Zmn-1423 薛问天: 这个证明没有错误，是错误的质疑。评杨六省先生《1422》。

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这个证明没有错误，是错误的质疑

评杨六省先生《1422》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

楊六省先生的《1422》质疑说【北京版数学八年级上册关于“√2 不是有理数”的证明是错误的 】是错误的质疑。这个证明没有错误，完全正确。这个关于“√2 不是有理数”的证明如下：

“我们可以采用反证法。假设√2 是有理数，于是可以用两个整数 m、n 表示为√2 = n/m，进而 2m2 = n2。这个式子的左边有奇数个因子 2，右边有偶数个因子 2，矛盾！这就否定了假设。”

这个证明没有错误，完全正确。用的是反证法。为了证明√2不是有理数，就先假定√2是有理数。根据有理数的定义，就存在有两个整数 m、n 表示为√2 = n/m，进而 2m2 = n2。这里用到了整数的一个性质，即【对任何整数m，m2中含有偶数个2的因子】。原因很简单，因为m的平方是mxm。若m中有2的因子，则m2肯定含有偶数个2的因子。若m中没有2的因子，则m2中有0个2的因子。在这里我们把0也称为偶数。于是推出了式子2m2 = n2的左边有奇数个因子 2，右边有偶数个因子 2，矛盾！这就否定了假设，用反证法证明了定理。

楊六省先生质疑说【关于“√2 不是有理数”的证明独立于其他证明。因此，在评论上述证明时，笔者有理由将“√2 不是有理数”（即√2 = n/m 中的 m 和 n 不可能同时为整数）作为论据加以利用。 对于等式 2m2 = n2，原文称“这个式子的左边有奇数个因子 2”，这隐含地使用了“m 是整数”这一假设。然而，依据“√2 不是有理数”，n 不可能也是整数。 因此，“右边有偶数个因子 2”这一说法便失去了意义。 同理，如果先断言“右边有偶数个因子 2”，那么“左边有奇数个因子 2”也同样会失去意义。】

这个质疑显然是错误的。错在他认为【关于“√2 不是有理数”的证明独立于其他证明。因此，在评论上述证明时，笔者有理由将“√2 不是有理数”作为论据加以利用。】要知道他所说的“右边有偶数个因子 2”，和“左边有奇数个因子 2”失去意义，是由于【原文称“这个式子的左边有奇数个因子 2”，这隐含地使用了“m 是整数”这一假设。】即【√2 是有理数，于是可以用两个整数 m、n 表示为√2 = n/m，】不是【隐含地使用】，而是【公开地使用，】这个反证法的假设。

也就是说杨六省的质疑。实际上是认为在证明一个定理的独立于其它证明时不能使用反证法，作出反证法的假定。这显然是错误的。既然是独立于其它证明，就不能拿其它证明的证明结果【作为论据加以利用】来推论说在此证明中的反证法的假定没有意义。要知道反证法就是用反证法的假定推出矛盾，用严格的数学逻辑推理推出这个假定是错误的，证明定理的成立.

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