未完成的事

左芬

近日上海的情势日趋恶化。武汉疫情爆发之时，我提前一个月幸运地搬到了南京，躲过一劫。但这一次是正好赶上了。我一向不擅长适应环境，感觉未必能逃过。

历史上很多大数学家都在身后留下一些手稿，其中蕴含着众多思想的瑰宝，等待后人去发掘。这方面突出的有伽罗瓦（Galois），黎曼（Riemann），拉马努金（Ramanujan）等。所以我也想来东施效颦，写下点什么东西。不过，我虽然也号称做过一些学术研究，写过几十篇论文，但几乎都是垃圾，实在没什么好说的。也许唯一值得一提的是学术生涯末期写的三篇文章，分别写于16年，17年和20年。文章都写得很杂乱，几乎没引起什么关注，大概只有李·斯莫林（Lee Smolin）和约翰·巴雷特（John Barrett）稍稍注意到。也从来没投稿过。但我自认其中还是有一些革新性的思想的，值得在这里再啰嗦几句，解释一番。

[1]. A note on the architecture of spacetime geometry [1607.05866]

简单来说，量子引力有两种思路，一种从量子力学和场论出发，发展为弦理论；另一种从广义相对论出发，发展为圈量子引力。圈内人士一直认为他们是能够解释黑洞熵的贝肯斯坦-霍金公式的。但孔令欣及合作者在15年的一篇文章中隐含地指出，情况并非如此。其原因在于，圈表述基于李群表示论，跟粒子理论一样，不具有足够多的自由度来得出黑洞熵。而我在文[1]中提出，要在圈表述中涵盖黑洞熵，必须将李代数结构推广到仿射李代数。这一点在弦论学家们看来似乎是平庸的，但在圈框架中并非如此。

[2]. Simplicity condition and boundary-bulk duality [1706.00312]

圈引力发展中的一个突破是阿希提卡（Ashtekar）所谓手征联络的提出。这一点很好理解：自然中的费米子是有手性的。为了刻画它们在引力场中的运动，当然得引入手性的联络。手征联络使得惠勒-德威特方程可以轻易求解，进而将四维引力自然地约化到三维。那么你接着会问，引力本身并非是手征的呀。巧妙之处正在于此。当你接着将引力从三维约化到两维时，左手联络和右手联络会对称地匹配起来，变成左右对称的。这在圈界被称为单纯性条件。正是这一条件赋予了引力动力学。而我在文[2]中进一步指出，单纯性条件对应于两维共形场论的拓扑约束：对角模不变量。将前文中的局域仿射李代数与这里的拓扑约束合在一起，可以构建出完整的两维共形场论。因此，这两篇文章事实上指出，四维引力的量子描述是某种两维共形场论。

[3]. The Cosmological Constant: A Categorical View [2007.07270]

后来我一直在想，前面的理论框架可以在什么具体问题上体现出来。约翰·贝兹（John Baez）的一篇博文启发了我，那就是宇宙学常数。我们知道，在现有引力框架中，宇宙学常数是手加的，并不蕴含在理论之内。其实量子理论也如此，普朗克常数也是人为引进的。我们很自然地会希望，在一个成功的量子引力理论框架中，这二者会有某种共同的几何来源。

从范畴论的视角来看，我们知道李群（代数）的变形，所谓量子群，会引入一个变形参数，它刻画着两条线的编织（braiding）强度。贝兹在其博文中指出，这一参数在物理上对应着普朗克常数与宇宙学常数的一种特定组合。如果把线提升为面，会自然地得到两个变形参数，它们是完全对等的。而在文[3]中我想说的是，这两个参数的不同组合正好分别给出普朗克常数和宇宙学常数。在物理上，这两个参数是由涅克拉索夫（Nekrasov）在研究四维超对称场论时提出的，并命名为𝛀变形常数。

那么这一切，跟之前所说的两维共形场论有何关联？简单来说，就是它们之间存在着某种四维/两维的对偶。关于这些，弦论学家们有大量的研究，我就不再赘述了。

关于文[3]，我曾经写过一篇浅显的科普短文，叫“关于（量子）引力的一些朴素的想法”。大家可以翻出来，跟本文对照着看。

就写这么多吧。希望将来会有人把这些想法更严谨、更具体地表述出来，这样我就没有遗憾了。