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设x-y坐标中大圆半径为2a,若任意弦长大于内接正三角形边长的概率为1/2,则弦的中点在三个坐标系的分布情况如下:
第一图是r-θ坐标系,点是均匀分布的,中间的竖线为r=a,此时弦长为内接正三角形边长。左右两边点的密度相等,意味着弦长小于内接正三角形边长的概率为1/2.
第二图是x-y坐标系,靠近圆周时密度小,圆心处密度大
第三图是φa-φb坐标系,φa较大时是靠近圆心的位置,密度较大。
r-θ坐标系中,r相同的点构成了构成了直线系r=b,b为常数。
这些直线在x-y坐标系中构成了同心圆x2+y2=b2。
在φa-φb坐标系仍为直线,直线方程为:b2=2a2+2a2Cos[φa],φa接近0时直线密度较小,这是接近圆周的位置。
r-θ坐标系中,θ相同的点构成了构成了直线系θ=b,b为常数。
这些直线在x-y坐标系中构成半径,靠近圆周时弦的中点丢失了很多。
在φa-φb坐标系中是一系列直线,方程为b=0.5φa+φb,从图形上看,φa仍然无法接近0,同样说明靠近圆周时弦的中点丢失了很多。
Mathematica程序:把200和41换成40、41或者40、200就能得到这9个不同的图像。
另外两种:
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