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Zmn-1105 一阳生 : 数学归纳法原理无法有效证明所谓公理五,评薛老师的《Zmn-1103》

已有 241 次阅读 2024-4-13 21:56 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-1105 一阳生 : 数学归纳法原理无法有效证明所谓公理五,评薛老师的《Zmn-1103》

【编者按。下面是师教民先生的评论文章。是对薛问天先生的《1103》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

 

 

 

 

 

数学归纳法原理无法有效证明所谓公理五,

评薛老师的《Zmn-1103》

一阳生

 

文老师 下面我的文章请求转发薛老师和在专栏发表,谢谢!

 

 

一、关于您用数学归纳法证明所谓公理五。

 

我们来做思想实验。设P(k)为【自然数k可由0经有穷次的后继运算而得到】。在证明之前,我们分两种情况考虑公理五。这种做法和考虑是合理的不违反逻辑。

 

第一种情况,公理五确实成立,事实上成立。薛老师在主观上也认为其成立。然后应用归纳法,在假设公理五成立条件下,证明了 ∀k∈N(P(k) ⇒ P(k’))。进而证明了 公理五成立。

 

第二种情况,公理五确实不成立,事实上不成立。但薛老师不知道其不成立,主观上还是认为其是成立的。结果薛老师在假设其成立条件下,依然证明了 ∀k∈N(P(k) ⇒ P(k’))。因为薛老师不认为其中有一个k,使P(k) 真,P(k’)假,使得∃k(P(k) ⇒ P(k’))不成立。进而不知道也不认可∀k∈N(P(k) ⇒ P(k’))客观上是不成立的。

 

薛老师在这两种情况的证明中不能用有穷步推理方法。即P(0)真推出P(1)真、P(1)真推出P(2)真、P(2)真推出P(3)真、…、P(n-1)真推出P(n))真。因为我们尚且不知道后继运算能否穷尽所有的自然数,这种方法也不须要假设后继运算能够穷尽所有自然数。该方法只是在无休止的验证中。薛老师只能在假设后继运算能够穷尽所有自然数的条件下,对于某一般性的k即任一k ,证明(P(k) ⇒ P(k’))是否成立。在第二种情况下薛老师在主观上发现不了k也不认为存在k,使得∃k(P(k) ⇒ P(k’))不成立。

 

通过这个思想实验,我想薛老师应该能够认识到:如果承认后继运算能穷尽所有自然数,那么您就能用数学归纳法证明所谓公理五(公理五就等于后继运算能穷尽所有自然数)。如果不承认所谓公理五,数学归纳法客观上就证明不了公理五。比如【我本人不承认公理五,在此前提下,我确实用数学归纳法证明不了公理五成立】,这是我的事实,薛老师否认不了。

 

也就是说,数学归纳法原理无法有效证明所谓公理五。

 

 

 

二、举有穷性质的例子来反映说明潜无穷性质

 

薛老师说没有看懂,为什么在所有的k中,∀k∈N(P(k) ⇒ P(k’))。会存在某一个蕴含,他的前提为真,结论为假,从而导致∀k∈N(P(k) ⇒ P(k’))不成立。

 

我来举个吃饭的例子,让P(n)取值吃n碗饭。薛老师一顿饭吃了第一碗饭P(1)后还能吃第二碗P(2),吃了第二碗饭P(2)后还能继续吃第三碗P(3),但吃了第三碗饭P(3)后吃不下第四碗饭P(4)了,既然吃不下第四碗饭P(4)也就吃不下第五碗饭P(5),既然吃不下第五碗饭P(5)也就吃不下第六碗饭P(6)…。

 

把吃饭过程转化为一系列蕴含关系之间的的合取关系( P(0)⇒ P(1)) ∧ (P(1)⇒ P(2)) ∧ (P(2)⇒ P(3) ) ∧ ( P(3)⇒ P(4)) ∧ (P(4)⇒ P(5)) ∧ (P(5)⇒ P(6) ) …。

 

可见前面3个蕴含都是真的(前提结论都真),从第5个蕴含开始包括后面的所有蕴含都是真的(前提结论都假)。而他们之间的第4个蕴含 (P(3)⇒ P(4)),前提真结论假。最终结果导致了∀k∈N(P(k) ⇒ P(k’))为假!

 

当然在潜无穷假设下,让P取值潜无穷的性质。处于前后面两部分之间的某个蕴含∃k∈N(P(k) ⇒ P(k’)),P(k) 真 P(k’)假,他的k会以潜无穷的方式处在增大中。k不会是0、1、2等这些可以举出具体数值的自然数,k无法具体构造出来,但却是存在的。

 

 

 

三、关于所谓第五公理。

 

我是说命题【每个自然数都可由0经有穷次的后继运算得出】反直觉反逻辑。该命题告诉我们自始至终都是【有穷次】的后继运算,却运算出了或对应了全部【无穷个】自然数。而【一次】运算和【一个】运算结果之间是严格对应的。

 

我说该命题反直觉反逻辑,是说该命题是错误的。根据严格的对应,由0开始自始至终都是【有穷次】的后继运算只能得出【有穷个】自然数,得不出全部的自然数。

 

请认真回应这个质疑,不要回避!不要顾左右而言他!

 

 

 

四、关于我对数学归纳法的证明。

 

您说:“他没写全,写全应是对任何自然数n,可由P(0)为真和【由蕴含关系之间的合取关系( P(0)⇒ P(1)) ∧ (P(1)⇒ P(2)) ∧ (P(2)⇒ P(3) ) ∧ …∧ (P(n-1)⇒ P(n))为真。】推出【全部合取关系P(0) ∧ P(1) ∧ P(2) ∧ P(3)…∧ P(n)为真。】。”

 

看到您这样写让我大感意外。您这样写,导致这些蕴含的个数就不是全部无穷个了,而是n个,是有限个。导致P(0) 这些的个数也不是全部无穷个了,而是n个,是有限个。

 

您是故意如此做的,想为您的有穷步推理和所谓公理五,找到适应条件。

 

果然接下来您说:“要完成这个推论必须要根据【公理五: 任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到】。如果自然数n不可由0经有穷次的后继运算而得到,你这个推论是完成不了的。”

 

我没有进行有穷步的推论,也不须要所谓公理五。因为数学归纳法的前提之一是在假设下,已经证明了所有的k, ∀k∈N(P(k) ⇒ P(k’))真。在排除掉存在P(k)为假之后,根据蕴含的等价形式∀k∈N(P(k) ⇒ P(k’))为真等价于P(0) ∧ P(1) ∧ P(2) ∧ P(3)…为真。其中P(0)、P(1)、P(2)、P(3)等这些是全部无穷个,不是有限个。

 

有穷步的推理虽然有可能(也只是有可能而已)证明有穷个k (P(k) ⇒ P(k’)),但是绝对证明不了无穷个k ,∀k∈N(P(k) ⇒ P(k’))的。

 

 

 

五、关于【后继数】与【后继运算】的异同。

 

薛老师要知道,皮亚诺公理和自然数的集合论定义中的【后继数】概念,不等同于由其延伸出来的【后继运算】概念。他们不完全相同。不同点在于:每个自然数都有后继数,而后继运算不能穷尽每个自然数。后继数概念反应了对象之间静态的关系,而后继运算概念反应了对象之间动态的行为。

 

您说:“…而(3)就是【公理五:…。” 您把这两个概念完全等同是错误的。

 

 

 

六、关于您归纳证明向后归纳原理中的错误。

 

根据您对向后归纳的理解和归纳证明思路,我来重新梳理一下证明过程。

 

定理(向后归纳原理)。设P(m)是一个依赖于自然数的性质,它满足条件:对于任何自然数m,只要P(m+1)成立则p(m)也成立。设n是任意自然数,且假设P(n)成立,证明对于一切自然数m ≤ n,P(m)都成立。(此为您对向后归纳的理解,这是错误的。)

 

定义Q(n)为【对于一切自然数m ≤ n,P(m)都成立。】对n进行归纳。

 

当n=0时,若P(n)成立即若P(0)成立,则Q(n)成立即Q(0)成立。

 

假设对于任一自然数n,若P(n)成立,则Q(n)成立。(要证明蕴含关系成立,只须证明前提成立时,结论也成立即可。)

 

对于n+1,我们只须在假设的条件下,证明P(n+1)成立即可。

 

只要在假设下证明了P(n+1)成立,根据假设就会有【对于n+1,若P(n+1)成立,则Q(n+1)成立。】。进而假设成立。

 

显然在此时产生了一个无解的问题:如何在假设下证明P(n+1)成立?薛老师要注意必须在假设条件下证明!脱离假设,其他证明导致P(n+1)成立的,就是违反数学归纳法的证明要求,就是错误且反逻辑的证明。

 

我证明不了。根据P(n+1) ⇒ P(n),若P(n)成立,则推不出P(n+1)成立。

 

但是薛老师根据自己对向后归纳的错误理解,直接根据【设n是任意自然数,且假设P(n)成立,】导致了P(n+1)成立。在脱离了假设的条件下,根据其他条件使P(n+1)成立。

 

薛老师根据P(n+1) ⇒ P(n),继续证明了若P(n+1)成立,则P(n)成立。进而由假设证明了Q(n)成立。由P(n+1) 成立和Q(n)成立,导致了Q(n+1)成立。

 

P(n)的成立和Q(n)的成立,理应完全是根据假设成立的。上面的一步证明中,对P(n+1) ⇒ P(n)的使用完全是多余的。表面上看使用到了,实际上完全使用不到。P(n+1) ⇒ P(n)对证明没有发挥任何作用。不光是多余的,用P(n+1) 成立,来证明P(n)成立,也违反了归纳证明的要求。正确的为:用P(n) 成立,来证明P(n+1) 成立。

 

薛老师的【设n是任意自然数,且假设P(n)成立。】,当然就是假设了∀n∈N P(n)成立。若假设了∀n∈N P(n)成立,当然对于其中一部分的自然数∀m∈[0,n],有P(m)成立。这不就是毫无必要与毫无意义吗!

 

究其原因在于薛老师对于向后归纳原理产生了错误理解,导致正确的证明思路无法进行下去,不得不用错误的证明思路去迎合错误的理解。

 

 

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項,来查找本《专栏》的其它文章。】,   



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