主贴：Bertrand悖论浅析02  

设x-y坐标中大圆半径为2a，若任意弦长大于内接正三角形边长的概率为1/3，则弦的中点在三个坐标系的分布情况如下：

第一图是r-θ坐标系，中间的竖线为r=a，此时弦长为内接正三角形边长。r>a的部分，点的密度较大，意味着弦长小于内接正三角形边长的概率较大。

第二图是x-y坐标系，感觉接近圆周处密度更大，

第三图是φa-φb坐标系，点是均匀分布的。

φa-φb坐标系中，φa相同的点构成了直线，φa=b，b为常数。

这些直线在x-y坐标系中构成了同心圆x²+y²=2a²+2a²Cos[b]

在r-θ坐标系仍为直线，方程为：r²=2a²+2a²Cos[b]。同心圆的半径间距随着半径的增加而减少，靠近圆周处弦的中点更密集。

φa-φb坐标系中，φb相同的点构成了直线，φb=b，b为常数。

这些直线在x-y坐标系中构成了一系列半圆。

在r-θ坐标系中可以推出r²与Cos[2θ-2b]成线性关系。从图上看，同样是靠近圆周处弦的中点更密集。

Mathematica程序：1、0.5可以修改，改成0.5、2或1、2就能得到这9个图像

另外两种：

1.概率为1/2时，弦的中点在r-θ坐标系中均匀分布。

3.概率为1/4时，弦的中点在x-y坐标系中均匀分布。