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Zmn-1103 薛问天: 正确认识皮亚诺自然数公理,评一阳生先生的《1100》

已有 255 次阅读 2024-4-11 09:39 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-1103 薛问天: 正确认识皮亚诺自然数公理,评一阳生先生的《1100》

【编者按。下面是薛问天先生的文章,是对一阳生先生的《Zmn-1100一文评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

 

正确认识皮亚诺自然数公理

评一阳生先生的《1100》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

一,关于自然数的皮亚诺公理。

自然数的皮亚诺公理,大多数的专业书中都是这样陈述的。它的五个公理,用非形式语言陈述如下。

公理1,0是自然数;

公理2,每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a' ,a' 也是自然数;

公理3,对于每个自然数b、c,b=c当且仅当后继数相等: b´=c´;

公理4,0不是任何自然数的后继数;

公理5,任意关于自然数的命题P,如果证明:它对自然数0是真的,即P(0)为真,且假定它对自然数a为真,即P(a)为真时,可以证明对a' 也真,即P(a´)也真。那么,命题对所有自然数n都真,P(n)为真。

公理5保证了数学归纳法的正确性,从而被称为归纳法原理。其中的命题有时也称为性质,或谓词,公式等,意思都是一样的。有时也用子集的方式来表示。如:

公理5,对于自然数集S的任意子集A,如果证明:自然数0属于A,而且假定自然数a属于A时,可以推出a' 也属于A。那么,子集A就等于S。

这些公理5陈述都等价,是一个意思。

当然还可以有更加形式的,严格的表述。

戴德金-皮亚诺结构可以描述为满足所有以下条件的三元组 (S, f, e),其中S是集合(自然数合),f是函数(后继),e是一个对象(0元素)。

1,e∈S,

2,(∀a∈S)(f(a)∈S),

3,(∀b∈S)(∀c∈S)( (f(b)=f(c))→(b=c) ),

4,(∀a∈S)(f(a)≠e),

5,(∀A⊆S)( ( (e∈A)∧(∀a∈A)(f(a)∈A) )→(A=S) ) ),

 

 

另外还有的书指出,公理5可以换为如下形式:

【公理五】,任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到。

可以证明这个【公理五】同前面的肯定数学归纳法的定理5是等价的,可以互相证明。我上次,在《1099》中已经由这个【公理五】证明了数学归纳法对自然数成立。现在我们再来用数学归纳法来证明【公理五。任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到。】的成立。

证明(用数学归纳法证)。显然,当我们用P(n)来定义【自然数n都可由0经有穷次的后继运算而得到】这个性质时,P(0)肯定为真,因为0这个自然数可由0经0次的后继运算而得到。进一步,如果假定P(n)为真。则自然数n都可由0经有穷次的后继运算而得到,那么根据公理2,n′=n+1显然也可由0经有穷次的后继运算而得到,这就推出了P(n+1)为真。既然推出P(0)为真,又由P(n)真,推出P(n+1)为真,显然由数学归纳法即推出P(n)对任何自然数n为真。这就是我们要证明的任何自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到的【公理五】。证毕

我平常有个习惯,学习只关心道理,只要想通了就接受了,不太关注这是哪本书讲的道理。不太记这些书名。所以当一阳生先生问我【我想知道把该命题作为公理出自哪本教科书和哪位权威人士?又或者是薛老师本人的作为?请薛老师给出答案!】确实把我问住了。我能证明这是等价的公理,而且肯定不是我的作为书太多了,我还真记不得是从哪本书中学到的。只能请其他网友帮忙了,哪位网知道了回答给一阳生先生。不过因为证明很简单,绝对不要对此等价性发生质疑。

 

一阳生先生问【无穷个结果在此指无穷个自然数。如此反直觉反逻辑的命题薛老师为何深信不疑?请认真回答!】

我可以告诉一阳生先生。我之所以【深信不疑】是因为它并没有【反直觉】和【反逻辑】。

要知道有些人认为无穷是【反直覚】,是由于人的感覌是受到限制的。我曾说过人们的感观是受到限制的,无穷个对象不可能一个个地全部呈现在你面前。人类不可能親自进行无穷个操咋如无穷次演算,无穷次推理,这些都有无穷的禁忌,只能进行有穷次演算,有穷步推理,只能同时看見一个个的有穷个分开的对象。有些人就据此得出结论,认为无穷是【反自觉】的,是不存在的。要知道这是错误的。这是对人类思维能力过分低估。因为无穷的事物是客观上大量存在的。人们应该从感性认识提高到理性认识,要承认这种无穷的存在,以一种区别于有穷形式的,无穷特有的形式来认识无穷。【自覚地】认识无穷。关于自然数就应承认这一事实。所有的自然都是可以由0经有穷次加1运算而得到,这个结论适用于所有这无穷个自然数。并没有【反自觉】和【反逻辑】,所有的自然数有无穷多个。这就是所有的自然数所具有的特点。这是它客观固有的特点,你必须承认。

 

我不知道一阳生先生质疑的是什么?任何自然数都是由0经有穷次加1而得到的,这样的自然数有无穷多个。这是自然数的特点,并不是所有无穷集合都有这个特性。如2ω这个序数,这个归纳集合就没有这个特点,2w={0,1,2,...,ω.ω+1,...}中的超穷序数如ω,ω+1,...等就不能由0经有穷次的加1而得到,甚至由0经无穷次的加1也得不到。真不知一阳生先生在质疑什么。不会连数学归纳法是皮亚诺的公理5也质疑吧。如果你承认适用数学归纳法是公理5,又承认它同【任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到。】可以互推,相互等价,为什么不承认【任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到。】可以做为自然数的【公理五】呢?

要知道你实际上,应该质疑你的做法,你口口声声地在那里去【证明】数学归纳法,这本身就是严重的错误!公理根本就不需要证明,不能证明。我们在这里所谈的【证明】是在证明它是等价的公理,即把【任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到。】作为公理时,可证数学归纳法是定理,而把数学归纳法作为公理时可证【任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到。】是定理。你不用公理怎么【证明】。

我们确实说过自然数理论的公理在集合论中不作为公理,但它们是由集合论公理直接证明不了的。皮亚诺公理必须作为定义的形式存在的。即在集合论中把自然数定义为满足皮亚诺公理的集合称为自然数集合。在集合论中证明数学归纳法适用于自然数,可以简单直接用自然数的定义来证明。并不需要也不可能由集合论的公理直接证明数学归纳法,一阳生在那里证明数学归纳法,完全是错误的无此必要,多此一举,实际上也证明不了。

关于这点我倒是可以介绍一阳生先生参考张锦文的《公理集合论导引》和陸钟万的《面向计算机科学的数理逻辑》这些教科书。在集合论中如何证明自然数的归纳原理。他们都讲得非常清楚,在那里自然数的定义用的是三条:

(1)空集是自然数。

(2)若n是自然数,则nU{n}是自然数。

(3)所有的自然数都是由(1)和(2)得到的。

要知道这就等价于自然数的皮亚诺公理。因为公理3和公理4可由空集和后继的定义nU{n}的性质推出。而(3)就是【公理五: 任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到】。

 

二,关于一阳生先生的证明。

我们仔细看一阳生先生的证明,会发现他缺少的正是忽視了【公理五】在证明中的作用。

他的论据缺少的正是

【由蕴含关系之间的合取关系( P(0)⇒ P(1)) ∧ (P(1)⇒ P(2)) ∧ (P(2)⇒ P(3) ) ∧ …为真。】

怎么得到

【全部合取关系(P(0) ∧ P(1))∧(P(1) ∧ P(2))∧( P(2) ∧ P(3))∧( P(3) ∧ P(4)) …为真,即P(0) ∧ P(1) ∧ P(2) ∧ P(3)…为真。】

他没写全,写全应是对任何自然数n,可由P(0)为真和【由蕴含关系之间的合取关系( P(0)⇒ P(1)) ∧ (P(1)⇒ P(2)) ∧ (P(2)⇒ P(3) ) ∧ …∧ (P(n-1)⇒ P(n))为真。】推出【全部合取关系P(0) ∧ P(1) ∧ P(2) ∧ P(3)…∧ P(n)为真。】

要完成这个推论必须要根据【公理五: 任一自然数都可由0经有穷次的后继运算而得到】。如果自然数n不可由0经有穷次的后继运算而得到,你这个推论是完成不了的。例如超穷序数ω不可由0经有穷次的后继运算而得到,你用你的逻辑推不出P(ω)为真的。仅仅根据蕴含关系的等价形式,是证明不了全部合取关系为真的。

而这点正是一阳生所述证明的细节不完善的毛病所在。

 

没有什么【不可被具体认知的】自然数的问题。

关于数学归纳法中假定P(0)而且(∀n∈N)(P(n)→P(n+1))。其中的这个假定∀n∈N,当然是指任何自然数,是一阳生先生所谓的【普适的】意思,不能有什么自然数【不可被具体认知的】问题。

自然数就是自然数,没有什么【不可被具体认知的】自然数和【可被具体认知的】自然数之分。对自然数的这种区分无法严格明确定义因而毫无意义。在数学中没有这个概念。这是一阳生先生的主观虚构。

如果一阳生先生真的如他所说,【我认为把可由0开始经后继运算得到的自然数,称呼为可被具体认知的自然数,是合适恰当的。】那么按照自然数的定义,所有的自然数都是【可被具体认知的自然数】。

我没有看懂一阳生先生想说的【希望薛老师能够意识到】的是什么。怎么【其前提客观上为真,结论客观上为假。】怎么会很容易犯【把客观上不成立的∀k∈N(P(k) ⇒ P(k’))误认为是成立的】错误。

当然潜无穷观同集合论是水火不相容的。他不承认无穷集的存在,当然不可能承认(∀n∈N)P(n)为真。潜无穷观的意見,我们不会考虑。

 

四,关于一阴生先对我用数学归纳法证明【向后归纳原理】的评论。

我发現一阳生先生没有仔细阅读我的证明最后的原文。请一阳生先生现在再去读读证明。原文写得很清楚【......显然如果此时假设对于n+1,有P(n+1)成立,就可推出P(n)成立。这就有对于一切自然数m ≤ n+1,P(m)都成立。这就是......】怎么能说【关于蕴含关系(P(m+1)⇒ P(m)),您在归纳证明过程中完全没有使用到。】呢?如果不用此蕴含关系(P(m+1)⇒ P(m)),怎么能由P(n+1)为真推出P(n)为真。正是由于推出了P(n)为真,才根据假定定理对于n成立,推出了对于所有m≤n有P(m)为真,而得出对于所有m≤n+1有P(m)为真。证明了所需的定理对于n+1成立的结论,这里根本不需要对m施行归纳。

一阳生先生后面还说【不过即使知道(P(m)成立,您也无法根据蕴含关系得出P(m+1)成立。】这更是对向后归纳原理理解的错误。要知道向后归纳原理要断定的并不是【∀n∈N P(n)】,而是要证明由P(n)为真的假定,推出对所有的m≤n,P(m)为真的结论。

一阳生先生竟说【如果向后归纳以证明此结论为目的,则是毫无意义与毫无必要的。】说明一阳生先生对向后归纳原理尚未真正理解。

 

最后一阳生说他认为【实无穷观与潜无穷观,两者之间是和谐相容的。】这点我不同意。集合论是建立在现代实无穷观的基础之上的。持潜无穷观对集合论是格格不入的。不可能【和谐相容】。

另外一阳生先生说【我不认可您的所谓第五公理,对于任意两个自然数m和n,且m较小,m通过后继运算【未必】能够达到或得出n。】这是不对的。这是自然数的属性,是自然数的定义,自然数公理。任何自然数n和m,只要n>m,n一定可以由m经有穷次的加1而得到。你必须认识到这点,你必须认可。

 

 

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項,来查找本《专栏》的其它文章。】



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