零是不是一位数

XX先生，

您几次来信同我讨论“0是不是一位数”这个问题。您是我清华学长，您的认真劲让我佩服。这次我想静下心来，将您的问题就我所知作一回答。

1. 首先，要回答这个问题，就必须先对“K位数”做一个严格定义。如果不知道什么是“一位数”，那么，“0”是不是一位数就无从谈起。下面，我给一个定义：由K个数字组成，且首位不为“0”的数称为K位数。

   这个定义跟邱老师的说法是一致的。所有的自然数（不含零）用这个定义检验都对。根据这个定义“0”显然不是一位数。

2. 那么，到底“0”是几位数？ 用上述定义无法检验。如果你能给出一个定义，它对所有自然数都对，对“0”也对，那是很有说服力的。但就我所知，这是很困难的。因此，我认为，这个问题没有意义，或者说，要人为地单独规定，因此，就无所谓对错了。其实，“0”是一个很特殊的数。它的引入一点也不自然。我看过一本数学史书，指出：“0”是印度人发明的，它的引进是对数学的一大贡献。你现在认为“0”和“1”一样自然，小孩数数应从“0”开始。 其实，这是个错觉，接受“0”要比接受“1”困难得多。

3. 我们当然可以规定“0”是一位数。 但这个规定不是很合理。如果不认为“0”是一位数，那么，我们有 9 个一位数， 90 个二位数，900 个三位数，… 这是一种数学和谐的美。它有自己合理的内涵。

4. 其实，对“0”进行特殊处理在数学中很常见，例如，中学学过，“0！=1”。 这是很难理解的。但是，如果考虑到它在排列组合，或者二项式定理等中的作用，就会知道这个规定是何等的正确。

5. 你的孙子不必纠缠于这个问题。当他长大之后，如果他对数学有兴趣，他会知道，自然数对加法构成一个半群。这个半群没有单位元。如果加上一个单位元，这个单位元就是“0”。对“0”的这种理解，远比将零归类于“几位数”自然而深刻。

   这让我想起一件事，在美国时我教过近世代数，在课堂上讲到，对加法群“0”的逆是“0”时，一位学生站起来反驳：“0”怎么会有逆？ 其实，他说的是乘法，从小学开始，老师就教他：“0”没有逆。 在学生学习的某个阶段有时不必太纠结于一些细节。将来，当你的知识和视野开阔了以后，回过头来，会对学过的知识有更清晰的理解。

   谢谢您的来信， 希望这封信回答了你的问题。

    

   程代展，2019，6，4.