Zmn-1346 薛问天: 同一律只适用于同一量词约束的变量，评赵峰《1344》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对赵峰先生的《Zmn-1344》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

同一律只适用于同一量词

约束的变量，评赵锋《1344》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

答案很明确，旧版教材是错的，新版教材是对的。问题出在关于如何使用同一律的问题。严格地讲，在数学中相同的数学符号应表示相同的对象，即要满足逻辑的同一律。但是由于对象太多了，符号太少了，所以就不得不允许有时用相同的符号来表示不同的对象。最简单的办法就是只允许在不同的地方，不同的文章，不同的页面，不同的公式中用相同的符号表示不同的对象。但有时为了方便表示，即使在同一文章，甚至在同一公式中都允许同一符号来表示不同的对象。但是这就需要严格地说清楚哪些相同符号表示的是同一对象，可以用同一律来推论，哪些相同符号表示的不是同对象，同一律不适用。说清楚了，人们就能跟据上下文加以区别。赵锋文章的问题就出在这里。在数理逻辑中有严格规定，在同一量词约束下同量词变量符号相同的变量是相同的，可以用同一律。但在非同一量词约束下的相同符号表示的变量，相互无关，不能用同一律说它们相同。例如∀x(P(x)→Q(x))，其中的p(x)和Q(x)是在同一量词∀x约束下的，p(x)和Q(x)中的x就是相同的x。再例如彐xP(x)→∀xQ(x)，其中的p(x)和Q(x)是分别在两个量词⺕x，∀x，而非同一个量词约束下的，p(x)和Q(x)中的x就是不相同的x。要知道数理逻辑中还允许同一量词约束下的变量符号可以等价变换，例如上例中的⺕xP(x)→∀xQ(x)，可以等价地写成⺕xP(x)→∀yQ(y)，就说明它们是不同的意思。

也就是说在逻辑公式中，哪些变量是相同的，哪些变量是不同的己经明确规定好了。在同一量词约束下同量词变量符号相同的变量是相同的，可以用同一律。但在非同一量词约束下的相同符号表示的变量，相互无关，不能用同一律说它们相同。所以不能再去人为的另外作出规定，同数理逻辑的规定发生冲突，引出错误。文中引入的【设 S(x) 表示语句“同一的 x 使得 P(x) 和Q(x) 是一一对应(或配对)的”】即用∀xS(x)表示式中所有的x都是相同的，可用同一律檢验的这种规定，是完全错误的。文中的错误就出在这里，我们来具体分析。

在赵峰的引用证明中，前半部分(6)式及以前的推理都是正确的。⺕xP(x) →∀xQ(x)  ➩ ∀x (P(x) →Q(x))是正确的。但后半部分的推理有错误。(19)的结论，∀x (P(x) →Q(x))  ➩  ⺕xP(x) →∀xQ(x)就是错的。所以得出的基 本公式 ∀x (P(x) →Q(x) )  ≡⺕x P(x) →∀x Q(x)  (1)式就是错误的，不成立。

后半部分的错误在于所得到的 乛(⺕x (P(x) ∧乛Q(x))) ∧∀x S(x)，即(10)式。在此式中P(x)和Q(x)都在同一个量词⺕x的约束之下，当然x是相同的，所以在此式中写出∀x S(x)也还勉强没错。但由(10)式推出(11)式后。(11)式中的这些P(x)和Q(x)已不在同一个量词⺕x的约束之下，所以相应的x己不能相同，但式中还写为∧∀xS(x)，规定它们相同，这就产生了严重的错误。

这个错误导致推出(13)时说【(当∀xS(x)为真时，P(x) 和 Q(x) 中的 x 必须保持同一的一致性， 因此这里的 ⺕xP(x) ∧⺕x乛Q(x) 必定与 ⺕x(P(x) ∧乛Q(x)) 是相同的】，同数理逻辑的规律发生冲突，实际上⺕xP(x) ∧⺕x乛Q(x) 与 ⺕x(P(x) ∧乛Q(x)的x 是不相同的，从而导致产生了错误。文中的错误就出在这里。

文中所举的例1和例2都是对的，用反例说明旧教科书中所列的 ⺕xP(x) →∀xQ(x)  ≡ ∀x (P(x) →Q(x))  是错误的。因为反例说明由∀x (P(x) →Q(x))推不出⺕xP(x) →∀xQ(x)  。例中的P(x)和Q(x)都满足 ∀x (P(x) →Q(x))，但不满足⺕xP(x) →∀xQ(x) 。因为 ⺕xP(x)为真而∀xQ(x) 为假。

在文的最后，赵峰的那些议论，是在承认引入S(x)是正确的的情况下进行讨论的，所以是毫无意义的。因为S(x)的引入本身就是错误的。我们来具体分析一下。

首先，赵先生说【例 1 和例 2 对 ⺕xP(x) →∀xQ(x) 所进行的逻辑分析，x 显然不能保持同一性，因此，乛∀xS(x) 成立，这时 ⺕xP(x) →∀xQ(x) 的确为假，也就是说，(⺕xP(x)→xQ(x))∧乛∀xS(x) 是假的；】这个说法不对。並不是由于x 【不能保持同一性】，而使【 ⺕xP(x) →∀xQ(x) 的确为假】。要知道⺕xP(x) →∀xQ(x)並不一定为假，只是说它不能由∀x(P(x)→Q(x))推出而已。这个【不能推出】的推论，即存在着例1和例2这样的反例，使前提为真而结论为假说明【不能推出】的这个推论是完全正确的。同时也说明对在不同量词约束下的变量x【不能保持同一性】是完全正确的。

赵先生接着说【在另一方面，确保 x 的同一性对∀x(P(x) → Q(x))来说却是必须的，因此，∀xS(x)成立，这 时，⺕xP(x) →∀xQ(x)可被证明为真，也就是说，(彐xP(x)→∀xQ(x))∧∀xS(x)是真的，】这在逻辑上是完全讲不通的。确保 x 的同一性对∀x(P(x) → Q(x))来说却是必须的，为什么对⺕xP(x) →∀xQ(x)就要适用。要知道这是不同式子中的x。根据什么原理说确保 x 的同一性对一个式子成立，对所有式子都要成立，这是毫无道理的。另外，对于不同量词约束下的变量x，让它确保【x的同一性】是什么意思，本身就是含混不清说不清楚的。试问对于⺕xP(x) →∀xQ(x)这个式子，确保【x的同一性】是什么意思，它的确切含义是什么？赵先生说【∀xQ(x)应被 理解为“对于任一/所有使得 P(x)成立的 x，Q(x)是真的”，这是命题彐xP(x) →∀xQ(x)基于 x 同一性的一 种固有性质，】赵先生你根据什么要这样说。要知道你所说的【“对于任一/所有使得 P(x)成立的 x，Q(x)是真的”】这是∀x(p(x)→Q(x))的含义。怎么能是【命题彐xP(x) →∀xQ(x)基于 x 同一性】的含义呢？赵先生，你说不清楚，因为S(x)本身就是错误的这个S(x)的定义本身，含义就不清楚。不能引入这个S(x)。只能对同一量词约束的变量适用同一律，对于不同量词约束下的变量，还说∀xS(x)就不清楚公式的含义是什么。对于同一量词约束下的变量，说乛∀xS(x)，也说不清楚公式的确切含义。

自然赵先生想用什么所谓“内蕴的”和“外蕴的”特性来解释，也是解释不通。

综上所述，说明他的结论【旧版教材才是正确的，而现行教材却是有缺陷的，是不这样呢？】是错误的。不是这样，正确的结论是〖答案很明确，旧版教材是错的，新版教材是对的。〗

•         Zmn-1344 赵峰 : 量词分配律的一个问题  2025-10-25 08:58

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