数学教育在逐步取得“独立的”学科地位的同时，离数学却越来越远（无可奈何的必然），离开了学科本质的教育，自身的存在也就成了问题，这种“两难”困境，是数学教育不得不面对的。

   明了这一点，可以使我们保持稍稍保持清醒的头脑，不断回到数学的理解中来寻求数学教育的本源，这就是理解性数学的意义。怎样回到数学的理解中？除了数学专业领域的职业性体验，是否还有别的选择？在我看来，对数学史和现代数学的通览也许是唯一可行（虽然并不容易）途径。

   数系是贯穿数学教育全过程的一个重要内容，问题也是最多的。其中最大的焦点就是数系的扩张，从负数的引入开始，带来教学上的很多困惑。集中起来，大约会有以下几个问题：

   1.为什么要增加“新的”数（负数、无理数、虚数）？通常的回答是：数“不够”用了。

   2.运算律怎么教？通常是用不完全归纳得出来，并经常用一些实际例子来帮助说明其合理性，比如“负负得正”等。

   3.减法与负数，除法与倒数，四则运算该怎么教？通常练习似乎是解决问题的灵丹妙药。

   4.数的大小比较：通常似乎问题不多，但实际上隐含着很多实质的问题。

   5.数与数轴、坐标系的关系。

   从数学史来看，人们对数的经历了从具体到抽象的过程，作为独特的数学对象，它的抽象本质离不开具体意义的构建。数的现代数学形式也由抽象（公理化的结构）与意义构建两部分构成，这启发我们，数系的教学始终关照抽象结构与意义建构，也许是有意义的。

   按着这个原则，我们曾经在博文中讨论了幼儿阶段自然数的教学问题，结合前面的5个方面的问题，有理数的运算和运算律的教学当然可以有以下设想：

   通常说四则运算包括加减乘除，于是在有理数的教学中也就有了基本四种运算，但实际上，我们知道，按照现代数学的理解，有理数的运算实质只需要关心加法和乘法两种运算，运算律也只需要考察关于加法和乘法的运算律，而加法和乘法的运算律又有着相同的“群”结构，其间的关系由分配律决定，当然重点就该在这里了。

   基于教学的直观性，如果从自然数开始，直观地建立起自然数的加法、乘法及其运算律（结合律、交换律、分配律），意义的构建以“多少”、“度量”为基础，已开始就将减法建立在“群”结构的对称性上，用数轴直观理解，把“减法”用对称性直接转变为有“负数”参与的加法，“负负得正”等等问题就自然成为乘法对加法的分配律的必然结果。这种方法也天然避免了甚至在现行数学教科书中存在的非常不合理（甚至可以说是错误的）的运算问题，比如 2-3+6，4÷2÷2等，因为这样的表达式，只有在约定了从左至右顺序的优先级才有意义，而这与加法、乘法满足结合律而使得超过两个数的运算与顺序无关的运算习惯相悖，造成初学者运算上的失误自然难免，也或许会引起在运算和运算律理解上的混乱和障碍。

  总结起来，新的设想要点是：

  1. 以直观建立自然数、整数的加法、乘法运算及其运算律为基础；

  2. 以“群”结构为背景，结合数轴，强化结合律、交换律、零元（单位元），负元（倒数）以及分配律的作用。

  3. 将“减法”、“除法”从运算中“删除”，回到加法和乘法。

  4. “数的大小”等问题也可以有新的重点......

  5. 结合或者分离“数”的“抽象意义”和“实际意义”的建构。

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九章格物真智慧，究竟圆满在数学。九章格数学带您走进数学伊甸园！