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《时间之问7》一张A4纸引发的神秘数字
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内容梗概：无论是圆周率还是在闰周的推算，祖冲之的贡献背后都离不开严密的数学计算。虽然他的推导过程已失传，但这些计算都可以用今人的视角归纳到一种简洁美丽的计算：连分数。通过撕一张A4纸，引出了连分数的概念，它把我们引上了一条风光旖旎的小径，一直通向1500多年前祖冲之进行的圆周率计算和闰周推算...
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一周以后，老师和学生在同一餐厅碰面了，这次他们多花了一些时间点餐，因为菜单上又添了一些新菜式。落座后，他们一边喝饮料一边等上菜。学生把吸管伸到杯子里大口吸了一口可乐说：
“上次谈论完“祖冲之”后，我觉得他非常神秘、甚至不可思议！”
“哦，为什么这么说呢？” 老师也缓缓喝了一口热茶，笑眯眯地看着学生。
“因为一个人的精力是有限的，祖冲之再有能力，怎么可能把天文、数学、音乐以及机械的研究都集于一身并作出贡献呢？”
“这倒是个不错的疑问，让我先想想再回答，好吗？对了，你最近功课忙吗？” 老师转而问道。
“功课挺多的，这学期的基础课主要是高等数学，像微积分、级数展开等都是全新的概念，理解起来很吃力。我很困惑我们为什么要学这么抽象复杂的概念，除了能解题，还有其它用处吗？”
“嗯，是的，我当初也有这种体会。不过一旦过了这个坎，你就会发现他们在物理、化学、经济学、甚至神经科学里大有用武之地，有了这种新的工具，以前很难解的问题突然轻而易举地解决了！”
“可是我现在还没有这种感觉，也许您说的是对的。不过我同意数学是很多学科的基础，即便是中学数学知识将来应该也很有用。”
“对，要不然祖冲之也没法根据相似三角形来推算冬至时刻了！”
“那有没有可能，祖冲之正是因为有了数学基础，所以才在其它领域也有所突破呢？”
“不是没有这种可能，至少数学和其它学科有很多相通之处，甚至在某些方面有着千丝万缕的联系**。”
“哦？是吗？比如说？” 学生急切地问道。
“比如我们以前讨论的闰月的问题，其实是用两个整数12和13去近似一个无理数12.3684... 在祖冲之以前普遍采用的是19年7闰，可是祖冲之发现那样做误差有些大，固然这需要精确的天文观测来证明，但是如果要提出一个更加精确的置闰方式，就需要有坚实的数学基础和高超的数学技巧了。”
“祖冲之研究的农历置闰，那公历里的闰年设置也与数学有着紧密的联系吗？”
“既然都是历法，无论公历还是农历，本质上都是一致的，就是让一种计算历法和观测到天文现象相吻合，所以理论上都可以用一种神奇的数学式子来表示。” 老师说道。
“有这么神奇吗？”
“是的。在祖冲之那个时代还没有这个数学式子，直到16世纪高斯在研究最大公约数问题时顺带发现了这个数学式子，从此人们就发现它是如此神奇，可以用来解释公历、农历，预测日食、月食、火星大冲等各种天文现象。还可以近似求解方程，用整数去精确地逼近像圆周率或者黄金分割点这样的无理数。”
“这个数学式子叫什么呢？”
“它被称为“连分数”。” 老师说道。
“我没听过。”
“很正常，现在的数学教材里很少提到这个概念，可是它的应用实际上非常广泛。我给你演示一下吧。”
“好啊！”
“你有一张A4纸吗？” 老师问道。
“当然有。”（学生从书包里取出一些A4纸）
“好，我们来做一个小的折纸试验”。老师把A4纸放在桌面上。
首先，以A4纸的短边为边长，做出一个正方形，把这个正方形撕下来。
剩下的长方形，可以折出两个正方形，也撕掉。
剩下的长方形，又可以折出2个正方形，都撕掉。
类似地，又折出两个正方形，撕掉。
类似地，又折出两个正方形，撕掉。
最后剩下的长方形，刚好是2个正方形，一分为二，一点不剩。”
A4纸：每次撕掉一个或两个正方形，刚好把A纸撕完
“有点意思。可是为什么是这样呢？”
“你看出一些规律没有，除了第一个正方形外，总是折叠出两个正方形，撕掉。我们现在研究一下为什么这样。你记得A4纸的大小吗？”
“记得，是297mm x 210mm。”
“对。那我们回顾一下刚才的折叠过程，这次加上数值的计算。
第一次折出的正方形长宽是210x210，撕掉后，剩下一个87*210的长方形。
再折出两个87x87的正方形，撕掉，剩下一个87x36的长方形；
再折出两个36x36的正方形，撕掉，剩下一个36x15的长方形；
再折出两个15x15的正方形，撕掉，剩下一个15x6的长方形；
再折出两个6x6的正方形，撕掉，剩下一个3x6的长方形；
这刚好是两个3x3的正方形，直接对半撕掉后就什么都不剩了。”
撕A4纸过程的数字表示
“可是这和连分数有什么关系呢？” 学生问。
“这刚好就是297/210的连分数展开。现在我们把这个过程重新用分数表示一遍，你就明白什么是连分数了。
一开始，A4纸张是297mm*210mm，长宽比可以表示为分数：
撕掉正方形，相当于不考虑整数1，只考虑分数87/210。把分子和分母换位，变成了210/87：
折出2个正方形，相当于210/87=2+36/87，所以有：
撕掉2个正方形，剩下分数36/87，分子分母倒换变成87/36，
类似的，折出2个正方形，87/36=2+15/36，所以：
去掉整数，分式翻转，变成36/15=2+6/15。
折出2个正方形，翻转，变成15/6=2+3/6，
最后一步6/3=2+0。整除，余数是0，什么也没剩下，刚刚好，没有任何浪费。
把整个式子连起来就是：
“这么多2！” 学生说道。
“如果我们不是一下子直接算出297/210，而是逐渐地用前几个分数去逼近，看看会发生什么。
一开始，只有一个分式：
然后是两个分式：
之后是三个分式：
接下来是四个分式：
最后是：
“看出来了，越来越接近√2的真实值1.41421....” 学生说道。
“对了，如果直接用297除以210，看能得到什么，
“真神奇！这数非常接近√2的真实值。不过这也容易理解，随着撕掉的纸越来越多，剩下的纸越来越小，最后就越来越趋近于一张完整纸的比例297/210了。 ” 学生说道。
“回头看看连分数展开，每一个分子都是1，所以真正有意义的是整数部分和分母，所以可以把连分数简写成[1; 2, 2, 2, 2, 2]。分号前的是整数，分号后的分数的分母。” 老师补充道。
“好的。可是我还是不明白怎么这么巧？为什么A4纸大小和√2有这么紧密的关联？”
“好，那我们从最简单的开始，你知道A4纸的尺寸是怎么定义的吗？”
“是A3的一半，而A3又是从更大的A2的一半，而A2又是A1的一半，A1是A0的一半. ”
“对。国际标准在定义纸张大小时有两个重要的考虑，一是纸张的价格与纸张的面积成正比。”
“嗯。另一个考虑呢？”
“第二个考虑更重要：每次把一张纸切割为更小的两张纸时，要保证纸张的长宽比不发生改变。”
“为什么这么考虑呢？”
“比如你编辑了一份文档，用A4纸打印出来的格式很符合你的要求，可是如果你想把两页的内容打印在一张A4纸上，也就是每页纸内容占据一张A5的大小，因为长宽比没有变，所以看起来和A4纸上打印的长宽格式一样，只是字体等比例变小而已。”
“如果没有这个要求，打印出来的文档长宽格式就要出问题了吗？”
“是的，比如某张纸的比例是11：10，等分后就变成了两张5.5:10的纸张，比例改变后，图片就变形了！”
如果纸张切割成两份而不保持长宽比，打印出来的图像会变形
“嗯，看来长边和短边的比例不是随便选的。”
“现在，我们算一下什么样的比例才让每次分割都保持相同的比例。如果分割前长边和短边的比例是a/b，那么沿着长边a分割成两半后，就有了两张b:a/2的纸，要想保持比例不变，就需要：
“原来如此！只要保证最大的A0纸的长边是短边的√2倍，这样分割下去，所有的纸张类型都是同样的比例不变！而且这样不会浪费，是吗？” 学生问道。
“是的！如果不是这样的比例，那么每次切割如果还想保持原来的比例，就要多裁一些纸张，造成了浪费。”
如果每次裁剪不保持比例，那么要想图像不变形，就要多裁一些纸张，造成了浪费.
如果纸张宽长比是√2，裁成两张后比例仍是√2，图像不会变形而且不会浪费
“明白了。可是为什么A4的大小是297/210而不是别的呢？”
“这要从A0谈起。如果纸张厚度相同，那么纸张的价格取决于面积，而A0纸的面积规定是1平方米，而比例仍保持√2。
所以A0的纸张的长a和宽b就满足
那么
求得A0纸张的尺寸：b=0.841 米，a=1/b=1.189 米，即1189:841（毫米）。
A系列纸张尺寸 (Wikipedia)
从这个短边841出发，每次除以√2就得到下一个尺寸的短边，
“297:210 ，这就是A4纸了。” 老师说道。
“也就是说297/210近似等于√2？”学生问道。
“是的。”
“可是√2的十进制小数好像任何规律可言！”
√2的前200位小数：1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 3769480731 76679 73799 07324 78462 10703 88503 87534 32764 1572735013 84623 09122 97024 92483 60558 50737 21264 41214 9709993583 14132 22665 92750 55927 55799 95050 11527 82060 57147...
“那我们把√2做连分数展开就会看到隐藏在数字背后的秘密。”
√2的连分数展开式
“√2的连分数展开式真漂亮！而且前6位和297/210的连分数展开完全一样，都是 [ 1; 2, 2, 2, 2, 2]。”
“你的眼力不错！一些看起来没有规律的数字，换一个角度去看，立刻就有了规律，这就是数学的魔力！√2的前几位的渐进分数297/210完全一样。99/70其实就等于297/210，所以297/210之比是√2的一个非常接近的近似！” 老师说道。
“那连分数能解释祖冲之的圆周率和闰周推算吗？” 学生问道。
“当然可以，甚至还会有新的发现。今天没有时间了，我们下次再聊吧。”
“好的，老师再见！”
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*****《时间之问》已由清华大学出版社2019.3出版 *****
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