约旦阵下的离散系统无限时间能达丰富性

       在博文“约旦阵下的离散系统能达丰富性”[http://blog.sciencenet.cn/blog-3343777-1082593.html]中，证明能达丰富性仅与上约旦矩阵对应的B的第一行有关，与B矩阵的其它行无关。因此，有如下约旦阵下的离散系统的无限时间能达丰富性计算。

       设系统 $\varSigma(A,B)$ 有重根,可经变换为上约旦阵，即线性离散系统模型各矩阵可表示为

$A=\left[\begin{array}{ccccc} \lambda & 0 & 0 & \cdots & 0\\ 1 & \lambda & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \lambda & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{array}\right],\quad B=\left[\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3}\\ \vdots\\ b_{n} \end{array}\right],\quad\Gamma=\left[\begin{array}{c} b_{1}\\ 0\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{array}\right],$

则约旦阵下的线性离散系统的无限时间能达丰富性可证明为

        $\textrm{Vol}(R_{r,\infty})=V_{n}\left(C_{n}\left([B,AB,...,A^{k}B,...,]\right)\right)$

                  $=V_{n}\left(C_{n}\left([\Gamma,A\Gamma,...,A^{k}\Gamma,...,]\right)\right)$

                  $=\textbfsymbol{\frac{\left|b_{1}^{n}\right|}{\left(1-\lambda\right)^{n}\left(1-\lambda^{2}\right)^{n(n-1)/2}}}$