引用：刘磊，胡非，吕瑞，2018，《大气边界层湍流风速脉动的多尺度统计特征及其统计模拟：回顾与展望》，首届中国空气动力学大会论文摘要集（上），文章编号：CARS-01-2018-010

博文发表时略有修改。

1                引言

大气边界层湍流风速脉动是具有高雷诺数的多尺度流体运动。如果从Navier-Stokes 方程出发，直接模拟大气边界层湍流，以现今常用的计算机运算速度，需要耗费巨量的机时，无法满足边界层研究和工程应用上的需求。为了提高湍流的模拟效率，人们提出了各种替代模拟方案，例如雷诺平均模拟以及大涡模拟。替代方案大大提高了湍流的模拟效率，但在模拟具有复杂下垫面的边界层湍流时，仍需要花费大量的机时，还是无法满足风工程应用中的时效性要求。为此，基于湍流风速脉动统计特征分析的统计模拟方法，以其运算简便、快捷和有效，在工程领域得到广泛应用。本文将对国内外大气边界层湍流风速脉动多尺度统计特征及其统计模拟方面的主要工作进行梳理，其中穿插介绍了作者近年来的研究工作。最后，本文对该领域可能的发展方向和亟待解决的问题进行了总结。

2                大气边界层湍流风速脉动的多尺度统计特征

在各向同性湍流理论的研究中，不同尺度湍涡的运动通常用空间两点的速度差来表示，湍涡的特征尺度即是空间两点的距离。其他的“尺度”定义方式，例如基于傅里叶变换、小波变换或希尔伯特-黄变换等的尺度分离方式，并不影响主要结论。在大气边界层湍流的观测中，较为容易获取的是单点风速时间序列。在泰勒假设成立的情况下，不同时刻风速增量和空间两点速度差的描述方式是等价的。因此，大气湍流研究中多分析的是不同时刻的风速增量。风速增量的研究除了具有理论和建模的意义外，也具有实际的工程意义，例如来流横向方向的风速增量会对结构带来额外的转矩^[1]。

2.1     小尺度间歇性

实验室湍流观测表明，当空间中两点之间的距离逐渐变小时，湍流在这两点速度差值的极值出现的概率逐渐增加，表现为明显的间歇性特征，这种特征称为湍流小尺度间歇性特征^[2]。图1是一段5分钟相邻风速增量的时间序列，表现出明显的小尺度间歇性特征。湍流小尺度间歇性特征可以通过概率密度函数进行定量的研究。由于极值事件出现的概率增加，小尺度湍流概率密度函数的尾分布比高斯分布长，而大尺度湍流没有间歇性特征，仍然近似满足高斯分布^[3]。许多湍流唯像模型可用来拟合湍流的多尺度概率密度函数，例如对数正态分布模型^[4-5]和对数泊松模型^[6]等。如果在湍流随机映射模型的框架下，这些概率密度函数又可以统一成为一种称为对数无穷可分分布的数学形式^[7]。

图1 风速增量的小尺度间歇性特征。风速观测频率100Hz，风速增量时间间隔.0.05s

研究表明，虽然大气湍流不具有各向同性的特征，但其概率密度函数随尺度的变化与实验室湍流相似，也是小尺度为非高斯长尾分布，大尺度近似为高斯分布^[8]。作者曾分析过台风和沙尘暴等极端天气条件下的湍流特征，发现其小尺度的间歇性特征与普通天气下的特征相似 ^[9]。大气湍流脉动的概率密度函数一般认为满足对数正态分布^[8]。然而，作者通过数据分析发现，尽管对数正态分布可以很好地拟合数据，但在拟合高阶矩和回归概率方面存在不协调的结果，表明该模型仍然有需要改进的地方^[10]。与实验室湍流不同，大气湍流小尺度间歇性与大尺度涡旋特征有关，并不是普适的。大气湍流的间歇性主要有两方面来源：稳定边界层间歇性失稳结构^[11]和对流边界层热泡^[12]。作者曾根据大气湍流脉动的概率密度函数特征，提出了一种提取湍流间歇性信号的方法，并详细研究了稳定和对流边界层中间歇性信号的统计特征及其参数化形式^[13-14]。

2.2     多重分形

分形是上世纪70年代Mandelbrot提出的概念，它揭示了自然界看似复杂无规则的几何体中普遍存在简单的自相似特征^[15]。分形分为单分形和多重分形。对随机过程而言，前者可用来描述随机过程曲线的自相似特征，后者可用来描述随机过程增量的自相似特征。单分形和多分形不是互斥的，两者从不同角度描述了随机过程的自相似特征，前者本质上反映了随机过程的二阶矩特征，后者本质上反映了随机过程的多阶矩特征。

实验室湍流的观测和理论分析发现，惯性区各向同性湍流普遍具有多重分形特征，其空间两点速度差的高阶矩具有幂函数特征，幂指数是关于阶次的非线性函数，该函数是普适的，可用对数泊松模型很好地拟合^[6]。研究表明，大气湍流风速增量的高阶矩也具有类似的多重分形特征^[16,17]，且常用对数正态模型来拟合^[10,18]。图2是大气湍流风速增量的高阶矩的一个示例，可见其在小尺度具有幂函数特征。大气湍流的多重分形特征与大尺度涡旋结构有关，并不像实验室湍流那样是普适规律，而是随着时间、平均风速和稳定度变化^[18]。

图2 大气湍流风速增量的高阶矩

2.3     长程相关

所谓长程相关，在数学上指的是时间序列的关联函数具有幂函数的形式，且幂指数在(0,1)区间内。对于无关联或短程相关的时间序列，关联函数具有有限的全局积分，而对于长程相关的时间序列，关联函数的全局积分发散。研究表明，看起来平坦的白噪声随机时间序列，加入长程关联特征后，会出现大尺度波动特征，这种波动可以导致极值事件集中出现^[19]。因此，湍流风速脉动长程相关特征的研究，不仅用于统计建模，在设计抗风结构等工程应用方面也具有重要意义。

研究表明，大气湍流风速脉动具有长程相关特征，且刻画长程相关程度的关联指数随时间变化，这表明湍流风速脉动的长程相关特征也与大尺度涡旋结构有关^[20]。此外，长程相关会影响极值重现时间的分布，作者通过数据分析发现，大气湍流风速脉动的极值重现时间呈扩展指数分布，偏离无关联时的指数分布^[13]。基于上述发现，我们提出了一种基于长程相关的极值统计方法，修正了基于独立样本假设的传统方法对T年一遇极值风速的高估^[21]。

3                大气边界层湍流风速脉动的统计模拟

随着人们对湍流统计特征的深入研究，大气边界层湍流风速脉动的统计模拟从早期单一的仅针对功率谱的模拟，逐步发展到现今融合非高斯、分形、长程相关等特征的全方位模拟。早期的线性滤波法和谐波合成法虽然能真实反映实际风速功率谱，但未考虑到湍流风速脉动的分形特征^[22]。随后，单分形确定型Weierstrass-Mandelbrot函数（简称W-M函数）被用来模拟湍流风速脉动时间序列^[23,24]。确定型W-M函数模拟随机湍流风速脉动显然不合适，因此作者将W-M函数的模拟推广到随机型 ^[22]。虽然W-M函数可以较好模拟出单分形特征，但该函数不能模拟风速脉动的长尾分布，也不能很好模拟功率谱的低频结构^[25]。为此，作者将谐波合成法和W-M函数进行融合，提出了谐波-分形模拟法，较好地解决了W-M函数不能模拟湍流风速低频结构的问题^[27]。图3显示了谐波-分形模拟法模拟风速分形特征方面的能力。除了单分形模拟，目前也开展了湍流风速脉动的多重分形模拟^[28,29]。此外，基于Fokker-Plank方程的多尺度统计模拟方法，在模拟不同尺度湍流速度增量概率密度函数等方面具有良好的性能，也是值得关注的一类方法^[30]。

图3 覆盖脉动风速曲线的盒子数和盒子尺度的对应关系：（a）顺风向，（b）侧风向，（c）垂直方向（∆：实测值，○：模拟值，实线斜率为5/3）.

基于前期研究工作，作者开发了一套“湍流统计模拟系统V1.0（TurbSS V1.0）”^[26]。该系统采用交互式设计，操作简便，具有快速实现多种方法的湍流统计模拟的功能，可广泛用于风能、风工程、航空设计等领域，也可用于湍流模拟的科研和教学展示（图4）。

图4 湍流统计模拟系统V1.0界面

4                展望

    湍流的科学研究虽然经过了上百年的发展，仍未取得实质性突破。湍流研究的著名学者Lumley和Yaglom甚至断言，即使再经过一百年的发展，湍流研究依然处在滥觞期^[31]。相比于实验室湍流，具有高雷诺数、远离平衡态、非平稳、非均匀和非各向同性以及拥有复杂边界条件的大气湍流的研究工作更是任重道远。对于大气湍流风速脉动的多尺度统计特征，作者认为目前可以开展以下几个方面的研究工作:

（1）大气湍流的多尺度统计特征，如小尺度间歇性特征、分形特征、长程相关特征是相互独立的，还是之间有某种联系？虽然Muzy和Bacry提出的多重分形随机过程模型揭示了某些特征之间的数学联系^[32]，但我们仍需要验证这种联系是否适用于大气湍流以及在多大程度上适用。

（2）在前文的回顾中提到过，大气湍流风速脉动小尺度统计特征在定性上与实验室湍流类似，只不过后者的统计特征具有普适性，前者与大尺度涡旋或边界层结构相关，不具有普适性。大气湍流的多尺度统计特征与哪些物理量相关？如何建立其与相关物理量的定量关系？

（3）目前开展的湍流风速脉动的模拟多是针对单点时间序列。在实际应用中，有时需要用到空间多点的风速脉动模拟，例如风力发电机叶片上多点载荷的分析。因此，大气湍流风速脉动在空间多点的关联统计特征分析以及时-空协同的统计模拟，也是值得研究的问题。

（4）近年来，超统计(superstatistics)理论被用来拟合湍流风速脉动的概率的函数^[33]。超统计给出了可能不同于对数无穷可分分布的另一类统计分布。超统计根源于非平衡统计物理学的随机动力理论，具有较强的物理意义。然而，与数据拟合较好的对数正态分布既属于对数无穷可分分布，又属于超统计分布，目前尚未从实验中区分出湍流风速脉动究竟属于哪一类分布。大气湍流作为典型的非平衡复杂系统，是否与超统计相关？其背后的随机动力学是什么？对这些问题的研究，可能会加深我们对多尺度统计特征物理本质的认识。

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