在李泳博主那里看到了Bertrand悖论：

在圆中“随机”画一根弦，其长度大于内接正三角形边长的概率。分别以弦的端点、半径和中点的角度考虑，可以得出三个不同的答案（1/2，1/3和1/4）。

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当时没看懂，就自己画了几个图。

1.几率为1/2的情况

如下图，AB为直径的1/2，画弦时，CD小于边长，EF大于边长。需要假设中点在直径上等概率分布

2.几率为1/3的情况

如下图，∠ACB为π的1/3，画弦时，CD小于边长，CF大于边长。需要弦的方向等概率分布，即任意相邻两共端点的弦夹角相等，由于这个夹角是圆周角，圆周角相等意味着弦长相等，弦长相等意味着内接正多边形。所以这个要求可以等效为需要弦的端点在圆周上等概率分布。

3.几率为1/4的情况

如下图，小圆面积为大圆面积的1/4，画弦时，CD小于边长，EF大于边长。需要假设中点在圆内部等概率分布

4.几率不同的原因

“中点在直径上等概率分布”、“弦的端点在圆周上等概率分布”、“中点在圆内部等概率分布”这三个条件不是等价的，用几何画板可以画正十七边形，满足“弦的端点在圆周上等概率分布”，那么一共有136根弦，如下图：

从下图看，靠近圆心的位置弦的中点更密集，出现的概率更大，不满足“中点在圆内部等概率分布”

这些中点构成了8个同心圆，量一下这些圆的半径后发现：远离圆心时，半径差在减小，说明在直径上，出现中点的概率并不是相等的。不满足“中点在直径上等概率分布”，

和百度百科的结论一样，但不清楚该如何证明。那上面还有一个图片，不知道谁做的。

进一步的研究：Bertrand悖论浅析02