目这一概念讨论了五个不同的自然数集合；N，N1到N4，它们都可以写成{1，2，3...}，但是元素的数量不同。康托尔混淆了这些不同的自然数集合，从而产生了大量的悖论和错误。比如，他未能看到N1比N多一个元素，于是错误地认为N0可以与N一一对应，并错误地得出无限旅馆悖论和无限集合可以与其真子集一一对应的结论，并导致部分等于全部的悖论；比如他没有看到N2和N的区别，从而错误地认为N可以比N大得多的有理数集合Q(QÉN) 一一对应，他也没有看到N3和N的区别，从而错误地认为实数是不可数的......

喜欢探索真理的人可能还是会疑惑，既然自然数集合的元素都是自然数，那么是什么原因导致它们不一样呢？

答案是形成自然数集合的过程永无止境，所以没有共同的终点：由于自然数集合总是在形成的过程中，所以不能保证所有正在形成的自然数集合一定是相同的。这就是为什么自然数集合可能是不同的原因。

仍然以无限大学校为例，A班每增加一个学生，B班就增加两个学生，得到的集合在任何时间包括无限大时间都不可能相同。

所以，问题的关键在于本文的无限观；无限不可能有终点，即不能完成。

无限能否完成，不是靠猜谜或者站队就能解决的问题，而是客观事实究竟是如何的科学问题。

要特别注意与无穷有关的问题的可完成性和无穷本身的不可完成性之间的关系。一个典型的例子是收敛数列的极限:数列的极限值本身是确定的，但数列的项是无穷多的，无法用一个确定不变的常数来表示其项数。

例如，当n→∞时，Lim(1/n)=0，其中极限零是不变值。由于数列极限是与无穷有关的概念，所以极限的不变性容易被误解为无穷本身的可完成性。比如因为思维过于自由而严重缺乏严谨性的康托尔，就是这样理解的，从而强调了相信无限可完成的实无限观。事实上，他完全错了:极限的确定性是基于无限的不可完成性基础上的。仍然以上面的数列极限为例，如果无穷过程n→∞可以终止或完成，根据数列极限的定义，n就只能在某一个有限的自然数（用n^*表示）处终止或完成，那么得到的值就是一个大于0的有限值1/n^*。

也就是说，只有当无穷过程n→∞没有终点，即不能完成时，数列项的值才能趋于一个不变的0。或者说无穷的不可完成性是极限值确定性的必要条件。

确定性的东西要由不确定性来保证，事情就是这么奇怪，然而，事实就是这样。

难怪几千年来有那么多人要搞错，甚至在本文之前，未必有人真正说清楚。不然的话，所谓认为无限可以完成的实无限观怎么还会有那么大市场，甚至成为集合论的哲学基础？

注意，以上讨论与时间无关。比如当n→∞时，可以规定1）n每1秒增加1，也可以规定2）n每零秒增加1，但不管如何规定，无穷大不能完成的结论不变。

显然在规定1）时，达到极限需要无限长的时间，而在规定2）时，只要时间大于零，极限零即可达到。由此可知，极限不一定不可达，但无限永远无法完成。

极限值本身与计算所需要的时间也没有关系。

再比如加和0.3+0.03+0.003+...的极限值是1/3，达到极限的必要条件是加法的项数是无穷的，加法过程不能终止或完成:如果可以终止或完成，那么其和< 1/3，即达不到极限。

事实上，关于无限的争论源于未能正确理解无限的不可完成性。例如，如果否认无穷的不可完成性就会产生集合论的各种悖论，比如本文讨论的基于错误的自然数集合唯一性的各种悖论；如果把无穷的不可完成性看作极限的不可达性，就会产生芝诺悖论等各种悖论。

在芝诺悖论中，设快跑者和乌龟的初始距离S=（1/3）米，快跑者的速度是每秒（1/3）米，乌龟的速度是每秒（1/30）米，相对速度是每秒0.3米。求追上所需要的时间t。

小学生的计算方法是初始距离除以相对速度，结果，t=（1/3）/0.3=1.111……秒，

      芝诺的问题是，快跑者第1次用1秒时间跑到乌龟原来的地方1/3 m时，乌龟前进了1/30 m, 快跑者第2次用0.1秒跑到(1/3+1/30) m处时，乌龟又前进了1/300  m，快跑者第3次用0.01秒到了(1/3+1/30+1/300) m时，乌龟又前进了1/3000 m，……似乎永远追不上乌龟。也就是说，芝诺的算法是将追赶时间分成无限项之和

t=1+0.1+0.01+……

  芝诺的追不上结论实际上相当于认为，既然有无限项，每次又只能加一项，所以永远加不完，达不到极限1.111......，于是就得出了快跑者永远追不上乌龟这一结论。

也就是说，追不上这一结论相当于数学分析中的“极限只能无限接近，永远不能达到”。

追不上这一结论显然与事实不符，但似乎人们难以反驳其逻辑，于是就成为了一个延续了两千多年的悖论。即使到了今天，“极限只能无限接近，永远不能达到”也仍然是很多人的看法

 但无限项为什么就一定加不完呢？

 坚持这个结论的人，其实脑子里都认为，每加一次都是需要时间的，所以加不完。

       问题在于①做加法为什么一定需要时间？②计算结果t=1.111……是否一定要做无限次加法才能知道？能否仅凭观察就能得到？③t=1.111......与加得完加不完有没有关系？如果没有关系，为什么一定要加完？④就算每加一项一定需要时间，加无限项就意味着一定要无限多时间吗？⑤就算加无限项，一定需要无限多时间，这个时间与追赶所需要的时间又有什么关系？难道一定要算好了才能追赶？

       显然，其中任何一个问题都至少可以对芝诺悖论构成质疑，有的(例如第⑤个)则可以直接推翻芝诺悖论。

       不仿具体分析如下:

       ① 随着计算机越来越发达，计算所需要的时间越来越短，假定计算所需要的时间可以忽略不计，即可设零秒加一项，那么t﹥0时就达到了极限。②计算结果凭观察即可知道，并不需要加无限次。③计算结果是确定的，与算到哪一项没有关系。④有限时间内也可以计算无限项，比如，如果计算第一项需要(0.5)¹秒，计算第二项需要(0.5)²秒……计算第n项需要(0.5)ⁿ秒，则1秒时即计算了无限项。⑤追赶所需要的时间和计算所需要的时间完全没有关系:人是用脚走路的，不是用脑子走路的，所以不需要算完了才去追赶。

不但走路所需要的时间与在头脑中如何计算完全无关，而且，极限值本身与计算所需要的时间也没有关系。也就是说，无论做一次加法需要多少时间，都不会影响最后结果，既然如此，我们完全可以设每加一项只需要零秒，这样做并不会影响最后结果，于是t>0时就可以计算无限项，极限自然就可以达到了，更不存在追得上追不上这一问题。

芝诺之所以会得出追不上这一悖论，是因为误以为计算所需要的时间与走路所需要的时间有关，比如如果每加一项需要1秒，那么加无限项就需要无限秒，于是就永远追不上了。

其实，即使加和需要无限长的时间，极限值本身也不会变，所以走路所需要的时间即极限值仍然是1.11……仍然是追得上的。

所以，芝诺悖论的本质不过是混淆了实际发生的事情和人们头脑中发生的事情：把走路所需要的时间和计算所需要的时间混为一谈了，后者所需要的时间实际上是不需要考虑的。

不过，并不是所有的极限都是可以达到的。例如，任何一个计算圆周率的公式都需要无限多时间，运行时间内永远达不到极限。这时，如果假定每加一项只需要零秒，结论就完全不符合事实了。但像0.3+0.03+0.003+……=1/3 这样的计算，实际上并不需要一项一项计算无限项，就可以知道其结果，所以完全可以设每加一项只需要0秒。

其实，即使在追赶问题中需要计算圆周率，也并不等于就追不上了。如前所述，人是用脚走路的，不是用脑子走路的。走路所需要的时间与计算需要的时间完全没有关系。

把完全不同的东西混为一谈，是所有悖论的根源，芝诺悖论不过是其中一个。

笔者在悖论问题上有多篇文章，有兴趣的读者可以参看前面的文章。

总之，无限可能达到（例如极限可能达到），但永远不能完成。且无限的可能达到性正是建立在无限的不可完成性基础上的。

这是问题的关键所在，也是无限问题的难点所在。

只要思维足够清晰，不过于简单化，没有想不清楚的事，当然也没有因为想不清楚而说不清楚、而只能不说的事。所以，维根斯坦未必正确: 说不清楚了，可以去想想清楚再说，而不是只能保持沉默不说、

由于传统集合论的无限部分是建立在无限可以完成，故可以获得已经包含全体自然数、外延固定的集合的基础上的。这个基础是错误的，结果也必然是错误的。在基础不扎实之前，建议教育部门暂时取消无穷集相关的教学，以免误导学生。

本文还发现，康托尔几乎所有的反直觉理论在逻辑上都是错误的。在数学史上，有一场直觉主义和逻辑主义的争论。曾经，逻辑主义盛行，直觉被认为不可靠。康托尔的理论在这一哲学基础上被广泛接受。我国的数学教材在介绍这段历史时也还停留在这个层面。但根据清华大学邹晓辉的说法，最近，直觉主义逐渐发展得更加迅速。事实上，随着人们观察范围的日益扩大和细化，错误的直觉通常很容易被发现和纠正。相反，一些隐藏的逻辑错误往往不太容易被发现和纠正。证据就是大量悖论的存在。因此，如果直觉和逻辑之间长期存在难以解决的矛盾，很可能是逻辑错了。

在科学发展的过程中，只强调一面的理论只能存在于一定的发展阶段，而在相对成熟的自然科学中，不应该出现一个长期只强调一面的理论。在我看来，直觉主义和逻辑主义必须统一。由于人们并没有非常高的逻辑思维能力，所以当逻辑和直觉发生冲突时，人们首先要仔细检查逻辑，而不应该一味幻想“逻辑是可靠的，直觉不可靠”然后让可能的错误继续下去。比如直觉告诉我们，任何确实存在的东西都是可以一一列举的，任何可以一一列举的东西都可以用自然数来编号，也就是说，任何一个集合，不管它是大是小，总是可以和自然数集合一一对应。由于自然数集合不是唯一的，所以上述操作不可能导致任何矛盾。但康托尔粗心地混淆了不同的下标，人为地导致了原本并不存在的矛盾，从而“证明”了不可数集合的存在。

本文发现，康托尔的思想虽然富有想象力和创造性，但严重缺乏严谨性和细致性:许多细节和许多明显的矛盾都是他看不到的。缺乏严密的逻辑思维能力，还要迷信逻辑，是他的理论错误百出的原因。

在最严谨的数学中也有如此多的错误，而且在如此长的时间里没有得到纠正，这一事实表明，人类的逻辑思维能力还需要大大提高。没有人能够确定他一定是正确的。所以，把自己的观点，包括意识形态和价值观，强加给别人，甚至不惜诉诸武力，把人类推向自我毁灭的核战争和生物战，是愚蠢的。

该文已经在预印本网站上发表（ http://viXra.org/abs/2310.0054）。以上是译文。

后记：

         上面是我最近与网友的一个讨论页面。这里所谓的唯物主义是指机械唯物主义。该哲学观是大约在我17岁时候形成的，距今已大约有半个世纪了。“初生牛犊不怕虎”，当时的感觉是，既然机械唯物主义和唯心主义都不值一提，好像世界上值得一提的其他哲学观就不多了，甚至形成了一种奇怪的错觉，似乎自己来到这个星球是有“使命”要完成的。

        由于当时自己年龄尚小，也不敢把自己的这些感觉太当一回事。

        后来我成了77级大学生的中的一员，那一年有十三届中学毕业生考77级。由于我学的是理工科，不再研究哲学，但一直保留着爱思考，敢于挑战的习惯，特别喜欢做一般人认为不可能做到的事情。比如说我只读了一年初中，就在没有任何人指导的条件下考入了大学，比如不考研究生，博士生就直接发表SCI论文，再比如在大学里我是学化学的，一般学化学的数学都不太行，但是我偏要发表数学论文，而且发表得还不少，占了我所有发表论文的半壁江山，其中也有被SCⅠ收录的。再比如1996年时，当时同济大学几千个教师，有6篇文章被SCI收录，已经觉得很了不起了，我处于一个学术氛围远不如同济大学的非重点大学，一个人就有3篇文章被SCI收录。

      不过以前发表的数学论文都是计算数学方面的文章，那完全是硬碰硬的“硬”科学，不但要理论推导，还要编程实践，有时侯电脑一算就是几天几夜。退休后觉得再搞“硬”的东西有点太吃力了，开始搞相对比较“软”的科学，也就是集合论。结果发现其中有大量的悖论，有的悖论还是几百年甚至几千年没有很好解决的。这一下子又挑起了我的好战心:我不是最喜欢做别人做不到的事情吗？为什么不来解决这些悖论呢？于是开始了我的解悖之旅，这一解不要紧，一晃八年过去了……

      到这篇文章为止，我几乎已经完美地解决了所有碰到过的数学悖论 。

      光明日报社有编辑找到我，希望资助我出书。

      或许我的“使命”已经完成？

另外，尽管我已经不再研究哲学，但一些基本思想还是挥之不去，例如本文的“科学不过是描述事实的一个概念体系”这句话就源于《科学整合之初探》一文。这句话看似简单，其实有两层意思，一个意思是一切都要高度尊重事实，包括人对事实的直接感受即直觉，例如本文发现康托所有反直觉的东西，逻辑上都是错误的。另一个意思就是既然是概念体系，而概念体系都是人构筑的，这就给思想在一定范围内的自由创造提供了很大的空间: 只要与事实不相悖，概念体系就可以不是唯一的。比如为了比较集合的大小，康托定义了基数概念，我则定义了更直观的元素数目概念。由于概念体系可能不一样，这就又有了一个不同体系的优劣比较和取舍问题。由于概念体系不过是用来描述事实的，体系的好或不好，当然就应该看描述得是不是准确，清楚，且自圆其说。例如，用基数概念来描述集合的大小，连大小相差好几倍的集合也无法区分，更不要说精确的区分了,用我的元素数目理论，哪怕两个集合只相差一个元素,也是可以区分的，谁优谁劣一目了然。至于自圆其说，康托的理论非但不能解决任何一个历史上已经存在的悖论，比如同心圆悖论，伽利略悖论，而且还试图将这些悖论合法化，说成是无限的特点，好像客观存在的矛盾，只要随便找一个理由不承认就可以不存在了一样，从而扩大了这些悖论错误的范围，“创造”了更多的匪夷所思的反直觉悖论，比如无限旅馆悖论，康托悖论， 一滴水里面包含的点和整个大海的点一样多，一维等于n维，以及仅仅因为粗心大意地混淆了不同的下标这一低级错误而出现的所谓反直觉的不可数悖论等等，所有这些荒唐的悖论已经被我的理论全部消灭！