主贴：Bertrand悖论浅析02

设x-y坐标中大圆半径为2a，若任意弦长大于内接正三角形边长的概率为1/2，则弦的中点在三个坐标系的分布情况如下：

第一图是r-θ坐标系，点是均匀分布的，中间的竖线为r=a，此时弦长为内接正三角形边长。左右两边点的密度相等，意味着弦长小于内接正三角形边长的概率为1/2.

第二图是x-y坐标系，靠近圆周时密度小，圆心处密度大

第三图是φa-φb坐标系，φa较大时是靠近圆心的位置，密度较大。

r-θ坐标系中，r相同的点构成了构成了直线系r=b，b为常数。

这些直线在x-y坐标系中构成了同心圆x²+y²=b²。

在φa-φb坐标系仍为直线，直线方程为：b²=2a²+2a²Cos[φa]，φa接近0时直线密度较小，这是接近圆周的位置。

r-θ坐标系中，θ相同的点构成了构成了直线系θ=b，b为常数。

这些直线在x-y坐标系中构成半径，靠近圆周时弦的中点丢失了很多。

在φa-φb坐标系中是一系列直线，方程为b=0.5φa+φb，从图形上看，φa仍然无法接近0，同样说明靠近圆周时弦的中点丢失了很多。

Mathematica程序：把200和41换成40、41或者40、200就能得到这9个不同的图像。

另外两种：

2.概率为1/3时，弦的中点在φa-φb坐标系中均匀分布。

3.概率为1/4时，弦的中点在x-y坐标系中均匀分布。