在《相对论与大地测量—由广义相对论推算大面积大地测量中的方位扭转（1）》中，详细介绍分析了大面积大地测量中出现的方位扭转，强调指出，必须从广义相对论的全面基础理论上来认识，才能解释并计算出这系统性的方位扭转数值。现在介绍运用广义相对论来推算大面积测量中的方位扭转数值。由于这个方位扭转本质的独立性，它和传统大地测量学任何理论上的细致“改正”无实际联系；也根本和拉普拉斯控制无任何相通相同之处。又基于地球半径近6400公里之大，上文所述的“A”点和“B”点在高山顶上或参考椭面上也决不会有任何实际区别，故谈不上“大地原点”和“参考椭面”的选用对计算方位扭转有影响。所以数学推导就可以把地面当作旋转圆球面看待。

 首先运用广义相对论分析推算一个绕轴自转球面上连接两点的大地线因自转而发生弯曲偏转的角度。

 考虑一个绕轴自转的球面，它被安嵌在外围的静态欧氏空间中。由于旋转球面上每一个固定点相对其外部空间的位置与时间有关，我们分别引入一个固定在旋转球面上的参考坐标系S，其广义四维曲线坐标为（x^ν）=（R, λ, φ, ct）；和另一个固定在外部欧氏空间中的惯性坐标系S₀，其四维坐标为（X^μ）=（X，Y，Z，cT）；来描述和确定旋转球面上每一点的位置。从旋转球面外围欧氏空间的惯性坐标系S₀看旋转球面上的参考坐标系S，两套坐标之间的变换关系X^μ=f^μ(x^ν)为：

X=R cosφcos(λ+ωt) ,  Y= R cosφsin(λ+ωt) ,  Z=R sinφ,  T=t      （1）

  这里R 是球半径，（λ, φ）是球面上的经、纬坐标，ω球面自转角速度。

 旋转球面上的四维空间线元为：

    ds² = g_μνdx^μdx^ν     （2）

这里g_μν是度规张量，它完全确定旋转球面上的四维黎曼几何性质。为了求得g_μν，可以应用连续可微函数X^μ=f^μ(x^ν)，将线元（2）式变换到惯性坐标系S₀中去。在S₀中，这线元为：dS² = G_μνdX^μdX^ν      

 自转球面的固有几何性质完全由度规张量g_μν确定，作为一般坐标（x^ν）=（R, λ, φ, ct）函数的度规张量g_μν一旦求得，大地线、两相交大地线的夹角以及沿连接两点的大地线测得的两点间距离都能完全确定。同样也能在自转球面上，考虑在由大地线组成的三角形中推演几何定理。地球的自转效应会通过计算子午线和其它一些大地线（如前文所述从A点向东北伸展到B点的相当长的大地线AB）的夹角θ 而自身显示出来。事实上，当沿着大地线AB移动时，连接两点的大地线因自转而产生弯曲扭转，其方位角θ将改变，这就是由于地球的自转引起的方位扭转。

 所有的推演计算都严格按照传统广义相对论的标准理论进行，可参阅[1]C. mɸller, The Theory of Relativity , [M] , London :Oxford Press ., 1952, 233-239。C. mɸller, 在他的相对论著作里分析论述了一个旋转圆盘的“非欧几何”性质，他在那里虽未明白提出旋转圆盘上的“方位扭转”，但从圆盘上弯曲大地线的分析，已具备此义。详细的计算过程可参阅我们已发表的文章[2]Dong Jun , The Azimuth Twist in a Large Scale Surveying Deduced From General Relativity , Manuscripta Geodaetica [J] , 1993, 18 , 343-348 , ©Springer-Verlag 1993 。我们得到长度dσ大地线上的方位偏转数值 dθ 为：

     （3）

 从（3）式中可以看到球面有无旋转的区别非常明显，即有无“ω”项的区别。

现在根据（3）式，对大面积大地测量中的方位扭转数值作一个正确的估算。首先，取，，，算得。所以，（3）式中方位扭转改正项为：

 取的中值意义，计算一条边长为的观测边上的方位偏差为：

这里φ是观测边首尾二点间中纬度，θ是由北顺时针方位。将角的单位“弧度”化为“秒”：

         （4）

 上面算得的方位偏差“Δθ””十分微小。但必须注意，（4）式是就每条观测边被照准一次言，它是由于地球自转导致光在距离为Δσ的被测点和测站间行走一次产生的方位扭转的改正数值，即光线由于地面依地轴自转作了一次扭转后的方位扭转改正数值，其微小是合情合理的意料中事。在实际精密测角作业过程中要用仪器刻度盘的16个（或更多）位置，对每个被测点正、倒镜各照准一次，总共至少32次；测两个被测点间的角大约要经历30分钟时间。但总扭转远不是32个Δθ” 数值，因为这套16个方位观测不是一个可以分开的各量各的孤立行为，而是一个整体的“连续总观测行为”。依前文所述，要测的方位是地球“外围空间”二个“固定”点间的方位，而地面上的被测点和测站由于地球自转则各自在这30分钟时间里经过这二个固定点划出一条短线。这就等于在总共经历的30分钟时间里都要考虑由于地球自转而引出的被测点和测站相对于外围“纯欧几何空间”的移动，在包含有32次实际的照准行为中，每次照准时，测站相对外围空间的位置都不是上次照准时测站的位置；同样，被测点的位置在每次照准时也不同。这意味着我们在总的30分钟测量时间里要各取被测点和测站32个空间位置的“中位置”来计算这扭转的实际数值。因此实际作业情况就等于从第一次照准到最后一次照准之间，光线都在被测点和测站之间作来回无间断的稍有扭转的返复多次行走，虽然总的只有32个实际照准行为；其它多次近于连续而未能做出的照准行为，就可设想被光在测点和测站间连续来回行走所代替；其间当然要严格保持被测点、测站，尤其是测站上的仪器，百分之百的“绝对稳定”。这决不是“匠心独造”的经验分析理论，而是几何学上将一个“次空间”实际“安装”在一个较多维空间内的“几何学行为”；习惯于 “纸上谈兵”的几何学家可能有兴趣深入了解这个精密测角的“实际安装”工作。

对一条连接测站和观测点长Δσ的观测边，光走一次所需时间为τ=Δσ/c ，c是光速。在30分钟测角作业时间里，光往返的总次数为 n =（30×60）/ τ，光走一次这条观测边的方位扭转数值由（4）式给出，所以，在30分钟测角作业时间里总的方位扭转数值应为（4）式的n倍，即：

           （5）

 这就是一次精密测一角的总行为引出每边方位总扭转的改正数值。其中，应注意总经历时间是起了决定性作用的，而边长Δσ倒无影响。但问题在于太长的边无法观测，而必须分作N段作“接力观测”，使那 0.05”系统性累积而产生重大影响。又从（5）式的推导看出，测量作业时间加长不但和仪器“绝对稳定”矛盾，也和不考虑方位扭转矛盾。

 以上对大面积测量中方位扭转数值的正确估算，必然会在大地测量实践中得到验证，从而很好地帮助解释并解决大规模三角测量中某些明显的系统性误差。假设有一条约1000公里长的大地线，由单三角锁的每个三角形的同一方位θ上的边联结起来，设边长为20公里，即共有50个三角形。如果取，，如加拿大和美国交界的沿苏必利尔（Superior）湖地带，这条1000公里长大地线的总方位扭转就可大到50×0.05”= 2.5” 这就引出多条三角锁相互闭塞间的不应有的不一致。如果联结这1000公里长的诸三角形并不是大致在一条线上，而是曲曲折折偏北偏南，使在直线投影上仅能相当约5公里推进一个三角形，那么，方位扭转总值就能高达1000÷5×0.05” = 10”。 二十世纪三十年代末期，加拿大的大地测量记录就出现过上述情形。他们在沿苏必利尔（Superior）湖地带西头利用美国已测定的“主三角锁”的一边开始测量，即“归化”到同一“北美大地原点”之意，测过沿湖地带再闭塞到东头美国“主锁”的边上，或和另一条自测三角锁线路相互闭塞之间，都出现过10”左右的“闭塞差”。这当然不能全部归咎于“北美大地原点”和广大地区的“垂线偏差”，因为这类涉及地表面和外层地壳物质分布问题要追究地壳成因和地质年代的地史问题，“偶然性”和“系统性”相互掺杂，无法断定会“累积”成10” 左右的方位“闭塞差”。反之，依广义相对论得到的理论公式（5）的系统性，推出方位扭转在1000公里三角锁上累积得的估计值 10” ，显然是一个十分合理的估算。

 广义相对论用大面积大地测量的方位扭转来验证，是最全面、最具体、最现实而又最平凡的方法。这个验证不须等待一个什么天体运行上的机会，也不须熟习更高深的物理学知识，更不具备“孪生子佯谬”或“两钟之谜”之类问题的神秘设想。已完成 “三角主锁”测量的较大面积国家，都很容易运用（5）式作一个快速验证。我们在文献[2]中提出两种简单可行的验证方法可供参考：

（1）将大致在同一方位θ上的长三角锁，取一个纬度φ的中值，实际计算其联接起来的“节数”n，将全锁作为一个“刚体”，用“节数”n乘（5）式，即  ，将其方位偏差一次改正过来。这样，诸环形三角锁相互间的“不一致”情况必然可以缓和好多，必能使大面积国家纵横交错诸三角主锁相互闭塞间的“闭塞差”大大压低下来，不使混进大地测量主题内，使“大地原点”、“参考椭面”“布网计划”等大地测量问题更单纯化而容易正确合理解决。加拿大和美国几千公里交界线上的主锁，如取n=200，正好压下近10” 的归化到同一“北美大地原点”上的“闭塞差”。

（2）三角网、锁的方位扭转实际上当然不是不变形的“刚体”扭转。（5）式中的明白指出网、锁中的各角有变大和变小的两种可能，一般当然只涉及秒的小数点第二位，有时勉强可进到第一位。在作平差和大地位置初步预算之前，全部三角形各边测得的方位都加进改正；也就是说，将每个测站上各测得的方位都用（5）式改正之后再运用改正后的各角数值作平差和大地坐标等计算工作，必能使“条件平差”时各条件方程，如“角方程”、“边方程”、…等的“自由项”数值都应有，总的看来，较不用（5）式改正变得小一点的事实表现；尤以 “角方程”更容易在一眼之下看得清楚，最方便运用于查实各自由项变动的总的情况。

 这个验证当然就要求实测工作做得好，不希望有比秒的小数点后一、二位大得多的不应有的误差混在一起，这就要求实测时都能在现场将每个三角形的“闭塞差”限在1” 之内。1”=0.5×10^-5 弧度，故必须限制作业人员在观测过程中的左右移动。这就不能采用士赖伯法测角；测一角只能由二位观测人员立稳不动，各对准一被测点观测，另由一人坐定不动记录。这样又稳又准又快又好的实测过程必然会短于上面提出的30分钟，决不会超过。三组同时观测，一个一个三角形的三个角（而不是士赖伯法一站一站的多个被测点的方位）同时测定，用光讯号报告结果，很容易不须多次重测就能现场得出满意的“闭塞差”。如果只有一人要慢吞吞用一架，例如，T₄仪器做试验，可以用刻度盘16个位置看北极星定方位，一次将方位椿尽可能打在近正北方向，使观测时实际无左右移动，另一次则大致打在正东或正西方向上；必然会从记录数据看出左右移动的后果，因而体会出1”=0.5×10^-5 弧度的意义。这决不是T₄仪器的刻度盘的毛病。做过这工作的人应有体会。希望国内大地测量工作者和研究人员看到此文后有兴趣进行进一步的验证。

 在大面积大地测量中对方位扭转数值 的验证，就是对广义相对论的验证。因为无法脱离广义相对论而能导出这个计算方位扭转数值的基本公式。在这个推导过程中，广义相对论的全部本质涵义都已发挥得淋漓尽致；而不是像在所谓“三大验证”之类问题里作一点一滴的片面运用。又正好在广大面积的大地测量上存在“方位扭转”这个实际问题，并无其他途径能把它从大地测量主题内分离出来。这就为广义相对论与人类实践活动的紧密结合提供了机会。自尼罗河三角洲的田亩丈量到今天的大地测量，都充分说明几何学不可以和实测实算的“几何学行为”分开；前者联系到今天显得古老而又说得上是已论定的“欧氏几何学”，后者就“次空间”的“实际安装”工作引出动、静态的几何学上的“本质区别”，还有待于几何学家的看法和想法来进一步申论。

  参考文献

    [1]  C. mɸller, The Theory of Relativity , [M] , London :Oxford Press ., 1952, 233-239

     [2]   Dong Jun , The Azimuth Twist in a Large Scale Surveying Deduced From General Relativity ,                               Manuscripta  Geodaetica [J] , 1993, 18 , 343-348 , ©Springer-Verlag 

        【注】本文曾于2021-4-8日发表，有朋友反映无法打开阅读，现重新发布。