据维基百科，1995年，联合国教科文组织定4月23日为世界图书与版权日（或世界书籍与版权日）。汉译另有世界读书日、世界阅读日、世界书香日诸种。

　　1616年4月23日，塞万提斯与莎士比亚辞世。4月23日也和其它一些伟大作者的生卒有关，诸如印卡·加西拉索·德拉维加、纳博科夫、哈尔多尔·拉克斯内斯、莫里斯·图翁、何西·布拉与曼努埃尔·巴列霍等。於是，以4月23日向书籍及其作者致以世界范围的敬意，自然成了联合国大会的选择。这是为了鼓励每个人，尤其是年轻人，发掘阅读之乐，并为那些做出促进人类社会与文化发展贡献的人们获取新的尊重。庆祝的想法源于加泰罗尼亚的圣乔治日风俗：当日售书附赠玫瑰。

作者：蒋迅

本文已发表在《数学文化》2019年第1期上。

在reddit上看到有人问：“8岁的侄女问什么是无限”该如何回答？我第一个想到的就是《无穷的画廊》。当然对8岁学童对这样的问题不必过於认真，但随著年龄的增长，无穷的概念势必需要一个解答。而能否理解无穷的概念是区分一个人是否具有数学思维的一个关键。让我们再看一下这位大人是如何回答的：

　　大人：你觉得呢？
　　小孩：我觉得是一个数。
　　大人：无穷就是就是象地球上的沙粒一样多。

如果我们不担心小女孩太小可以以后再学的话，那么我们对大人的这样的回答真应该担忧了。显然，他的回答是错误的，而这样的回答可能在地球的各个角落里还有很多。好在我们有了《无穷的画廊》。

《无穷的画廊》的作者理查德·伊万·施瓦兹 (Richard Schwartz) 是美国数学家，布朗大学数学教授。他为了教他的女儿学习数学而创作了这部作品。无限画廊是数学家对无限多种无限大小的独特视角。它以俏皮而又丰富的信息风格编写，引入了集合论 ─ 包括康托对角化方法和康托尔 - 伯恩斯坦定理 ─ 的重要概念。除了很少的文字外，大量的信息都蕴育在彩色图片中，几乎没有公式。作者试图从简入深，循序渐进，因此不管读者有什么样的背景，都可以找到自己能理解的范围。其结果是，它适合任何对无限兴趣的人，从高级中学生到好奇的成年人。如果学童能与成人一起读这本书的话，那么一定可以走得更远些。

我们必须指出，无穷这个概念是很有难度的。虽然本书中文字不多，但是这不是一本可以快速阅读的书。你将往返重复，多次阅读，以建立前后内容的联系。如果我前面所说的，后面的内容远超中学生的水平，但本书通过具有创意的展示能激发读者的兴趣，为数学家与缺乏数学训练的好奇者之间形成良好交流建立了一个通道。不管受教育的背景如何，只要读者对无穷有兴趣，那么本书就能捕获他的心。

本书不分章节，没有页码。但层次还是清楚地由浅入深，一一展开。下面我们一起来欣赏一些精彩的例子。为了叙述方便，我在引用图片时增加了页码。

首先，作者以各种例子来描述有限集合。在这部分我喜欢下面一页：

第14-15页

作者举的例子是地球上全部分子的集合。这听起来特别像我们前面提到的地球上的全部沙粒。显然分子的集合比沙粒的集合要大。但即使像这样的集合仍然是有限的。另外，这个例子为后面的原子链和电子云的推出打下伏笔。注意作者在这里说的一句话：“从更小的尺度来看，我们根本没有有关物理实体的体验。我们只有数学模型，…”

第28-29页

在数学上有一个特别的集合：空集。这个集合很特别。对於没有数学训练的读者可能有一点挑战。作者用空无的画廊介绍了这个概念。

第56-57页

介绍完空集后，下面一个概念就是本书的核心：无穷。我们看到上图就是本书封面的图片。作者画的是一个（可数）无穷多镜框的无穷画廊。不过，这里要特别注意的是，作者画的是一幅包含这个画廊中所有的镜框的画框。这幅画就是ℵ₀（希伯来字母Aleph，连同后面的下标0一起发音Aleph Nought或Aleph Naught）。数学上，ℵ₀不是一个数字，而是描述的一种集合。注意事物一到了无穷，违背常识的事情就要发生了。希尔伯特（David Hilbert，1862─1943）用了一个无穷旅馆来做比喻，这与无穷画廊有异曲同工之妙。作者又举了一只有无穷多牙齿的小鸡的例子。我们假定它的偶数个牙齿都掉了，然后我们为它整形，就能让它的牙齿完好如初。

这个时候如果你已经感觉有些难度了的话，可能需要重新阅读一下或请教一位数学家了。

第70-71页

为了解决这个看似矛盾的事情，康托尔（Georg Cantor，1845─1918）引入了基数。上图是一只具有无穷多牙齿的鳄鱼。是的，我们的奇怪现象都发生在这种奇怪的动物身上。作者通过这张鳄鱼图片解释了基数。所有整数的集合的基数与ℵ₀的基数是相同的。同样地，作者用具有无穷有理牙齿的鲨鱼说明了有理数也与ℵ₀具有相同的基数。更为令人惊叹的是，作者甚至给出了证明！在这样的书中给出这个层次的证明是个了不起的成就。应该说一句作者提出的“小鸡原理”。这是作者自己的说法，他说还有其他说法，我不知道。但我不太喜欢这个叫法。毕竟鸡是没有牙齿的。

到这个时候我们已经学习了可数无穷。对於中学生来说，也许读到这里已经很不错了，因为我们已经知道了最小的无穷集合是什么样子了。如果还想继续阅读下去，我建议再把前面的内容复读一边，特别把那个证明再认真读一遍。

第78-79页

现在的问题是：除了ℵ₀，还有其他的无穷吗？无穷画廊的馆长的回答是：有，因为他使用康托尔的对角线法又做出了一个新的镜框。如果读者已经明白了前面的证明，那么理解这个证明应该不会有问题。这个新镜框就是2^ℵ₀；而且这个基数与ℵ₀是不同的（作者给出了康托尔的对角线证明）。你可能会问，这个符号太复杂了，怎么不用ℵ₁呢？这是一个好问题。答案是：基数2^ℵ₀其实就是ℵ₁，但是这是在一个“连续统”的假定下。我们不做深入的讨论。

作者在这里介绍了康托尔集合，有一幅很漂亮的画框。欣赏之余，也许可以跳过？我不是很肯定。

在这个时候，如果你已经感到有些吃力了，那么可以考虑止步于此。你已经很优秀了。

第122-123页

接下来有一个看似显眼的问题：基数ℵ₀和基数2^ℵ₀哪个大？不要想当然地认为，2^ℵ₀是指数，当然大。在数学里，你可不能想当然。你怎么定义什么大？你怎么确定哪个大？这都是问题。如果你开始有了这样的思维，那么你从本书收获就很大了。另外，有没有可能基数ℵ₀大於基数2^ℵ₀的同时，也有基数2^ℵ₀大於基数ℵ₀呢？康托-伯恩斯坦定理保证了这种情况不会出现；而且运用这个定理我们可以得到实数集的基数就是2^ℵ₀（更准确地说，实数集与2^ℵ₀有相同的基数）。如果读者前面略过了康托尔集的话，这里也可以略过。

第146-147页

读者可能在这个时候有了一个新的问题：除了ℵ₀和2^ℵ₀以外，还有其他的基数吗？如果你有这个问题的话，那么我建议你继续阅读下去。不出所料，不但有，而且有无穷多！瞧，我们已经使用了“无穷”这个词。如果你感觉很自然的话，那么恭喜你，你完成了本书的核心内容。

随著数学概念越来越抽象，用图画来表达也越来越难了。这时，作者开始转向了否定的语气。他提出了曾经导致数学史上第三次危机的罗素悖论。毕竟我们上面的讨论都是建立在某种公理系统之上的，而我们所依据的公理系统就真的成立吗？如果不成立的话，那还有无穷吗？作者其实是把这个问题留给了读者。我将在后面再回到这个问题上。

理查德·伊万·施瓦茨自画像

我想在结束本文之前介绍一下本书的原作者理查德·伊万·施瓦茨博士。施瓦茨于1987年毕业于加州大学洛杉矶分校数学系。然后进入普林斯顿大学，师从菲尔兹奖获得者威廉·瑟斯顿（William Paul Thurston，1946─2012）教授。毕业后到马里兰大学任教。现在是布朗大学终身教授，与他的妻子和两个女儿在罗德岛生活。

《无穷的画廊》不是他的第一本也不是最后一本数学科普读物。2003年，他在教自己的小女儿数字的时候，画了一百个彩色的小怪物。后来，他在这个基础上写成了一本书“You Can Count on Monsters”(2010年)并一举成为了畅销书作家。他从此一发而不可收拾。以后又出版了 “Really Big Numbers”(2014年)、“Gallery of the Infinite”(2016年)和“Life on the Infinite Farm”(2018年)这三本数学科普书，以及自发行了卡通和儿童书“Lucy Topics”(2004年)、“The Extra Toaster ”（2009年）、“Unnecessary Surgery”（2009年）、“Man Versus Dog ”（2009年）、“The Transporter Problem”（2011年）和“The Guardian of the Blue Metropolis”（2015年）。（自发行在中国大陆不被允许。）这样看来，他能写出受欢迎的《无穷的画廊》也就顺理成章了。

施瓦茨对大数字的兴趣开始于11年级。他的化学老师描述物理学和化学中的阿伏伽德罗常数有多大。粗略地说，这个数字大约是一个吹起的气球中空气分子的个数，或者6X10²³。他对大数字的好奇持续到了大学里。他与同学比赛写大数字，然后看谁写出的数字更大。我想，那些对《无穷的画廊》有些畏惧的读者也可以从这个游戏开始。你能想出多大的数字呢？

对无穷的理解当然是从数数开始的。你从1开始数，2，3，4，5，…，就这样不停地数下去，永不停止。你知道这就是无穷。但实际上，这只是人们的假设（或者说公理）。这个假设（公理）称为“策梅洛-弗兰克尔集合论公理”。这套公理系统其实就是一系列我们必须接受的假定，在此基础上才能建立数学大厦。这些假设中的一条就是可以无穷地数下去。所以，这就是为什么作者在书的最后提出了是否存在无穷的问题。

这篇文字不是我的书评，而是我的读书笔记。坦率地说，在我向译者传达这本书的信息时，我并没有得到这本书，因此也就没有阅读过它。而我现在读它的时候，我发现读到后面时还是挺吃力的。这当然是因为我的数学功底不够的原因。不过我感觉，这本书应该有一个辅助参考书；而少年读者应该在大人指导下阅读。也许我的笔记能帮助一些读者也未可知？这样想过来，让我对写了这样一篇读书笔记稍感满足。

我必须说，译者的工作是非常出色的。他们在保持翻译准确的基础上力图将翻译更适合中文的口气。译者在涉及美国宪法的时候专门加上了一段说明。我对这个处理很赞赏。一定要吹毛求疵的话，我想说我不能理解为什么中文版中有许多颜色与我手中的英文版是不同的。最让我惊讶的是在第84页上的“著名的”三个字用了与背景图案靠色的白色（英文版是黑色）。我在第一次阅读时根本没有看到这三个字。有些段落看似是新的段落，但其实是继续一句前面未说完的话。比如，第127页的 最后“但是……”说明下一页还将继续这句话，所以在第128页的开始处就不应该当作一个新的段落来处理。第136页上使用的“您”字应该改为“你”，这样会与全书更为一致。当然这些细节丝毫不影响这本书的翻译质量。

我愿意向那些对数学哪怕有一点点兴趣的人，包括孩童和成人推荐此书。

相关专题：读书荐书
转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自蒋迅科学网博客。
链接地址：https://blog.sciencenet.cn/blog-420554-1175218.html

上一篇：【数学应知道】介绍几个国外数学老师的数学博客
下一篇：[转载]父母，孩子都该读的好书《高效能人士的七个习惯》